高考立体几何专题复习

高考立体几何专题复习

高考数学分类汇编：立体几何 一、选择题:‎ ‎1．在空间，下列命题正确的是( )‎ A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 ‎2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体 的俯视图为 ‎ ‎ ‎2．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )‎ A. B‎.2 C. D.6‎ ‎4．如图，是正方体的棱的中点，给出下列四个命题：‎ ‎①过点有且只有一条直线与直线都相交；‎ ‎②过点有且只有一条直线与直线都垂直；‎ ‎③过点有且只有一个平面与直线都相交；‎ ‎④过点有且只有一个平面与直线都平行．‎ 其中真命题是 A．②③④ B．①③④ C．①②④ D． ①②③‎ ‎5.设长方体的长、宽、高分别为‎2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ‎ （A）‎3‎a2 （B）‎6‎a2 （C）‎12‎a2 （D） ‎24‎a2‎ ‎6．已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于 ‎（A）4 （B）3 （C）2 （D）‎ ‎7．一个几何体的三视图如右图，该几何体的表面积是 ‎（A）372 （B）360 （C）292 （D）280‎ ‎8.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 ‎（A）cm3 ‎ ‎ B）cm3‎ ‎（C）cm3 ‎ ‎（D）cm3‎ ‎9．如图为正三角形，，，则多面体的正视图(也称主视图)是w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎10．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 ‎（A）只有1个 （B）恰有3个 ‎ ‎（C）恰有4个 （D）有无穷多个 ‎11．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ‎ ‎（A）2 （B）1 （C） （D）‎ ‎12．用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：‎ ‎①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；③若∥，∥，则∥；‎ ‎④若⊥，⊥，则∥. ‎ ‎ A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④‎ ‎13．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于 ‎ ‎ (A)30° (B)45°(C)60° (D)90°‎ ‎14．正方体-中，与平面所成角的余弦值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎15．已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎16．与正方体ABCD—A1B‎1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 ‎（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个 ‎17．已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为 ‎（A） (B) (C) (D) ‎ 二、填空题：‎ ‎1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ‎ ‎2．长方体的顶点均在同一个球面上，，，则，两点间的球面距离为 ‎ ‎3．已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 ‎ ‎4．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .‎ ‎5.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的______‎ ‎①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 ‎6．圆柱形容器内盛有高度为‎3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.‎ ‎7．已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，‎ 若，则两圆圆心的距离 。‎ O M N E A B ‎8．如图，二面角的大小是60°，线段.，与所成的角为30°.则 与平面所成的角的正弦值是 .‎ 三、解答题：‎ ‎1．在五面体ABCDEF中，ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD,BC∥AD，CD=1，AD=，‎ ‎∠BAD＝∠CDA＝45°.‎ ‎（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值； ‎ ‎（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；‎ ‎（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值 ‎2．如图，在长方体ABCD – A1B‎1C1D1中，E，H分别是A1B1,D‎1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G.‎ ‎ （I）证明：AD//平面EFGH；‎ ‎ （II）设AB=2AA1=在长方体ABCD-A1B‎1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH内的概率为p.当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=时，求p的最小值.‎ ‎3．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，AB=,CE=EF=1‎ ‎（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE;‎ ‎4．与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，．‎ ‎（1）求直线与平面所成角的大小；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°.E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。‎ ‎（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；‎ ‎（Ⅱ）M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值 ‎6．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，‎ ‎(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;‎ ‎（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB; ‎ ‎（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；‎ ‎7．如图，棱柱的侧面是菱形，‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）设是上的点，且平面，求的值.‎ ‎ ‎ ‎8．如图弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=‎ ‎（1）证明：EBFD ‎（2）求点B到平面FED的距离. ‎ ‎9．四棱锥中，底面为矩形，面，，是棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值. ‎ ‎10．如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 ‎（Ⅰ）求异面直线A‎1M和C1D1所成的角的正切值； ‎ ‎（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M ‎11．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.‎ ‎ (Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；‎ ‎ (Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.‎ ‎12．如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .‎ ‎（Ⅰ）证明：SE=2EB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .‎ ‎13．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）求二面角M -BC′-B′正切值；w_w w. k#s5_u.c o*m ‎14.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.‎ ‎（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;‎ ‎（2）求该安全标识墩的体积 ‎（3）证明:直线BD平面PEG ‎15.已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点．设点分别是点，在平面内的正投影．‎ z y x E1‎ G1‎ ‎（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；‎ ‎（2）证明：直线平面；‎ ‎16.平面，，，，为中点 ‎（I）证明：平面；‎ ‎（II）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎17.如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）当且E为PB的中点，求AE与平面PDB所成的角的大小.‎ ‎18.如图，直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B‎1C的中点，DE⊥平面BCC1‎ ‎（Ⅰ）证明：AB=AC ‎A C B A1‎ B1‎ C1‎ D E ‎（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B‎1C与平面BCD所成的角的大小 ‎19.如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，‎ 求证：（1）EF∥平面ABC； ‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎20.在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.‎ ‎（1）求证：平面⊥平面； ‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的大小；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ ‎（04山东文科）如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.‎ ‎（I）求点P到平面ABCD的距离；‎ ‎（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.‎ ‎(16)已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：‎ ‎①若则②若则③若，则④是两条异面直线，若，则 上面的命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）‎ ‎16．已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是 .‎ ‎①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ‎③同一条直线 ④一条直线及其外一点 在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.‎ ‎10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则等于 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎(05山东文科)如图，已知长方体，，直线与平面所成的角为，垂直于为的中点．‎ ‎　（Ⅰ）求异面直线与所成的角；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小；‎ ‎（Ⅲ）求点到平面的距离 ‎（06山东理科）如图，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边∆ AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且ACB=90°，设AC=2,BC=‎ ‎（1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；‎ ‎（2）求点A到平面VBC的距离；‎ ‎（3）求二面角A-VB-C的大小.‎ ‎(16)已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：‎ ‎① 若，则平行于平面内的任意一条直线 ②若则 ‎③若,则④若则 ‎ 上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命的序号）‎ ‎（9）设地球半径为R，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬度东经，则甲、乙两地球面距离为 （ ）‎ ‎（A） (B) (C) (D) ‎ ‎(07山东文科) 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.‎ ‎(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值；‎ ‎(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；‎ ‎(Ⅲ)设点M在棱PC上，且为何值时，PC⊥平面BMD.‎ ‎（07山东理科）在直四棱柱中,已知,,.‎ ‎(I)设是的中点,求证: (2)求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（8）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 （ ）‎ ‎(A)1∶ (B)1∶3 (C)1∶3 (D)1∶9‎ ‎（16）如图，在正三棱柱ABC-中，所有棱长均为1，则点B到平面ABC的距离为　　　　.‎ ‎（08理科）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ P B E C D F A ‎（Ⅱ）若为上的动点，与所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．‎ ‎（08山东文科）A B C M P D 如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．‎ ‎（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥的体积．‎ 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎6．右图是一个几何体的三视图，该几何体的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（09文科）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ E,E1分别是棱AD，AA1的中点.‎ （1） 设F是棱AB的中点,证明：直线EE//平面FCC；‎ （2） 证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.‎ ‎(9)已知α,β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的 ‎(A）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎（09理科）E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。‎ 求二面角B-FC-C的余弦值。‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 侧(左)视图 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 正(主)视图 ‎ ‎(4)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 俯视图 ‎ ‎(A) 2π+ （B）4π+ (C) 2π+ (D)4π+‎ ‎（10山东文科）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA。‎ ‎（Ⅰ）求证：平面EFG平面PDC；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥P—MAB与四棱锥P—ABCD的体积之比。‎ ‎（4）在空间，下列命题正确的是 ‎（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行 ‎（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行 ‎（10山东理科）如图，在五棱锥P—ABCDE中，平面ABCDE，AB//CD，AC//ED，AE//BC，，三角形PAB是等腰三角形 ‎ （Ⅰ）求证：平面PCD 平面PAC；‎ ‎ （Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；‎ ‎ （Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积