揭阳市高考二模理科数学试题答案

揭阳市高考二模理科数学试题答案

绝密★启用前 揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试 数学(理科)‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项： ‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：棱锥的体积公式：．其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高．‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知，则下列表示正确的是 A. B. C. D.‎ ‎2．已知复数，则 A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i ‎ ‎3．命题P：“”的否定为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4．已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎5.设向量，若向量与向量共线，则的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知变量满足约束条件，则的最小值是 A.1 B. C. D.0‎ ‎7．已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 A． B． C． D．‎ ‎8．连续掷一正方体骰子（各面的点数分别为1，2，3，4，5，6）两次得到的点数分别为m、n，作向量，若，则与的夹角成为直角三角形内角的概率是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（一）必做题（9－13题）‎ ‎9．已知幂函数的图象过点，则的值为 ． ‎ ‎10．展开式中的常数项为 ． ‎ ‎11．图1中的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，‎ 则侧视图中的h=_________cm． ‎ 12．下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩 考试第次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 成绩（分）‎ ‎65‎ ‎78‎ ‎85‎ ‎87‎ ‎88‎ ‎99‎ ‎90‎ ‎94‎ ‎93‎ ‎102‎ ‎105‎ ‎116‎ 将第1次到第12次的考试成绩依次记为.图2是 统计上表中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么 算法流程图输出的结果是 .‎ ‎13．在△ABC中，已知角所对的边分别为，‎ 且，则= ．‎ ‎（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为 ． ‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图3，点P在圆O的直径AB的 延长线上，且PB=OB=3,PC切圆O于C点，CDAB于点D，‎ 则CD的长为 ． 图3‎ 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．(本小题满分12分)‎ 已知函数的部分图象如图4示，‎ 其中M为图象与轴的交点，为图象的最高点． ‎ ‎(1)求、的值；‎ ‎(2)若，，求的值． 图4‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）‎ 甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129；‎ 乙：133，107，120，113，122，114，125，118，129，127.‎ ‎（1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出甲、乙两班 学生数学成绩的茎叶图，并判断哪个班的平均水平较高；‎ ‎（2）若数学成绩不低于128分，称为“优秀”，求从甲 班这10名学生中随机选取3名，至多有1名“优秀”的概率；‎ ‎（3）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体成绩，‎ 若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“优秀”学生 的人数，求X的数学期望．‎ ‎18．(本小题满分14分)‎ 已知等比数列满足：，，为其前项和，且成等差数列．‎ ‎（1）求数列{}的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列{}的前n项和．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 如图6，已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，‎ AB∥CD，AD⊥CD，PA=PD=CD=2AB=2．‎ ‎（1）求证：AB⊥PD；‎ ‎（2）记AD=，表示四棱锥P-ABCD的体积，‎ 当取得最大值时，求二面角A-PD-B的余弦值．‎ ‎20．(本小题满分14分) ‎ 已知椭圆:的焦点分别为、，为椭圆上任一点，的最大值为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知点，试探究是否存在直线与椭圆交于、两点，且使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎21．(本小题满分14分) ‎ 已知函数 ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（3）若在区间上，函数的图象总在直线是常数）的下方，求的取值范围．‎ 揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分说明 ‎ 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎ 四、只给整数分数．‎ 一、选择题：DBCD ACBB 解析：8．因m、n均取自1-6，故向量有种取法，由知，，则，这样的共有（个），故所求的概率．‎ 二、填空题：9. 1；10. ；11. 6；12.7；13.；14. ；15..‎ 三、解答题：‎ ‎16．解：（1）由为图象的最高点知，---------------------1分 又点M知函数的最小正周期，-----------------------3分 ‎∵ ∴,-------------------------------------------------5分 ‎(2)由（1）知，‎ ‎ 由得，----------------------------------------6分 ‎∵ ∴----------------------------------------7分 ‎∴-------------------------9分 ‎∵-------------11分 ‎∴------------12分 ‎17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：--3分 乙班的平均水平较高；----------------------------4分 ‎（2）由上数据知：甲班这10人中“优秀”的学生有2名，‎ 则从这10名学生中随机选取3人，至多有1人“优秀” ‎ 的概率.----------------------------8分 ‎（3）因样本20名学生中，“优秀”的有4名，故从这20名学生中任选1名，恰好抽到“优秀”的概率为，----------------------------------------------------------------------------------10分 据此可估计从该校中任选1名学生，其为“优秀”的概率为0.2，因,‎ 所以.---------------------------------------------------------------------------12分 ‎18．解：（1）设数列的公比为，‎ ‎∵成等差数列，-----------------------------------2分 ‎ 即，化简得，------4分 ‎ 解得：或 ------------------------------------------------------------------6分 ‎∵，∴不合舍去，‎ ‎∴.-----------------------------------------7分 ‎ (2)∵ ‎ ‎=------------9分 ‎，------------------------------------------10分 ‎∴=，-----------------------------------------------------12分 ‎∴‎ ‎.----------------------------------------14分 ‎19．解：（1）证明：∵AB∥CD，AD⊥CD，∴AB⊥AD，-----------------------------1分 ‎∵侧面PAD⊥底面ABCD，且平面平面，‎ ‎∴AB⊥平面PAD --------------------------------------------2分 又∵平面PAD，‎ ‎∴AB⊥PD------------------------------------------------------3分 ‎（2）取AD中点E，连结PE，∵PA=PD，∴PE⊥AD，----4分 又侧面PAD⊥底面ABCD，‎ 且平面平面，‎ ‎∴PE⊥底面ABCD，-------------------------------------------------------------------------5分 在PEA中，‎ ‎∴（）------7分 ‎∵-------------------------------9分 当且仅当，即时，“＝”成立，‎ 即当取得最大值时， -----------------------------------------------------10分 解法1：∵，，∴PD⊥PA ，--------------------11分 ‎ 又(1)知AB⊥PD，‎ ‎∴平面,又PB平面 ‎∴PD⊥PB，------------------------------------------13分 ‎∴为二面角A－PD－B的平面角 在中,,‎ 即当取得最大值时，二面角A－PD－B的余弦值为．-------------------14分 ‎[解法2：以点E为坐标原定，EA所在的直线为x轴、PE所在的 直线为轴建立空间直角坐标系如图示：‎ 则E（0，0，0），A(，0，0)，‎ D(，0，0)，P(0，0，)，‎ ‎ ∴,‎ 设平面PDB的法向量为 由得，，‎ 令，则， ∴------------------------12分 又是平面PAD的一个法向量，‎ 设二面角二面角A－PD－B的大小为，则 ‎，‎ 即所求二面角A－PD－B的余弦值为．--------------------------------------------------14分]‎ ‎20.解：(1)设,由、得 ‎, .‎ ‎∴，---------------------2分 由得 ‎∴，------------------------4分 ‎∵，∴当，即时，有最大值，‎ 即，---------------------------------------6分 ‎∴，，‎ ‎∴所求双曲线的方程为.------------------------------------7分 ‎（其它解法请参照给分）‎ ‎（2）假设存在直线满足题设，设，‎ 将代入并整理得 ‎，------------------------------------------------------------8分 由，得-----------①‎ 又--------------------10分 由可得 化简得------------②------------------------------------------12分 将②代入①得 化简得，‎ 解得或 所以存在直线，使得，此时的取值范围为．-------14分 ‎21．解：（1）当时，不等式即，‎ 显然，当时，原不等式可化为：--------------------------2分 当时，原不等式可化为：或或，∴‎ 综上得：当时，原不等式的解集为---------------3分 ‎（2）∵--------------------------------------4分 若时，∵，由知，在上，，‎ 若，由知，当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴当时，函数的单调增区间为，，单调减区间为.----6分 ‎(其它解法请参照给分)‎ ‎（3）在区间上，函数的图象总在直线是常数）的下方，‎ 即对都有，对都有，-------7分 显然，‎ 即对，恒成立 对，------------------------------8分 设，，，‎ 则对，恒成立，----9分 ‎∵当时 ‎∴函数在上单调递增，∴------------------------10分 又∵＝，‎ 当即时，对于，有 ‎∴函数在上为减函数 ‎∴----------------------------------------------11分 当，即时，当，‎ 当， ‎ ‎∴在上，--------------------------------12分 ‎（或当时，在上，，当时取等号）‎ 又∵当时，要即还需满足 ‎，解得，‎ ‎∴当时，；---------------------------------------------13分 当时，．-----------------------------------------------------------------14分