全国高考数学理
1999年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）
数 学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至8。共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
注意事项：
l．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束。监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的积化和差公式
sinα=cosβ[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα=sinβ[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα=cosβ[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα=sinβ[cos(α+β)-cos(α-β)]
正棱台、圆台的侧面积公式：
S台侧=(c'+c)L/2其中c'和c表示圆台的上下底面的周长，L表示斜高或母线长。
台体的体积公式： 其中s,s'分别表示上下底面积，h表示高。
一、选择题：本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S
C．（M∩P）∩ D．（M∩P）∪
2．已知映射f：AB，其中，集合A={-3，-2，-1，l，2，3，4，}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是{a}，则集合B中元素的个数是
A．4 B．5 C．6 D．7
3．若函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x），f（a）=b，ab ≠0，则g（b）等于
A．a B．a-1 C．b D．b-1
4．函数f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值M D．可以取得最小值-M
5．若f（x）sinx是周期为∏的奇函数，则f（x）可以是
A．sin x B．cos x C．sin 2x D．cos 2x
6．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin（θ-π/3）关于
A．直线θ=π/3轴对称 B．直线θ=6/5π轴对称
C．点（2，π/3）中心对称 D．极点中心对称
7．若于毫升水倒人底面半径为2cm的圆杜形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是
8．若（2x+ ）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值为
A．l B．-1 C．0 D．2
9．直线 x+y2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为
A．π/6 B．π/4 C．π/3 D．π/2
10．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为
A．9/2 B．5 C．6 D．15/2
11．若sina>tga>ctga(-π/2
b>0）的右焦点为F1，右准线为l1。若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是___________________。
16．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有________________种（用数字作答）。
17．若正数a、b满足ab＝a+b+3，则ab的取值范围是_______________。
18．α、β是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线。给出四个论断：①m⊥n ② α⊥β③n⊥β ④m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______________________________________________________。
三、解答题：本大题共6小题：共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19． （本小题满分10分）
解不等式
20．（本小题满分12分）
设复数z＝3cosθ＋i·2sinθ，y=θ-argZ(0<θ<π/2)求函数的最大值以及对应的θ值
21．本小题满分12分
如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B，且面EAC与底面ABcD所成的角为45°，AB＝a
（Ⅰ）求截而EAC的面积：
（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离；
（Ⅲ）求三棱锥B1—EAC的体积
22．（本小题满分12分）
上图为一台冷轧机的示意图；冷轧机由若干对轧辊组成。带钢从一端输人，经过各对轧辊逐步减薄后输出。
（1）输入带钢的厚度为a，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过ro，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？
（一对辊减薄率＝输入该对的带钢厚度－从该对输出的带钢厚度）
输入该对的带钢厚度
（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm。若第k对轧辊有缺
陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为LK。为了便于检
修，请计算L1、L2、L3并填人下表（轧钢过程中，带钢宽度不变沮不考虑损耗）
（23）（本小题满分14分）
已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线。当n≤y≤n+1(n=0,1,2...)时，该图象是
斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列{xn}由f（xn）=n（n=1，2，...）定义
（1）求X1、X2和xn的表达式；
（2）求f（x）的表达式，并写出其定义域：
（3）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。
（24）（本小题满分14分）
如图，给出定点A（a，0）（a〉0）和直线l：x=-1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。
1999年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）
数学参考答案
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。第（1）－第（10）题每小题4分，第（11）－（14）题每小题5分，满分60分。
（1）C （2〕A （3〕A （4）C （5）B
（6）B （7）D （8）A （9）C （10）D
（11）B （12）D （13）D （14）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分
（15）1/2
（16）12
（17）[9,+∞]
（18）m⊥a, n⊥β, a⊥β==>m⊥n 或m⊥n, m⊥a, m⊥β==>a⊥β
三、解答题
（19）本小题主要考查对数函数的性质，对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类论的思想，满分10分
解：原不等式等价于
————一一一一4
由①得 logax≥2/3
由②得 logax<3/4, 或logax>1,
由③得 logax>1/2.
由此得 2/3≤logax<3/4,或logax>1.——一一一一8分
当a>1时得所求的解是
{x| ≤x< }U{x|x>a};
当0O, β/a>0,对上式两端取对数，得
nlg(l-ro)≤lg(β/a).
由于lg(1-ro)<0,
所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-ro)].
因此，至少需要安装不小于(lgβ-lga)/[lg(1-ro)]的整数对轧辊 －－－－7分
（II）解法一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为1600a×(1-r)k×宽度 （其中r＝20％），而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为Lk×a(1-r)4×宽度。因宽度相等，且无损耗，由体积相等得
1600·a(1-r)k=Lk·a(1-k)4(r=20%),
即 Lk=1600·0.8K-4. －－－－10分
由此得 l3=2000(mm),
l2=2500(mm),
l1=3125mm)
填表如下：
轧辊序号K
1
2
3
4
疵点间距LK（mm）
3125
2500
2000
1600
－－－－14分
解法二：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有：
1600=L3·(1-0.2),
所以 L3=1600/0.8=2000(mm). －－－－10分
同理 L2=L3/0.8=2500(mm).
L1=L2/0.8=3125(mm).
填表如下：
轧辊序号K
1
2
3
4
疵点间距LK（mm）
3125
2500
2000
1600
－－－－14分
( 23)本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力。满分14分。
（1）解：依题意f(0) =0，又由f(x1)=1, 当0≤y≤1时，，函数y＝f(x)的图象是斜率为b0=1的线段，故由
f(x1)-f(0)/x1-0=1 得x1=1 2分
又由f(x2)=2,当1≤y＜2时，函数y=f(x)的图象是斜率为B的线段，故由
f(x2)-f(x1)/X2-X1=b 即x2=1+1/b．2分
记x0=0,由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn-1，故得
f(xn) -f(xn-1)/xn-xn-1=bn-1,
又f(xn)=n,f(xn-1)=n-1；
∴xn-xn-1 =(1/b)n-1,n=1,2,…。
由此知数列{xn-xn-1}为等比数列，其首项为1/b，公比为1/b
因 b≠1，得
xn= (xK-XK-1)
=1+1/b …+1/bn-1=b-(1/b)n-1，
即 xn=b-(1/b)n-1/(b-1).——一一6分
(II)解：当0≤y≤1，从（I）可知y＝x, 即当0≤x≤1时，f(x)=x
当n≤y≤n十1时，即当xn≤x≤xn+1时，由(I)可知
f(x)=n+bn(x-xn)(xn≤x≤xn+1,n=1,2,3…）——一一8分
为求函数f(x)的定义域，须对xn=b-(1/b)n-1/(b-1)(n=1,2,3…)进行讨论
当b＞1时, xn= b-(1/b)n-1/(b-1)=b/(b-1)
当0＜b＜1时，n→∞，xn也趋向于无穷大。
综上，当b>1时，y=f(x)的定义域为[0,b/(b-1));
当0＜b＜1时，y＝f（x）的定义域为[0,+∞] ——一一10分
（24）本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力。满分14分。
解法一：依题意，记B（－1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y＝0和y＝－bx，设点C（x,y），则有0≤x1时，方程③ 表示双曲线一支的弧段。 －－－－14分
解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足。
（1）当|BD|≠0时，设点C（x,y），则0
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