2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

‎2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．‎ ‎(1) 曲线的拐点是( )‎ ‎(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．‎ ‎(2) 设数列单调减少，， 无界，则幂级数的收敛域为( )‎ ‎(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．‎ ‎(3) 设函数具有二阶连续导数，且，，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是( ) ‎ ‎(A) ，． (B) ，．‎ ‎(C) ，． (D) ，．‎ ‎(4) 设，，，则的大小关系是( ) ‎ ‎(A) ． (B) ．‎ ‎(C) ． (D) ．‎ ‎(5) 设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵，记，，则( ) ‎ ‎(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．‎ ‎(6) 设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为( )‎ ‎(A) ． (B) ． (C) ． (D) ． ‎ ‎(7) 设，为两个分布函数，其相应的概率密度，‎ 是连续函数，则必为概率密度的是( )‎ ‎(A)． (B)．‎ ‎(C)． (D)．‎ ‎(8) 设随机变量与相互独立，且与存在，记，则( )‎ ‎(A)． (B)．‎ ‎(C)． (D)．‎ 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．‎ ‎(9) 曲线的弧长 ．‎ ‎(10) 微分方程满足条件的解为 ．‎ ‎(11) 设函数，则 ．‎ ‎(12) 设是柱面方程与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 ．‎ ‎(13) 若二次曲面的方程，经过正交变换化为，则 ．‎ ‎(14) 设二维随机变量服从正态分布，则= ．‎ 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎(15)(本题满分10分)‎ 求极限．‎ ‎(16)(本题满分9分)‎ 设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在 处取得极值，求．‎ ‎(17)(本题满分10分)‎ 求方程不同实根的个数，其中k为参数．‎ ‎(18)(本题满分10分)‎ ‎(Ⅰ)证明：对任意的正整数n，都有 成立．‎ ‎(Ⅱ)设，证明数列收敛． ‎ ‎(19)(本题满分11分)‎ 已知函数具有二阶连续偏导数，且，，，其中，‎ 计算二重积分．‎ ‎(20)(本题满分11分)‎ 设向量组，不能由向量组，，线性表示． ‎ ‎(I) 求的值；‎ ‎(II) 将由线性表示．‎ ‎(21)(本题满分11分)‎ 为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且．‎ ‎(I) 求的特征值与特征向量；‎ ‎(II) 求矩阵．‎ ‎(22)(本题满分11分)‎ 设随机变量与的概率分布分别为 ‎1‎ 且．‎ ‎(I) 求二维随机变量的概率分布；‎ ‎(II) 求的概率分布；‎ ‎(III) 求与的相关系数．‎ ‎（23）（本题满分 11分）‎ 设为来自正态总体的简单随机样本，其中已知，未知．和分别表示样本均值和样本方差．‎ ‎(I) 求参数的最大似然估计量；‎ ‎(II) 计算和．‎ ‎2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．‎ ‎(1)【答案】(C)．‎ ‎【解析】记，‎ ‎，其中，，在两侧，二阶导数符号变化，‎ 故选(C)．‎ ‎(2)【答案】(C)．‎ ‎【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在处，故(A)，(B)错误；因为单调减少，，所以，所以为正项级数，将代入幂级数得，而已知Sn=无界，故原幂级数在处发散，(D)不正确．当时，交错级数满足莱布尼茨判别法收敛，故时收敛．故正确答案为(C)．‎ ‎(3)【答案】(A)．‎ ‎【解析】,‎ 故,‎ 又故．‎ ‎(4)【答案】(B)．‎ ‎【解析】因为时， ，‎ 又因是单调递增的函数，所以．‎ 故正确答案为(B)．‎ ‎(5)【答案】 (D)．‎ ‎【解析】由于将的第2列加到第1列得矩阵，故 ‎，‎ 即，．‎ 由于交换的第2行和第3行得单位矩阵，故 ‎，‎ 即故．因此，，故选(D)．‎ ‎(6)【答案】(D)．‎ ‎【解析】由于是方程组的一个基础解系，所以，且，即，且．由此可得，即，这说明是的解．‎ 由于，，所以线性无关．又由于，所以，因此的基础解系中含有个线性无关的解向量．而线性无关，且为的解，所以可作为的基础解系，故选(D)．‎ ‎(7)【答案】(D)．‎ ‎【解析】选项(D)‎ ‎ ．‎ 所以为概率密度．‎ ‎ (8)【答案】(B)．‎ ‎【解析】因为 ‎ 所以，，于是 ．‎ 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．‎ ‎(9)【答案】．‎ ‎【解析】选取为参数，则弧微元 所以．‎ ‎(10)【答案】．‎ ‎【解析】由通解公式得 ‎ ‎ ‎ ．‎ 由于故=0．所以．‎ ‎(11)【答案】4．‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ 故．‎ ‎ (12)【答案】．‎ ‎【解析】取，取上侧，则由斯托克斯公式得，‎ 原式=．‎ 因由转换投影法得 ‎．‎ ‎．‎ ‎(13)【答案】．‎ ‎【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵的特征值，故的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵 ‎，‎ 由于，故．‎ ‎(14)【答案】．‎ ‎【解析】根据题意，二维随机变量服从．因为，所以由二维正态分布的性质知随机变量独立，所以．从而有 ‎．‎ 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎(15)(本题满分10分)‎ ‎【解析】‎ ‎．‎ ‎(16)(本题满分9分)‎ ‎【解析】‎ ‎．‎ 因为在可导，且为极值,所以，则 ‎．‎ ‎(17)(本题满分10分)‎ ‎【解析】显然为方程一个实根．‎ 当时，令 ‎ ．‎ 令，‎ ‎，‎ 即．‎ 又因为，‎ 即当时，； 当时，．‎ 当时，；当时，．‎ 所以当时，单调递减，当时，单调递增 又由，‎ ‎ ，‎ 所以当时，由零点定理可知在，内各有一个零点；‎ ‎ 当时，则在，内均无零点．‎ 综上所述，当时，原方程有三个根．当时，原方程有一个根．‎ ‎(18)(本题满分10分)‎ ‎【解析】(Ⅰ)设 显然在上满足拉格朗日的条件，‎ 所以时，‎ ‎，即：，‎ 亦即：．‎ 结论得证．‎ ‎（II）设．‎ 先证数列单调递减．‎ ‎，‎ 利用（I）的结论可以得到，所以得到，即数列单调递减．‎ 再证数列有下界．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 得到数列有下界．利用单调递减数列且有下界得到收敛．‎ ‎(19)(本题满分11分)‎ ‎【解析】‎ ‎．‎ 因为，所以．‎ ‎．‎ ‎(20)(本题满分11分)‎ ‎【解析】(I)由于不能由线性表示，对进行初等行变换：‎ ‎．‎ 当时，，此时，不能由线性表示，故不能由线性表示．‎ ‎(II)对进行初等行变换：‎ ‎，‎ 故，，．‎ ‎(21)(本题满分11分)‎ ‎【解析】(I)由于，设，则 ‎，即，而，知的特征值为，对应的特征向量分别为，．‎ 由于，故，所以．‎ 由于是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设对应的特征向量为，则 ‎ 即 解此方程组，得，故对应的特征向量为．‎ ‎(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：‎ ‎．‎ 令，则，‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎（22）（本题满分11分）‎ ‎【解析】(I)因为，所以． ‎ 即 ．‎ 利用边缘概率和联合概率的关系得到 ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1/3‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1/3‎ ‎0‎ ‎1/3‎ 即的概率分布为 ‎(II)的所有可能取值为．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ 的概率分布为 Z ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎1/3‎ ‎1/3‎ ‎1/3‎ ‎ ‎ ‎(III)因为，‎ 其中 ‎，．‎ 所以，即，的相关系数．‎ ‎（23）（本题满分 11分）‎ ‎【解析】因为总体服从正态分布，故设的概率密度为，．‎ ‎(I) 似然函数 ‎ ‎；‎ 取对数：；‎ 求导：．‎ 令，解得．‎ 的最大似然估计量为．‎ ‎(II) 方法1： ‎ ‎，令，则．‎ ‎．‎ ‎．‎ 方法2：‎ ‎，则，得到，即．‎ ‎．‎ ‎．‎