宿迁市2018~2019学年度第一学期期末考试高二数学

宿迁市2018~2019学年度第一学期期末考试高二数学

宿迁市2018~2019学年度第一学期期末考试高二数学 ‎（考试时间120分钟，试卷满分160分)‎ 注意事项:‎ ‎1．答题前，请您将自己的座位号填写在答题卡上规定的地方，准考证号的条形码粘贴在答题卡上规定的地方．‎ ‎2．答题时，请使用0.5毫米的黑色 中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚．‎ ‎3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．‎ 参考公式：‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． ‎ ‎1. 写出命题“”的否定： ▲ .‎ ‎2. 某中学生一周内每日睡眠时间分别是6，6，7，x，7，8，9(单位：小时)，若该组数据的平均数为7，则该组数据的方差为 ▲ .‎ ‎3. ‎（第6题）‎ 开始 S←1‎ n←0‎ S←S＋4n n←n＋1‎ 结束 输出S S≥30‎ N Y 在平面直角坐标系中，已知点到抛物线准线的距离为4，‎ 则的值为 ▲ .‎ ‎4. 运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ .‎ ‎（第5题）‎ A B C O S←1‎ For I From 1 To 5 step 2‎ S←S +2I End For Print S ‎（第4题）‎ 第4题图 ‎ ‎ ‎5. 如图，圆和其内接正三角形，若在圆面上任意取一点，则点恰好落在三角 形外的概率为 ▲ .‎ ‎6. 如图是某算法流程图，则程序运行后输出的值为 ▲ ．‎ ‎7. 一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.‎ 若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为 ▲ .‎ ‎8. 若曲线在处切线的斜率为2，则实数的值为 ▲ .‎ 第 10 页 （共 10 页）‎ 高二数学 ‎ ‎9. 已知双曲线的一个焦点坐标为，且它的一条渐近线与直线：垂直，则双曲线的标准方程为 ▲ .‎ ‎10. 若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为 ▲ .‎ ‎11. 若直线与方程所表示的曲线恰有两个不同的交点，则实数的 取值范围为 ▲ . ‎ ‎12. 已知椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为.若点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为 ▲ . ‎ ‎13. 在平面直角坐标系中，已知圆圆.若圆 ‎ 上存在点，过点作圆的切线，切点为，且，则实数的取值范围为 ▲ . ‎ ‎14. 已知函数(为常数，为自然对数的底数)，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 ▲ . ‎ 二、解答题：本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.命题：指数函数是减函数；命题：，使关于的方程 ‎ 有实数解，其中.‎ ‎(1)当时，若为真命题，求的取值范围；‎ ‎(2)当时，若且为假命题，求的取值范围.‎ 第 10 页 （共 10 页）‎ 高二数学 ‎ ‎16．随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现．某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了100名用户，得到用户的满意度评分（满分10分），现将评分分为5组，如下表：‎ 组别 一 二 三 四 五 满意度评分 ‎[0，2）‎ ‎[2，4）‎ ‎[4，6）‎ ‎[6，8）‎ ‎[8，10]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ a ‎32‎ ‎16‎ 频率 ‎0.05‎ b ‎0.37‎ c ‎0.16‎ ‎(1)求表格中的a，b，c的值；‎ ‎(2)估计用户的满意度评分的平均数；‎ ‎(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？‎ ‎17．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，‎ 记外接圆为圆.‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，‎ 说明理由．‎ ‎18. 如图，已知、两个城镇相距20公里，设是中点，在的中垂线上有一高铁站，的距离为10公里.为方便居民出行，在线段上任取一点（点与、不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到处，再铺设快速路分别到、两处.因地质条件等各种因素，其中快速路造价为1.5百万元/公里，快速路造价为1百万元/公里，快速路造价为2百万元/公里，设,总造价为(单位：百万元).‎ ‎(1)求关于的函数关系式，并指出函数的定义域；‎ P AAA B O M ‎（第18题）‎ ‎(2)求总造价的最小值，并求出此时的值.‎ 第 10 页 （共 10 页）‎ 高二数学 ‎ ‎19.如图，在平面直角坐标系中，点在椭圆：上，且 椭圆的离心率为. ‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)记椭圆的左、右顶点分别为,点是轴上任意一点(异于点)，过点的直线与椭圆相交于两点.‎ 若点的坐标为，直线的斜率为，求△的面积;‎ E F A2‎ A1‎ C G x y O C ‎(第19题)‎ ‚若点的坐标为，连结交于点，记直线的斜率分别为，证明：是定值.‎ ‎ ‎ ‎20.设函数，.‎ ‎(1)当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎(2)求函数在上的最小值(为自然对数的底数)；‎ ‎(3)是否存在实数，使得对任意正实数均成立？若存在，求出所有满足条件的实数的值；若不存在，请说明理由.‎ 第 10 页 （共 10 页）‎ 高二数学 ‎ 高二数学参考答案与评分标准 1. ‎ 2. 3.2 4.19 5. 6，41 ‎ 7. ‎ 8. 9. 10. 11. 12. ‎ ‎13. 14. ‎ ‎15.解（1）当时，指数函数化为 因为指数函数是减函数，所以 ..................4分 ‎ 即 所以实数的取值范围为.......................................6分 ‎(2)当时，指数函数化为 若命题为真命题，则，即 所以为假命题时的取值范围是或......................8分 命题为真命题时，即关于的方程有实数解，‎ 所以，解得，‎ 所以命题为假命题时的取值范围为........................10分 因为且为假命题，所以为假命题或者为假命题................12分 所以实数满足或或，即或 所以实数的取值范围为..........................14分 ‎16.解:(1)，，....................................3分 第 10 页 （共 10 页）‎ 高二数学 ‎ ‎(2)...................9分 ‎(3).....................................13分 ‎ 答：(1)表格中的，，；‎ ‎(2)估计用户的满意度评分的平均数为5.88；‎ ‎(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为13‎ ‎.................................................................14分 ‎17.解:(1)设外接圆的方程为,‎ ‎ 将代入上述方程得： ............2分 ‎ 解得 .............................................4分 ‎ 则圆的方程为 ..................................6分 ‎ (2)设点的坐标为，‎ ‎ 因为，所以 ‎ ‎ 化简得：...............................................8分 ‎ 即考察直线与圆的位置关系 ............................10分 ‎ 点到直线的距离为 ...............12分 ‎ 所以直线与圆相交，故满足条件的点有两个。 .........14分 ‎18.解：(1),‎ ‎ ，....................2分 ‎ ‎ 第 10 页 （共 10 页）‎ 高二数学 ‎ ‎ ‎ ‎ ....................................7分 ‎ （定义域不写扣1分）‎ ‎ (2)设 则 ‎ ....................................................10分 ‎ 令，又，所以.‎ ‎ 当,,,单调递减；‎ ‎ 当,,,单调递增；....................14分 ‎ 所以的最小值为.......................................15分 ‎ 答：的最小值为(百万元)，此时..........................16分 ‎19.解:(1)因为，得，‎ ‎ 所以椭圆的标准方程是.....................................2分 ‎ （2）设的坐标分别为，‎ ‎ ①直线:代入椭圆方程得：，‎ ‎ 所以 .......4分 ‎ 所以 ‎ 第 10 页 （共 10 页）‎ 高二数学 ‎ ‎ ‎ ‎ = ......................... .......................6分 ‎ ②直线 ，联立方程组得：‎ ‎ ‎ ‎ 则， ‎ ‎ 所以 .....................................8分 ‎ ‎ 同理可得： ....................................9分 ‎ 又因为三点共线，所以，即，将三点坐标 ‎ 代入上式得：，化简得 ‎ 整理得： ，因为，所以即..11分 ‎ 又联立得 ......................12分 ‎ ‎ 所以 ‎ 所以...............................................14分 ‎ 当时，点或，均满足 ‎ ‎ .‎ 所以为定值......................................... ........ 16分 第 10 页 （共 10 页）‎ 高二数学 ‎ ‎20.解:(1)因为函数，且，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以....................................................1分 ‎ 所以，‎ ‎ 所以曲线在处的切线方程是，即....2分 ‎ (2)因为函数，所以 ‎ 1°当时，，所以在上单调递增. ‎ ‎ 所以函数在上的最小值是............................4分 ‎ 2°当时，令，即，所以 ‎ 令，即，所以 ‎ （i）当，即时，在上单调递增，‎ ‎ 所以在上的最小值是 ‎ （ii）当，即时，在上单调递减，在上单调 ‎ 递增，所以在上的最小值是 ‎ （iii）当，即时，在上单调递减，‎ ‎ 所以在上的最小值是............................7分 ‎ 综上所述，当时，在上的最小值是 ‎ 当时，在上的最小值是 ‎ 当时，在上的最小值是...................8分 第 10 页 （共 10 页）‎ 高二数学 ‎ ‎ (3)令，‎ ‎ 则，且=0‎ ‎ 若，即，得.................................9分 ‎ 若时，，‎ ‎ 令，则，则在上是增函数，‎ ‎ 而，则有 ‎ 当时，，当时，，‎ ‎ 所以当时，有极小值，也是最小值，则有 ‎ 成立........................................10分 ‎ 当时， ，（），‎ ‎ 则，‎ ‎ 所以在内存在，使，即当时，有，‎ ‎ 则在是减函数，则有，即这与不符，‎ ‎ 则不成立；……………………………………………………………………14分 当时，‎ ‎，‎ 则在是增函数，则有，即这与不符；‎ 当时，则，则有 ‎ ，这与不符合.‎ ‎ 绽上所述，当且仅当时，在定义域上恒成立. ………………16分 第 10 页 （共 10 页）‎ 高二数学 ‎