高考数学理全国II卷详细解析

高考数学理全国II卷详细解析

绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 新课标 II 卷 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1． 3 i 1 i   A．1 2i B．1 2i C． 2 i D． 2 i 【答案】D 2．设集合  1,2,4A  ，  2 4 0B x x x m    ．若  1A B  ，则 B  A． 1, 3 B． 1,0 C． 1,3 D． 1,5 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 ： 由  1A B  得 1 B ， 即 1x  是 方 程 2 4 0x x m   的 根 ， 所 以 1 4 0, 3m m    ，  1,3B  ，故选 C． 【考点】 交集运算、元素与集合的关系 【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字 母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个 防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性． 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯 三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下 一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 【答案】B 4．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平 面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A．90 B． 63 C． 42 D．36 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为 3，高为 4 的圆柱， 其体积 2 1 3 4 36V      ，上半部分是一个底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半，其体积 2 2 1 ( 3 6) 272V       ，故该组合体的体积 1 2 36 27 63V V V        ．故选 B． 【考点】 三视图、组合体的体积 【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考 虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮 廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视 图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的 关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利 用相应体积公式求解． 5．设 x ， y 满足约束条件 2 3 3 0 2 3 3 0 3 0 x y x y y           ，则 2z x y  的最小值是 A． 15 B． 9 C． D． 【答案】A 6．安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方 式共有 A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要 把工作分成三份：有 2 4C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有 2 3 4 3C A 36  种． 故选 D． 【考点】 排列与组合、分步乘法计数原理 【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进 行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或 位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． （2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀 分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优 秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对 大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D 8．执行右面的程序框图，如果输入的 1a   ，则输出的 S  A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 9．若双曲线 :C 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的一条渐近线被圆 2 22 4x y   所截得的弦 长为 2，则C 的离心率为 A．2 B． 3 C． 2 D． 2 3 3 【答案】A 【解析】 试题分析：由几何关系可得，双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的渐近线方程为 0bx ay  ， 圆心  2,0 到渐近线距离为 2 22 1 3d    ，则点  2,0 到直线 0bx ay  的距离为 2 2 2 0 2 3b a bd ca b      ， 即 2 2 2 4( ) 3c a c   ，整理可得 2 24c a ，双曲线的离心率 2 2 4 2ce a    ．故选 A． 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或 离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 a，c，代入公式 ce a  ；②只需要 根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝c2－a2 转化为 a，c 的齐次式， 然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不 等式)即可得 e(e 的取值范围)． 10．已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 120ABC   ， 2AB  ， 1 1BC CC  ，则异面直线 1AB 与 1BC 所成角的余弦值为 A． 3 2 B． 15 5 C． 10 5 D． 3 3 【答案】C 11．若 2x   是函数 2 1( ) ( 1)e xf x x ax    的极值点，则 ( )f x 的极小值为 A． 1 B． 32e C． 35e D．1 【答案】A 【解析】 试题分析：由题可得 1 2 1 2 1( ) (2 )e ( 1)e [ ( 2) 1]ex x xf x x a x ax x a x a             ， 因为 ( 2) 0f    ，所以 1a   ， 2 1( ) ( 1)e xf x x x    ，故 2 1( ) ( 2)e xf x x x     ， 令 ( ) 0f x  ，解得 2x   或 1x  ，所以 ( )f x 在 ( , 2),(1, )   上单调递增，在 ( 2,1) 上单调递减， 所以 ( )f x 的极小值为 1 1( ) (1 1 1)e 11f      ，故选 A． 【考点】 函数的极值、函数的单调性 【名师点睛】（1）可导函数 y＝f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f ′(x0)＝0， 且在 x0 左侧与右侧 f ′(x)的符号不同学*；（2）若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x) 在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 12．已知 ABC△ 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 ( )PA PB PC    的最 小是 A． 2 B． 3 2  C． 4 3  D． 1 【答案】B 解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表 示抽到的二等品件数，则 DX  ____________． 【答案】1.96 【解析】 试题分析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即  ~ 100,0.02X B ，由二项 分布的期望公式可得  1 100 0.02 0.98 1.96DX np p      ． 【考点】 二项分布的期望与方差 【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为 n 次 独立重复试验，在每次试验中事件 A 发生的概率是否均为 p；②随机变量是否 为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且    C 1 n kk k np X k p p    表 示在独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率． 14．函数 2 3( ) sin 3 cos 4f xx x   ( [0, ])2x  的最大值是____________． 【答案】1 15．等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 3 3a  ， 4 10S  ，则 1 1n k kS  ____________． 【答案】 2 1 n n  【解析】 16．已知 F 是抛物线 :C 2 8y x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N ．若 M 为 FN 的中点，则 FN  ____________． 【答案】6 【解析】 试题分析：如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 x 轴交于点 F' ，作 MB l 与点 B ， NA l 与点 A ，由抛物线的解析式可得准线方程为 2x   ，则 2, 4AN FF'  ，在直角梯形 ANFF' 中，中位线 ' 32 AN FFBM   ，由抛物线的定 义有： 3MF MB  ，结合题意，有 3MN MF  ，故 3 3 6FN FM NM     ． 【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用． 【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线 上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中 涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决 问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的 定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12 分） ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知   2sin 8sin 2 BA C  ． （1）求 cos B ； （2）若 6a c  ， ABC△ 的面积为 2 ，求 b ． 【答案】（1） 15cos 17B  ；（2） 2b  ． “边转角”“角转边”，另外要注意 2 2, ,a c ac a c  三者之间的关系，这样的题目小而 活，备受命题者的青睐． 18．（12 分） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个 网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50kg， 新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）． 附： ， 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      【答案】（1） 0.4092 ；（2）有99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）52.35kg ． 【考点】 独立事件概率公式、独立性检验原理、频率分布直方图估计中位数 【名师点睛】（1）利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作 出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较 为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值值越大，说明“两个变量 有关系”的可能性越大． （2）利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的 小长方形底边中点的横坐标即众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和 是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每 个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 19．（12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底 面 ABCD， o1 , 90 ,2AB BC AD BAD ABC      E 是 PD 的中点． （1）证明：直线CE∥平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 o45 ， 求二面角 M AB D  的余弦值． 【答案】（1）证明略；（2） 10 5 ． 【考点】 判定线面平行、面面角的向量求法 【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所 求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算． （2）设 m，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故 有|cos θ|＝|cos|= m n m n ．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是 锐角还是钝角． 20．（12 分） 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 2 2 12 x y  上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 2NP NM  ． （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 Q 在直线 3x   上，且 1OP PQ   ．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 【答案】（1） 2 2 2x y  ；（2）证明略． 【考点】 轨迹方程的求解、直线过定点问题 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系 F(x，y)＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程． （3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直 接写出动点的轨迹方程． （4）代入(相关点)法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法 求动点 P(x，y)的轨迹方程． 21．（12 分） 已知函数 2( ) lnf ax ax x x x   ，且 ( ) 0f x  ． （1）求 a ； （2）证明： ( )f x 存在唯一的极大值点 0x ，且 2 2 0e ( ) 2f x   ． 【答案】（1） 1a  ；（2）证明见解析． （2）由（1）知   2 lnf x x x x x   ， ( ) 2 2 lnf ' xx x   ． 设   2 2 lnh x x x   ，则 1( ) 2' xh x   ． 当 1(0, )2x 时， ( ) 0h' x  ；当 1( , )2x  时， ( ) 0h' x  ， 所以  h x 在 1(0, )2 上单调递减，在 1( , )2  上单调递增． 又  2e 0h   ， 1( ) 02h  ，  1 0h  ，所以  h x 在 1(0, )2 有唯一零点 0x ，在 1[ , )2  有 唯一零点 1， 且当  00,x x 时，   0h x  ；当  0,1x x 时，   0h x  ，当  1,x  时，   0h x  ． 因为  ( )f ' x h x ，所以 0x x 是  f x 的唯一极大值点． 由 0( ) 0f ' x  得  0 0ln 2 1x x  ，故    0 0 01f x x x  ． 由  0 0,1x  得  0 1 4f x  ． 因为 0x x 是  f x 在（0，1）的最大值点， 由  1e 0,1  ， 1(e ) 0f '   得 1 2 0( ) (e ) ef x f    ． 所以  2 2 0e 2f x   ． 【考点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是 高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突 出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的 考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、 微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求 参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查 数形结合思想的应用． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一 题计分． 22．选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的极 坐标方程为 cos 4   ． （1）M 为曲线 1C 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| | | | 16OM OP  ，求点 P 的轨 迹 2C 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 (2, )3  ，点 B 在曲线 2C 上，求 OAB△ 面积的最大值． 【答案】（1）   2 22 4 0x y x    ；（2） 2 3 ． （2）设点 B 的极坐标为  , 0B B    ，由题设知 2, 4cosBOA    ，于是 OAB△ 的 面 积 S  1 3sin 4cos | sin( ) | 2 | sin(2 ) | 2 3.2 3 3 2BOA AOB               当 12    时，S 取得最大值 2 3 ，所以 OAB△ 面积的最大值为 2 3 ． 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程、三角形面积的最值 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能 力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化 为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．解 题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程． 23．选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知 3 30, 0, 2a b a b    ．证明： （1） 5 5( )( ) 4a b a b   ； （2） 2a b  ． 【答案】（1）证明略；（2）证明略． 【考点】 基本不等式、配方法