2019年河南省许昌市禹州市高二数学模拟试卷（理科）

2019年河南省许昌市禹州市高二数学模拟试卷（理科）

‎2019年河南省许昌市禹州市高二数学模拟试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）‎ ‎2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（　　）‎ A．2 B． C．3 D．2‎ ‎3．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（　　）‎ A．（﹣，3） B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞） D．（﹣3，+∞）‎ ‎4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（　　）‎ A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0‎ ‎5．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．5‎ ‎6．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（　　）‎ A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1‎ ‎7．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：‎ ‎①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；‎ ‎②若a∥b，a∥c，则b∥c；‎ ‎③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；‎ ‎④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．‎ ‎ 21 / 21‎ 其中真命题的序号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（　　）‎ A．10 B．20 C．25 D．30‎ ‎10．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值范围为（　　）‎ A．＜α≤ B．＜α＜π C．≤α＜π D．＜α≤‎ ‎11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（　　）‎ A．4 B．1 C．3 D．2‎ ‎12．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为_______．‎ ‎14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为_______．‎ ‎15．设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为_______．‎ ‎16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于_______．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．等差数列{an}的公差为d（d＜0），ai∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{bn}中，b1=1，点Bn（n，bn）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．‎ ‎（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；‎ ‎ 21 / 21‎ ‎（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．‎ ‎19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．‎ ‎（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？‎ ‎（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ 甲 乙 ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎8‎ x ‎2‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎20．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；‎ ‎（1）求曲线E的方程；‎ ‎（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点 （，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．‎ ‎21．已知函数（其中常数a，b∈R），．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；‎ ‎（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．‎ ‎（1）证明：PC=PD；‎ ‎（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．‎ ‎ 21 / 21‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．‎ ‎（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB的面积；‎ ‎（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．‎ ‎（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；‎ ‎（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎ 21 / 21‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】化简集合B，求出A的补集，再计算（∁UA）∩B．‎ ‎【解答】解：全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，‎ B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，‎ ‎∴∁UA={x|x＜﹣1或x＞1}，‎ ‎∴（∁UA）∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（　　）‎ A．2 B． C．3 D．2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】先求出+z，再求出其模即可．‎ ‎【解答】解：∵z=1+i，‎ ‎∴+z=+1+i===1﹣i+1+i=2，‎ 故|+z|=2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（　　）‎ A．（﹣，3） B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞） D．（﹣3，+∞）‎ ‎【考点】绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】选择题，对x+2进行分类讨论，可直接利用绝对值不等式公式解决：|x|＞a等价于x＞a或x＜﹣a，最后求并集即可．‎ ‎【解答】解：当x+2＞0时，‎ 不等式可化为2x﹣1＞x+2或2x﹣1＜﹣（x+2），‎ ‎∴x＞3或2x﹣1＜﹣x﹣2，‎ ‎∴x＞3或﹣2＜x＜﹣，‎ 当x+2≤0时，即x≤﹣2，显然成立，‎ ‎ 21 / 21‎ 故x的范围为x＞3或x＜﹣‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（　　）‎ A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】由f（+x）=f（﹣x），可得x=是函数f（x）的对称轴，利用三角函数的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），‎ ‎∴x=是函数f（x）的对称轴，‎ 即此时函数f（x）取得最值，即f（）=±2，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．5‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，‎ ‎ 21 / 21‎ ‎∵y=，‎ ‎∴sin（）=‎ ‎∴=2kπ+，k∈Z，即可解得x=12k+1，k∈Z．‎ ‎∴当k=0时，有x=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（　　）‎ A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得c﹣a=1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b=，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：双曲线的一个顶点（a，0）到较近焦点（c，0）的距离为1，‎ 可得c﹣a=1，‎ 由双曲线的渐近线方程为y=x，‎ 则焦点（c，0）到渐近线的距离为d==b=，‎ 又c2﹣a2=b2=3，‎ 解得a=1，c=2，‎ 即有双曲线的方程为x2﹣=1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：‎ ‎①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；‎ ‎②若a∥b，a∥c，则b∥c；‎ ‎③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；‎ ‎④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．‎ 其中真命题的序号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎ 21 / 21‎ ‎【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．‎ ‎【解答】解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，‎ ‎①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；‎ ‎②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；‎ ‎③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；‎ ‎④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，求出面积，即可求出概率．‎ ‎【解答】解：这是一个几何概率模型．‎ 若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．‎ 满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，‎ x2+y2≤4}，‎ 面积为2[﹣（﹣）]= +，‎ 故|OM|≤2的概率为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（　　）‎ A．10 B．20 C．25 D．30‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎ 21 / 21‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9，而s17=17a9，故本题可解．‎ ‎【解答】解：∵a1+a17=2a9，‎ ‎∴s17==17a9=170，‎ ‎∴a9=10，‎ ‎∴a7+a9+a11=3a9=30；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值范围为（　　）‎ A．＜α≤ B．＜α＜π C．≤α＜π D．＜α≤‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由已知根据三角形内角和定理得3α＞π，从而解得α＞，妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），利用余弦定理可得cosα=2﹣＞﹣1，结合三角形内角的范围即可得解．‎ ‎【解答】解：∵α为△ABC最大内角，‎ ‎∴3α＞π，‎ 即α＞，‎ 由题意，不妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），‎ 则由余弦定理可得，cosα===2﹣=2﹣，‎ 又∵三角形两边之和大于第三边，可得a﹣d+a＞a+d，可得a＞2d，即，‎ ‎∴cosα=2﹣＞﹣1，‎ 又α为三角形内角，α∈（0，π），‎ 可得：α∈（，π）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（　　）‎ A．4 B．1 C．3 D．2‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎ 21 / 21‎ ‎【分析】根据分段函数，分别讨论x的范围，求出函数的最小值，根据题意得出不等式a2＜a+2，求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=，‎ 当x≤0时，‎ f（x）的最小值为a2，‎ 当x＞0时，‎ f（x）的最小值为2+a，‎ ‎∵在x=0处取得最小值，‎ ‎∴a2＜a+2，‎ ‎∴﹣1≤a≤2，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】利用基本不等式和参数分离可得a≤在x＞0时恒成立，构造函数g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．‎ ‎【解答】解：当x=0时，不等式即为0≤ey﹣2+e﹣y﹣2+2，显然成立；‎ 当x＞0时，设f（x）=ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2，‎ 不等式4ax≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立，‎ 即为不等式4ax≤f（x）恒成立．‎ 即有f（x）=ex﹣2（ey+e﹣y）+2≥ex﹣2•2+2=2+2ex﹣2（当且仅当y=0时，取等号），‎ 由题意可得4ax≤2+2ex﹣2，‎ 即有a≤在x＞0时恒成立，‎ 令g（x）=，g′（x）=，‎ 令g′（x）=0，即有（x﹣1）ex﹣2=1，‎ 令h（x）=（x﹣1）ex﹣2，h′（x）=xex﹣2，‎ 当x＞0时h（x）递增，‎ 由于h（2）=1，即有（x﹣1）ex﹣2=1的根为2，‎ 当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，‎ 即有x=2时，g（x）取得最小值，为，‎ ‎ 21 / 21‎ 则有a≤．‎ 当x=2，y=0时，a取得最大值．‎ 故选：D ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为　存在x0≤0，都有　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以，命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为：存在x0≤0，都有；‎ 故答案为：存在x0≤0，都有；‎ ‎　‎ ‎14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为　1　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x3项的系数为20，得到ab的值．‎ ‎【解答】解：（ax2+）6的展开式的通项公式为Tr+1=•a6﹣r•br•x12﹣3r，‎ 令12﹣3r=3，求得r=3，‎ 故（ax2+）6的展开式中x3项的系数为•a3•b3=20，‎ ‎∴ab=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎15．设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为　　．‎ ‎【考点】三角形的形状判断；函数的值．‎ ‎【分析】不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c，则可得ab＞M2，结合题意可得，结合a2+b2≥2ab可求c的范围，进而可求M的范围，即可求解 ‎【解答】解：不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c ‎∴ab＞M2‎ 由题意可得，‎ ‎ 21 / 21‎ ‎∴‎ ‎∵a2+b2≥2ab＞2c ‎∴c2＞2c即c＞2‎ ‎∴ab＞2‎ ‎∴M2≥2‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于　3　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．‎ ‎【分析】先根据=0，可得⊥，又因为==‎ ‎=|OC|×1×cos30°==1×，所以可得：在x轴方向上的分量为 在y轴方向上的分量为，又根据=m+n=n+m，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵||=1，||=， =0，⊥‎ ‎==‎ ‎=|OC|×1×cos30°==1×‎ ‎∴在x轴方向上的分量为 在y轴方向上的分量为 ‎∵=m+n=n+m ‎∴，‎ 两式相比可得： =3．‎ 故答案为：3‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．等差数列{an}的公差为d（d＜0），ai∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{bn}中，b1=1，点Bn（n，bn）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．‎ ‎ 21 / 21‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（I）等差数列{an}的公差为d（d＜0），ai∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），可得a1=5，a2=3，a3=1．利用等差数列的通项公式即可得出．由点Bn（n，bn）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，可得bn=a•2n．利用b1=1，解得a，即可得出．‎ ‎（II）cn=an•bn=（7﹣2n）•2n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）等差数列{an}的公差为d（d＜0），ai∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），‎ ‎∴a1=5，a2=3，a3=1．∴d=3﹣5=﹣2，∴an=5﹣2（n﹣1）=7﹣2n．‎ ‎∵点Bn（n，bn）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，∴bn=a•2n．‎ ‎∵b1=1，∴1=a×21，解得a=．‎ ‎∴bn=2n﹣1．‎ ‎（II）cn=an•bn=（7﹣2n）•2n﹣1．‎ ‎∴数列{cn}的前n项和Sn=5×1+3×2+1×22+…+（7﹣2n）•2n﹣1．‎ ‎∴2Sn=5×2+3×22+…+（9﹣2n）•2n﹣1+（7﹣2n）•2n，‎ ‎∴﹣Sn=5﹣2（2+22+…+2n﹣1）﹣（7﹣2n）•2n=5﹣﹣（7﹣2n）•2n=9﹣（9﹣2n）•2n，‎ ‎∴Sn=（9﹣2n）•2n﹣9．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．‎ ‎（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；‎ ‎（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．‎ ‎（2）利用四点共面， =x+y，建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．‎ ‎ 21 / 21‎ ‎∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：‎ 则A（0，0，0），A1（0，0，6），B（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，2，4），‎ 则=（2，0，2），=（0，2，4），‎ 设平面AEF的法向量为=（x，y，z）‎ 则 令z=1．则x=﹣1，y=﹣2，‎ 即=（﹣1，﹣2，1），‎ 平面ABC的法向量为=（0，0，1），‎ 则cos＜，＞===‎ 即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是；‎ ‎（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，‎ 则G（1，1，0），‎ ‎∵=，‎ ‎∴==λ（1，1，﹣6）=（λ，λ，﹣6λ），‎ ‎=+=（λ，λ，6﹣6λ）‎ ‎∵A，E，F，H四点共面，‎ ‎∴设=x+y，‎ 即（λ，λ，6﹣6λ）=x（2，0，2）+y（0，2，4），‎ 则，得λ=，x=y=，‎ 故λ的值为．‎ ‎ 21 / 21‎ ‎　‎ ‎19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．‎ ‎（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？‎ ‎（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ 甲 乙 ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎8‎ x ‎2‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）由题意利用平均数的定义仔细分析图表即可求得；‎ ‎（2）由题意记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8”为事A，则，而随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，‎ ‎ 由题意可以分析出该随机变量ξ～B（3，），再利用二项分布的期望与分布列的定义即可求得．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，解x=4，‎ ‎ 由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定．‎ ‎（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A，则，‎ 随机变ξ的可能取值为0、1、2、3，ξ～B（3，），‎ ‎，其k=0、1、2、3．‎ 所以变ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎　‎ ‎20．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；‎ ‎（1）求曲线E的方程；‎ ‎（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点 （，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎ 21 / 21‎ ‎【分析】（1）设P（x，y），由题意可得，整理可得切线E的方程 ‎（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角），代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0，由韦达定理得，，若使得点 （，）在以原点为圆心，定值r为半径的圆上，则有=为定值 ‎【解答】解：（1）设P（x，y），圆方程x2﹣7x+y2+4=0化为标准式：‎ 则有 ‎∴（x﹣2）2=x2﹣7x+y2+4，整理可得y2=3x ‎∴曲线E的方程为y2=3x．‎ ‎（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）‎ 代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0‎ 由韦达定理得，， =‎ ‎ 21 / 21‎ ‎=═‎ 令﹣12n与2n2+6m﹣9同时为0‎ 得n=0，，此时为定值故存在．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数（其中常数a，b∈R），．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；‎ ‎（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（I）根据所给的函数是一个奇函数，写出奇函数成立的等式，整理出b的值是0，得到函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，求出极值点．‎ ‎（II）要求函数的单调增区间，首先对函数求导，使得导函数大于0，解不等式，问题转化为解一元二次不等式，注意对于a值进行讨论．‎ ‎（Ⅲ）求出函数g（x）在[0，a]上的极值、端点值，比较其中最小者即为h（a），再利用奇函数性质及基本不等式求出f（x）的最小值，对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，‎ 等价于f（x）min＞h（a），在上只要找到一a值满足该不等式即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，‎ 因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，‎ 得，∴，‎ ‎∴，得，‎ 令f'（x）=0，得x2=1，∴x=±1，‎ 经检验x=±1是函数f（x）的极值点．‎ ‎（Ⅱ）因为，∴，‎ 令f'（x）＞0⇒﹣ax2﹣2bx+a＞0，得ax2+2bx﹣a＜0，‎ ‎ 21 / 21‎ ‎①当a＞0时，方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2＞0，两根，‎ 单调递增区间为，‎ ‎②当a＜0时，单调递增区间为和．‎ ‎（Ⅲ） 因为，当x∈[0，a]时，令g'（x）=0，得，其中．‎ 当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（0，x0）‎ x0‎ ‎（x0，a）‎ g'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ g（x）‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．‎ 又g（0）=0，，∴h（a）=g（a），∴，‎ b=0时，由函数是奇函数，且，‎ ‎∴x＞0时，，当x=1时取得最大值；‎ 当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，，‎ ‎∴函数f（x）的最小值为，‎ 要使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，则f（x）最小＞h（a），‎ ‎∴，即不等式在上有解，a=π符合上述不等式，‎ ‎∴存在满足条件的实数a=π，使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．‎ ‎（1）证明：PC=PD；‎ ‎（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．‎ ‎ 21 / 21‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：∠DGP=∠PDG，即可证明PC=PD；‎ ‎（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE互相平分．‎ ‎【解答】证明：（1）∵PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，‎ ‎∴∠PDA=∠DBA，∠BDA=90°，‎ ‎∴∠DBA+∠DAB=90°，‎ ‎∵PE⊥AB ‎∴在Rt△AFG中，∠FGA+∠GAF=90°，‎ ‎∴∠FGA+∠DAB=90°，‎ ‎∴∠FGA=∠DBA．‎ ‎∵∠FGA=∠DGP，‎ ‎∴∠DGP=∠PDA，‎ ‎∴∠DGP=∠PDG，‎ ‎∴PG=PD；‎ ‎（2）连接AE，则 ‎∵CE⊥AB，AB为圆的一条直径，‎ ‎∴AE=AC=BD，‎ ‎∴∠EDA=∠DAB，‎ ‎∵∠DEA=∠DBA，‎ ‎∴△BDA≌△EAD，‎ ‎∴DE=AB，‎ ‎∴DE为圆的一条直径，‎ ‎∴线段AB与DE互相平分．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．‎ ‎ 21 / 21‎ ‎（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB的面积；‎ ‎（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程．将其化为极坐标方程为，分别代入和，可得|OA|，|OB|，，利用直角三角形面积计算公式可得△AOB的面积．‎ ‎（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程得x﹣y﹣2=0，与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），‎ 利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程为，‎ 将其化为极坐标方程为，‎ 分别代入和，得，‎ ‎∵，故△AOB的面积．‎ ‎（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程，得x﹣y﹣2=0，‎ 联立方程，解得x=2，y=0，或，‎ ‎∴曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．‎ ‎（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；‎ ‎（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（1）若a=﹣1，不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，去掉绝对值解不等式f（x）≤5；‎ ‎（2）分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即可求实数a的取值范围．‎ ‎ 21 / 21‎ ‎【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|3x﹣1|+3﹣x，所以不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，讨论：‎ 当时，3x﹣1﹣x+3≤5，解之得；‎ 当时，﹣3x+1﹣x+3≤5，解之得，‎ 综上，原不等式的解集为…‎ ‎（2），‎ 分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3…‎ ‎　‎ ‎ 21 / 21‎