湖北省宜昌市2020届高三年级4月线上统一调研考试 数学（文）（PDF版）

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高三文数试卷 第 1页 共 4 页 宜昌市 2020 届高三年级 4 月线上统一调研测试 数学试题（文科） 本试卷共 4 页，23 题（含选考题）. 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知集合 2{ 2 3}, { 2 1, }xA x y x x B y y x R        ，则 A B  A. [1,3] B. [1, ) C. [ 1,3) D. [3, ) 2. 复数 z 满足 (1 ) 2 2i z i   ，则 z  A. 1 i B. 1 i C. 2 2i D. 2 2i 3. 已知 3tan 2 , ( ,2 )2      ，则 cos  A. 5 5 B. 2 5 5 C. 5 5  D. 5 5  4. 设 1 31( )2x  ， 5 1log 6y  ， 1 4 log 3z  ，则 A. x y z  B. y z x  C. z x y  D. z y x  5. 运行如图所示的程序框图，输出的结果为 A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 3 6. 某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示(单位:万 元)，下列说法中错误．．的是 (注: 月结余＝月收入－月支出) A. 上半年的平均月收入为 45 万元 B．月收入的方差大于月支出的方差 C．月收入的中位数为 70 D．月结余的众数为 30 7. 已知圆 2 2:( 1) 4C x y   ，过点 ( 2,0) 的直线 l 与圆 C 相交，则直线 l 的斜率的取值范围为 A. ( 2,2) B. 2 5( , )5  C. 2 5 2 5( , )5 5  D. 2 3 2 3( , )5 5  8. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺， 重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下 1 否 是 开始 0, 1S n  2020?n„ tan 3 nS S   1n n  结束 输出 S 高三文数试卷 第 2页 共 4 页 尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤. 问依次每一尺各重多少斤？” 假定该金杖被截成长度相等 的若干段时，其重量从粗到细构成等差数列. 若将该金杖截成长度相等的 20 段，则中间两段的重量和为 A. 6 5 斤 B. 4 3 斤 C. 3 2 斤 D. 5 4 斤 9. 对于函数 2( ) 1xf x e   的图象，下列说法正确的是 A. 关于直线 1x  对称 B. 关于直线 y x 对称 C. 关于点 (1,0) 对称 D. 关于点 (0,1) 对称 10. ABC 中， 2, 3, 3AC BC AC BC       ,O 为该三角形的外心，则 BA AO   A. 19 2 B. 19 2  C. 7 2  D. 7 2 11. 某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形， 1M 为正视图一边的 中点，且几何体表面上的点 M、A、B 在正视图上的对应点分别为 1M 、 1A、 1 .B 在此几何体中，平面 过点 M 且与直线 AB 垂直，则平面  截该几何体所得截面图形的面积为 A. 6 2 B. 6 4 C. 3 2 D. 3 4 12. 若函数 2( ) 1xf x e x ax    在区间[1,2] 内有且仅有一个零点，则实数 a 的取值范围为 A. 25[ , )2 e  B. ( ,2 ]e  C. 25( ,2 )2 e e  D. 25[ ,2 ]2 e e  二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 填 错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13. 已知函数 ( )f x 为 R 上的奇函数， 0x  时， 2( )f x x x   ，则 ( 2)f   . 14. 若实数 yx, 满足约束条件 1 1 4 x y x y      ，则 2x y 的最小值为 . 15. 各项均为正数的等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a  ， 3 37S a ，则使 127 64nS  成立的 n 的最小值 为 . 16. 已知双曲线 2 2 19 7 x y  的左焦点为 F ，点 P 在双曲线的右支上，若线段 PF 与圆 2 2 16x y  相交于点 M ，且 FM MP  ，则直线 PF 的斜率为 . 高三文数试卷 第 3页 共 4 页 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17～21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A B C、 、 的对边分别是 a b c、 、 ，满足 3( cos ) sin .a b C c B  （1）求角 B 的大小； （2）若 ABC 的面积为 2 3 , 2 6b  ，求 ABC 的周长. 18.（本题满分 12 分） 已知菱形 ABCD 的边长为 2， 60ABC   ，对角线 AC 、BD 交于点O ，平面外一点 P 在平面 ABCD 内的射影为 O , PB 与平面 ABCD 所成角为 30 . （1）求证： BD PA ； （2）点 N 在线段 PB 上，且 3 12N PCDV   ，求 PN PB 的值. 19.（本题满分 12 分） 目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐. 为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院 组织专家统计了该地区 500 名患者的新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频 率分布直方图（用频率作为概率）. 潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数 的患者，称为“长潜伏者”． （1）求这 500 名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这 500 名患者中“长潜伏者”的人数； （2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述 500 名 患者中抽取 300 人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为 潜伏期长短与患者年龄有关； 短潜伏者 长潜伏者 合计 60 岁及以上 90 60 岁以下 140 合计 300 （3）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的 300 人中分层选取 7 位 60 岁以 下的患者做Ⅰ期临床试验，再从选取的 7 人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有 1 人为“长潜 伏者”的概率. 附表及公式： 2 0( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      高三文数试卷 第 4页 共 4 页 20.（本题满分 12 分） 已知抛物线 2: 8C x y 和直线 : 2l y kx  ，直线 l 恒过圆 P 的圆心，且圆 P 上的点到直线 l 的最大距 离为 2. （1）求圆 P 的方程； （2）直线l 与抛物线C 和圆 P 都相交，且四个交点自左向右顺次记为 A B C D、 、 、 . 如果 16CD AB , 求直线 l 的方程. 21.（本题满分 12 分） 已知函数 ( ) 2sinf x x x  . （1）当 [0, 2 ]x  时，求 ( )f x 的最小值； （2）若 [0, ]x  时， ( ) (1 ) cosf x a x x x    ，求实数 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 22 2 24 2 x t y t         ( t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴 的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 2cos   . （1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知定点 ( 2, 4)M   ，直线 l 与曲线 C 分别交于 P Q、 两点，求 MQ MP MP MQ  的值. 23. [选修 4-5：不等式选讲]（本题满分 10 分） 已知正实数 a 、 b 、 c 满足 9a b c   ，且 2 2 2 a b c   的最小值为 t . （1）求t 的值； （2）设 ( ) 2 3f x x t x    ，若存在实数 x ，使得不等式 2( ) 2 3f x m m   成立，求实数 m 的取 值范围. 宜昌市 2020 届高三年级 4 月线上统一调研测试 文科数学参考答案 命题：（秭归一中） 审题：（宜昌市一中） （远安一中） （宜昌市科技高中） 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D A B C C C C D C A D 二、填空题： 13. 2 14. 5 15. 8 16. 15 7 三、解答题： 17.（1）由 3( cos ) sina b C c B得 BCCBA sinsin)cossin(sin3  .sinsin]cossin)[sin(3 BCCBCB  …………………………………….….….…….2 分 CBCB sinsinsincos3  . ……………………………………….….…….4 分 在△ ABC 中， .3tan,0sin  BC ……………………………………….………..5 分 又 .3,0   BB ……………………………………….….….….6 分 （2）面积 .832sin2 1  acBacS …………………….……..……….……….7 分 accaac bcaB  242 1 2cos 22 222 ………………………………...…….….……..9 分 .3424324)( 2  caacca ……………………………………….…….….11 分 △ ABC 的周长为 .6234  ………………………………………...…….….12 分 18.（1）由题意 ,, BDPOABCDPO 面 …………………………………..…………..…...2 分 菱形 ABCD 中， ，BDAC  又 ,PO AC O 则 ，面PACBD  ………………………………...4 分 所以 ；PABD  ……………………………………….….…….5 分 （2）因为 ,ABCDPO 面 所以 PB 与平面 ABCD 所成角为 30PBO °， ……………...….…….6 分 又菱形边长为 2， ， 60ABC 所以 2,1,3  PBPOBO , .2,1  PCCO ….………….......8 分 4 2 4 2 14cos ,sin .442 2 2 BPC BPC      设 2PN PB，由 DBCPPBCD VV   得 D 到平面 PCB 的距离为 ， 7 212 则 D 到平面 PNC 的距离也为 .7 212 ….………………….…...10 分 .4 1 12 3 7 212 4 14222 1 3 1   PCNDPCDN VV ….……………….…...…..11 分 所以 .4 1PB PN ….…………………....…..12 分 19.（1）平均数 1103.0903.0718.0515.0308.0102.0( x .62)1301.0  ….…………………......…..2 分 “长潜伏者”即潜伏期时间不低于 6 天的频率为 0.5 所以 500 人中“长潜伏者”人数为 2505.0500  人. ….………..……..……………...…..4 分 （2）由题意补充的列联表如图： 短潜伏者 长潜伏者 合计 60 岁及以上 90 70 160 60 岁以下 60 80 140 合计 150 150 300 ….…………………………….…...…..5分 所以 2K 的观测值为 2300 (90 80 60 70) 75 5.357 5.024150 150 160 140 14k        ………………..…………...…..6 分 经查表，得 2( 5.024) 0.025Pk ，所以有 %5.97 的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关. ….....…....8 分 （3）由分层抽样知 7 人中，“短潜伏者”有 3 人，记为 cba ,, ,“长潜伏者”有 4 人，记为 ，GFED ,,, ....9 分 从中抽取 2 人，共有( , ),( , ),( , ), , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a b a c a D a E a F a G b c b D b E（ ,( , ),( , ),( , ),( , )b F b G c D c E , ( , ), , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )c F c G D E D F D G E F E G F G（ 21 种不同的结果，两人中恰好有 1 人为“长潜 伏者”包含了12 种结果. ….………...……………...…..11 分 所以所求概率 .7 4 21 12 P ….………………………...…..12 分 20.（1）直线 2 kxy 过定点 )2,0( ，圆心 )2,0(P 。 …………………................................…..2 分 因为圆 P 上的点到直线的最大距离为 2，所以 ,2r ……………….....…..3 分 所以圆 P 的方程为 .4)2( 22  yx ….……………………………...…..4 分 （2）由 yx 82  知 为抛物线焦点 由图和 ,16 ABCD  知 .0k ………………...…..5 分 04)48(2 8 222     ykykxy yx ， 设 ),(),,( 2211 yxDyxA ，则 .4,48 21 2 21  yykyy ………………………………………...…..7 分 由抛物线定义得 12 2,2 yAPAByDPCD  ………………………………………...…..9 分 所以  ABCD 16 12 16yy  ，所以 8,2 1 21  yy ，从而有 82 148 2 k 所以 .4 3 16 92  kk 所以直线l 的方程为3 4 8 0xy   …………………………………...…..12 分 21.（1） ]2,0[,cos21)('  xxxf ………………………………………...…..1 分 令 2 1cos0)('  xxf ，得 )3 5,3( x ; ' ( ) 0,fx 得 ），（ 30 x 和 ]2,3 5(  . 所以 )(xf 在 )3,0(  递减，在 )3 5,3(  递增，在 )2,3 5(  递减. ……………………….…...…..3 分 所以最小值为 )}2(,3(min{  ff ） . 又因为 ( ) 3, (2 ) 233ff    ， )2()3(  ff  ， 所以 ]2,0[ x 时， .33)3()( min  fxf …………………………...…..5 分 （2） xxxaxf cos)1()(  即 .0cossin2  axxxx 设 axxxxxh  cossin2)( ,  ,0x ( ) 2cos cos sin cos sinh x x x x x a x x x a        ………………………………………...…..6 分 ( ) cosh x x x  ， 0, , ( ) 0, , , ( ) 0.22x h x x h x               ( ) ( )22h x h a    ，又 (0) 1 , ( ) 1 .h a h a     ………………………………………...…..7 分 ① 02  a 即 2 a 时， ( ) 0, ( )h x h x  在 ,0 上递减， 0)( xh ，舍。…………………………..8 分 ② 02  a 即 2 a 时， （Ⅰ）当 01,01  aa 即 21  a 时，      2,00 x ，使得 0( ) 0,hx  且 000 , ( ) 0x x h x   , ()hx 在  0,0 x 内递减， ,0)0()(  hxh 矛盾，舍。 ………………………………………....…..9 分 （Ⅱ）当 01,01  aa 即 11  a 时，       ,20x ，使得 0( ) 0,hx  且 ,0 0xx  0( ) 0, ) 0h x x x h x   ，（ ， )(xh 在 0,0 x 上递增，在 ,0x 上递减，又 (0) 0,h  ( ) (1 ) 0ha   ，所以 0)( xh 成立。 ………………………………………...…..10 分 （Ⅲ） 01,01  aa 即 1a 时， ( ) 0, ( )h x h x  在 ，0 上递增，则 .0)0()(  hxh 满足题意。 ………………………………………...…..11 分 综上， .1a ……………………………………….....…..12 分 22.（10 分）（1）直线l 的普通方程为 .02  yx ………………………………………….…..2 分 曲线C 的直角坐标方程为 .22 xy  …………………………………….…...…..5 分 （2）将        ty tx 2 24 2 22 代入 xy 22  得 .020252 2  tt …………………………………...……..6 分 设方程的两根为 21,tt ，则 ,40,210,0 2121  tttt ………………………………………….....…..7 分 .32)( 21 21 2 21 21 2 2 2 1 1 2 2 1  tt tttt tt tt t t t t MQ MP MP MQ ………………………………………...…..10 分 23.（1）因为 , , 0, 9a b c a b c   且 所以 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2( )( ) (6 )99 b c a c a babca b c a b c a a b b c c              ……………….....…..3 分 2)22222222269 1  b c c b c a a c a b b a（ ，当且仅当 3abc   时等号成立 所以 .2t ………………………………………....…..5 分 （2）当 2t 时，        2,8 23,43 3,8 322)( xx xx xx xxxf ，可得 .5)( xf ……….……....…..7 分 欲满足题意，则 .42325 2  mmm 所以实数 m 的取值范围是 4,2 . ………………………….……………...…..10 分