对口高考数学知识点总结
对口高考河北方向数学应知应会
一、代 数
一、常用数集的符号表示：
数集
自然
数集
正整
数集
整数集
有理
数集
实数集
非零实数集
合
正实
数集
非负实
数集合
符号 N
N*
(或 N＋) Z Q R R* R+ R+
二、集合与集合间的包含关系：
三、集合的基本运算：
四、充要条件：
在判断充分条件与必要条件时，需注意条件与结论对应的方向。即若 p 是 q 的充分条件，则 p⇒q；若 p
是 q 的必要条件，则 q⇒p；若 p 是 q 的充要条件，则 p⇒q 并且 q⇒p，也可 q⇔p。
五、比较两个实数大小的法则：
若 a，b∈R，则(1)a＞b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a＜b⇔a－b＜0.
六、不等式的基本性质：
(1)a＞b⇔b＜a；对称性 (2)a＞b，b＞c⇒a＞c；传递性
(3)a＞b⇔a＋c＞b＋c；可加性
*(4)a＞b，c＞0⇒ac＞bc； a＞b，c＜0⇒ac＜bc；可乘性
七、不等式的其他常用性质：
(1)a+b＞c⇒a＞c-b；移项； (2)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；同向可加性；
(3)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；同向同正可乘性；
(4)a＞b＞0⇒an＞bn (n∈ ，且 n≥2)；乘方性
(5)a＞b＞0⇒n a＞n b(n∈N，且 n≥2) ；开方性
(6)a＞b 且 ab＞0⇒ 倒数性
八、利用一元二次函数的性质解一元二次不等式：
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程
ax2＋bx＋c＝0
有两不等实根
x1 和 x2，且 x1＜x2
有两相等实根
x1＝x2
无实根
一元二次函数
f(x)＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图像
不等式
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＜x1，或 x＞x2}
{x|x≠－ b
2a}
R
不等式
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2} ∅ ∅
九、函数的定义：
设 A、B 非空数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一
确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．函数的三要素：定义域、值
域和对应关系．
十、函数的单调性：
函数单调性 增函数 减函数
图像
描述
定 前提 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间（a，b）
上的任意自变量 x1，x2
*N
1 1
a b
<
核心
实质
当 x1
f(x2) ，
那么就说函数 f(x) 在区间(a，b)是减函
数。
义
单调
区间
区间（a，b）叫做函数 f(x)的
曾区间。
区间（a，b）叫做函数 f(x)的
减区间。
十一、函数的奇偶性：
函数奇偶性 偶函数 奇函数
图像
描述
前提 设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于任意的 x∈I，都有-x∈I，
核心
实质
并且 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫
做偶函数．
并且 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就
叫做奇函数。
定
义
定义域具
备性质
函数奇偶性是函数在整个定义域内的性质，不可用区间分开。定义域必须关
于原点对称。
十二、函数图象的变换：
(1)平移变换：
①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图像，可由 y＝f(x)的图像向左(＋)或向右(－)平移 a 个单位而得到．
②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图像，可由 y＝f(x)的图像向上(＋)或向下(－)平移 b 个单位而得到．
(2)对称变换：
①y＝f(－x)与 y＝f(x)的图像关于 y 轴对称．
②y＝－f(x)与 y＝f(x)的图像关于 x 轴对称．
③y＝－f(－x)与 y＝f(x)的图像关于原点对称．
④y＝f－1(x)与 y＝f(x)的图像关于直线 y＝x 对称．
⑤要得到 y＝|f(x)|的图像，可将 y＝f(x)的图像在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，其余部分
不变．
⑥要得到 y＝f(|x|)的图像，可将 y＝f(x)，x≥0 的部分作出，再利用偶函数的图像关于 y 轴的对称性，作出 x
＜0 的图像．
(3)伸缩变换：
①y＝Af(x)(A＞0)的图像，可将 y＝f(x)图像上所有点的纵坐标变为原来的 A 倍，横坐标不变而得到．
②y＝f(ax)(a＞0)的图像，可将 y＝f(x)图像上所有点的横坐标变为原来的1
a倍，纵坐标不变而得到．
十三、指数幂的转化：
十四、指数式和对数式的互化：设 a＞0，且 a≠1，N＞0，
十五、对数的性质与运算法则：
(1)对数的基本性质：设 a＞0，且 a≠1 则
①零和负数没有对数，即：N ＞0 ②1 的对数等于 0，即 loga1=0；lg1=1,ln1=1
③底数的对数等于 1，即 logaa=1, lg10=1, lne=1
④两个重要的恒等式：alogaN＝N；logaaN＝N．
(2)对数的运算法则：设 a＞0，且 a≠1 则，对于任意正实数 M、N 以及任意实数 P、m(m≠0)、n，都有
①loga(M·N)=logaM+logaN ②loga =logaM logaN
③logaM P=PlogaM ④loga ＝ logaN ⑤logaM n＝n
mlogaM ⑥lg2+lg5=1
(3)换底公式：
logbN＝logaN
logab (a＞0 且 a≠1；b＞0 且 b≠1)；
①logab＝ 1
logba (a，b 均大于零，且不等于 1)；
②推广 logab · logbc · logcd＝logad (a、b、c 均大于零，且不等于 1；d 大于 0).
十六、Sn 与 an 的关系：
十七、等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 或 an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*)．
十八、等差中项：如果 A＝a＋b
2 ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．
十九、等差数列的常用性质：
(1)若{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，(m，n ，p，q∈N*)则有 am＋an= ap＋aq .特殊情况，当 m＋n=2p
有 am+an ＝2ap,其中 ap 是 am 与 an 的等差中项
(2)有穷数列中，与首末两端距离相等的两项和相等，并等于首末两项之和，若项数为奇数，则等于中间项
的 2 倍，即 a2+an-1= a3+an-2 =……= ap+an-p+1 = a1+an = 2
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2d.
−
a中
log b
a N b a N= ⇔ =
M
N
m N
1
m
(4)若{an}是等差数列，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md 的等差数列．
(5)若 （ ），则{an}是等差数列，其中 k 为公差
(6) 若公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等差数列。
二十、等差数列的前 n 项和公式：Sn＝n(a1＋an)
2 ，或 Sn＝na1＋n(n－1)
2 d .
注意：若 Sn＝ ( )，则{an}是等差数列，其中 2p 为公差
二十一、等差数列前 n 项和性质：项数为偶数的等差数列中，S 偶-S 奇= ；
项数为奇数项的等差数列中 S 奇-S 偶=中间项.
二十二、等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1 或 an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
二十三、等比中项：若 G2＝a·b，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项, .
二十四、等比数列的常用性质：
(1)若{an}为等比数列，且 m＋n=p＋q (m，n ，p，q∈N*)，则有 am·an ＝ap·aq．特殊情况，当 m＋n=2p
时，有 am·an ＝ap2.
(2)在有穷等比数列中，与首末两端距离相等的两项积相等，并等于首末两项之积，若该数列的项数为奇数，
则等于中间项的平方，即 a2·an-1= a3·an-2 =……= ap·an-p+1 = a1·an =
(3)在等不数列中，连续 n 项的积构成的新数列，仍是等比数列。
(4)等比数列的前 n 项和公式：
当 q＝1 时，Sn＝n ； 当 q≠1 时， .
二十五、等比数列前 n 项和的性质：若公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n
－S2n 仍成等比数列。
二、三角函数
一、终边相同角集合：{β|β=α＋k·360°(k∈Z)}或{β|β=α＋2kπ(k∈Z)}
①终边在 x 轴上的角的集合{β|β= k·180°(k∈Z)} 或{β|β= kπ(k∈Z)}
②终边在 y 轴上角 {β|β= 900+k·180°(k∈Z)} 或{β|β= +kπ(k∈Z)}
③第一象限上所有角组成的集合{α|k·360°＜α＜ 900+k·360°(k∈Z)}
na kn b= + ,k b R∈
2pn qn+ ,p q R∈
2
nd
G ab= ±
2a中
1a
2
π
( )11 1
1 1
n
n
n
a qa a qS q q
−−= =− −
( ) .2 k k Z
π π+ ∈
④第二象限上所有角的集合{α|900+k·360°＜α＜ 1800+k·360°(k∈Z)}
⑤第三象限上所有角的集合{α|1800+k·360°＜α＜ 2700+k·360°(k∈Z)}
⑥第四象限上所有角的集合{α|2700+k·360°＜α＜(k+1)·360°(k∈Z)}
⑦“锐角”形成的集合：表示为{α|0°＜α＜ 900}
⑧“小于 900 的角”形成的集合：表示{α|α＜ 900}
二、弧度制及相关公式：
①在半径为 r 的圆中，长度为 l 的圆弧对圆心角 α 的大小是l
r弧度。即|α|＝l
r(rad)。②弧长公式：l＝|α|r，扇
形面积公式：S 扇形＝1
2lr＝1
2|α|r2
③角度弧度互换：
三、任意角的三角函数定义：设 α 是平面直角坐标系中一个任意角，角 α 的终边上任意一点 P(x，y)，它
与原点的距离为 (r＞0)，那么角 α 的正弦、余弦、正切分别定义为 sinα＝y
r，cosα＝x
r，tanα＝
y
x，
四、一些特殊角的三角函数值对照表：
0
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1
不存
在 0
不存
在 0
五、同角三角函数的基本关系式及重要变形：
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. α∈R
(2)商数关系：sinα
cosα＝tanα. α≠
(3)常用的变形公式： sin2 ＋cos2 ＝1，sin2 ＋cos2 ＝1
(sinα±cosα)2＝1±2 sinα·cosα
(4)
六、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限。”
α＋k·2π(k∈Z)、－α、π±α、π
2±α 可以归结为 k·π
2±α(k∈Z)，其中 k 为奇数，函数名变为其余名函数；k 为偶
数，函数名不改变。符号取原来函数值的符号，符号符合三角函数值的符号规律。
6
π
4
π
3
π
2
π 2
3
π 3
4
π 5
6
π π 3
2
π
2π
sinα 1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2 1−
cosα 3
2
2
2
1
2
1
2
− 2
2
− 3
2
− 1−
tanα 3
3 3 3− 1− 3
3
−
180180 ,1 ,1 ( ) 57.3180 rad rad
ππ π
° ° ° °= = = ≈
1tan cot sin cos
α α α α+ =
2
α
2
α +4
αθ
+4
αθ
2 2r x y= +
第一组：sin (α＋k·2π)= sinα ，cos(α＋k·2π)= cosα ，tan(α＋k·2π)= tanα ；
第二组：sin(π－α)＝sinα ，cos(π－α)＝－cosα ，tan(π－α)＝－tanα ；
第三组：sin(π+α)＝－sinα ，cos(π+α)＝－cosα ，tan(π+α)＝tanα ；
第四组：sin (－α)= －sinα ，cos(－α)= cosα ，tan(－α)=－tanα ；
第五组：sin( )=cosα ， cos( )=sinα
第六组：sin( )=cosα ， cos( )=－sinα
第七组：sin( )=－cosα ， cos( )=－sinα
第八组：sin( )=－cosα ， cos( )= sinα
七、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tan(α－β)＝ tanα－tanβ
1＋tanαtanβ tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ
1－tanαtanβ
八、二倍角公式及其变形公式:
sin2α＝2sinαcosα ， cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α ，
tan2α＝ 2tanα
1－tan2α ；sinα＝2sin cos ， ，
变形公式：
九、辅助角公式：
函数 f(α)＝acosα＋bsinα(a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝ a2＋b2sin(α＋φ)，
或 f(α)＝ a2＋b2cos(α－φ)，其中 ， ， ， 所在象限由 a、b 的符号确定。
十、三角函数及其图象：
y＝sinx 在[0,2π]图像，描出五个关键点(0,0)、(π
2，1 )、(π，0)、(3
2π，－1)、(2π，0）
y＝cos 在[0,2π]图像，描出五个关键点(0,1)、 、(π，-1)、
(2π，1)．
十一、利用函数 y＝sinx 的图像变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图像：
方法一：
十二、正弦定理： a
sinA＝ b
sinB＝ c
sinC＝2R，R 是△ABC 外接圆半径
① 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。；
,02
π
2
α
2
α 2 1 cos2sin 2
αα −=
( ) ( )
( ) ( )
tan tan tan 1 tan tan
tan tan tan 1 tan tan
α β α β α β
α β α β α β
+ = + −
− = − +
2
π α−
2
π α−
2
π α+
2
π α+
3
2
π α− 3
2
π α−
3
2
π α+ 3
2
π α+
2 2
cos = a
a b
ϕ
+
ϕ
2 2
sin = b
a b
ϕ
+
2 1 cos2cos 2
αα +=
3 ,02
π
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA＝ α
2R，sinB＝ b
2R，sinC＝ c
2R ，
③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA。
十三、余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.
求角公式：cosA＝b2＋c2－a2
2bc cosB＝a2＋c2－b2
2ac cosC＝a2＋b2－c2
2ab
①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
十四、已知 a，b 和 A 解三角形：
A 为锐角 A 为钝角或直角
图形
关系 a＜bsinA a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b a≤b
解 无解 一解 两解 一解 一解 无解
三、解析几何
一、线段中点坐标公式：
二、两点间距离公式： ，
三、斜率计算公式：
四、直线方程： （A,B 不全为 0）
五、平行线、垂直线系方程
1 2
2
y yy
+=
2 2
1 2 1 2( ) ( )AB x x y y= − + −
tank θ=
0Ax By C+ + =
六、点到直线的距离、平行线间距离公式
七、两直线的夹角公式：
八、圆的一般方程，标准方程，过圆上一点圆的切线方程
( )圆心（ ）半径
九、椭圆的标准方程
（1）通径： ；（2） ；（3）， 特殊地 时
（4）特殊地 时， （5）
十、双曲线的标准方程
1 2
1 2
tan 1
k k
k k
θ −= +
2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 4 0D E F+ − > ,2 2
D E− −
2 2 4
2
D E Fr
+ −=
22b
a 1 2
2 2MF FC a c∆ = +
1 2
2 tan 2MF FS b
θ
∆ = 1 2MF MF⊥ 2S b=
1 1 2MF F F⊥
1 2
2 21 22MF F
b b cS C a a∆ = ⋅ =
2
4MNFC a∆ =
（1）通径： ；（2） ；（3）， 特殊地 时
（4）特殊地 时， （5）
十一、抛物线的标准方程
（1）通径：2p （2）开口向右的焦点弦长公式：
（3）两个直角的结论（自己补上）
重点：圆锥曲线的弦长公式
四、立体几何
一、几个比较常用的结论：
1、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
2、过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直.
3、过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
4、过直线外一点有无数多个平面与已知直线平行.
5、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
6、过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直.
7、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面.
8、垂直于同一条直线的两个平面平行.
9、垂直于同一个平面的两个平面的位置关系可以是：平行或相交.
10、平行于同一个平面的两个平面平行，平行于同一条直线的两条直线平行.
22b
a
2 1b ea
= −
1 2
2 cot 2MF FS b
θ
∆ = 1 2MF MF⊥ 2S b=
1 1 2MF F F⊥
1 2
2 21 22MF F
b b cS C a a∆ = ⋅ =
2
4 2MNFC a MN∆ = +
1 2x x p+ +
2 2
1 2 1 21 ( ) 4AB k x x x x= + + −
α
β
l
C
A
B
α
β
l
P
A
BO
11、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面.
12、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另外一个.
13、夹在两个平行平面内的两条平行线段相等.
14、过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.
15、两条直线被三个平行平面所截，截得的线段成比例.
二、易错易混概念及部分结论：
1、两条直线的夹角范围是__________.
2、两条异面直线的夹角范围是_________.
3、直线与平面所成角的范围是________.
4、斜线与平面所成角的范围是________.
说明：
（1）斜线与平面所成的角实际上是斜线与其在平面内的射影所成的角.
（2）斜线与平面所成的角是这条斜线与平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.
（3）直线 m 与某平面平行，则直线 m 与该平面的距离就是直线 m 上任一点到平面的距离.
三、二面角概念及部分结论：
二面角的平面角的找法：过棱上一点，分别在二面角的两
个平面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角
叫做二面角的平面角。.
（1）做出二面角的平面角时要注意：顶点必须在棱上，两条射线必须分别在两个平面内，
且都与棱垂直，二面角的大小与平面角的顶点在棱上的位置无关，
因此，常选用棱上特殊的点作为平面角的顶点，如：端点或者中点是经常找得位置.
四、证明平行、垂直的定理
（一）线线平行
①公理 4：_____________________________
②在三角形中有中点时，要构造_________________
③在平行四边形中通过证明一组对边平行且相等，得出_________________
④线面垂直的性质定理：若 ，则________
⑤线面平行的性质定理：若 ，则_________
,a bα α⊥ ⊥
/ / , ,a a lα β α β⊆ =
[0, ]2
π
(0, ]2
π
[0, ]2
π
(0, )2
π
, 1 , 2
3
l BAC l ABC ABC
ABC
α β α
β
− − ∠ < > ⊥ < > ⊥
< > ⊥
（2）如图：二面角 是它的平面角. 则有： 平面 平面 ，
平面
(3) π二面角的取值范围是：[ 0, ]
(4) .平面角是直角的二面角叫做直二面角，也称为两平面垂直
, , , ,
, .
l P PA A PB
B APB π θ
α β α β
θ
− − ⊥ ⊥
∠ = −
（5）二面角 内有一点 垂足为点 垂足为
点 ，若 则二面角的大小为：
⑥面面平行的性质定理：若 ，则_______
(二)线面平行
①线面平行的判定定理：若 ，则_______
②面面平行的性质定理：若 ，则_______
(三)面面平行
①面面平行的判定定理：若 ，则________
②推论 1：若 则________
③推论 2：若 是异面直线， ，则_________
④传递性：若 ，则________
(四)线线垂直
①线面垂直的定义：若 ，则______
②若 ，则_____
③三垂线定理：若 ，则________
④三垂线逆定理：若 ，则________
(五)线面平行
①线面垂直的判定定理：若 ，则________
②面面垂直的性质定理：若 ，则__________
③若 ，则__________
④若 ，则_________
(六)面面垂直
①面面垂直的判定定理：若 ，则________
②定义法：证明二面角的平面角是直角，就可以得出二面角的两个半平面垂直
五、线面的位置关系
1、两条直线的位置关系：_____________________________________
2、直线与平面的位置关系：_____________________________________
3、平面与平面的位置关系：______________________________________
六、常见定理及结论
1、平面的基本性质
①
②
/ / , ,a bα β α γ β γ= =
/ / , ,a b a bα α⊄ ⊆
/ / ,aα β α⊆
, , , / / , / /a b a b o a bα β β⊆ =
, , , ', ' / / , / / ,a b a b o a b a bα β β⊆ = ⊆
,a b / / , / /a bα β
/ / , / /α β α γ
,a bα α⊥ ⊆
/ / ,a b a c⊥
,AO BO lα⊥ ⊥
,AO AB lα⊥ ⊥
, ,l a l b a a b oα⊥ ⊥ ⊆ =，b ，
, , ,l a a lα β α β α⊥ = ⊆ ⊥
/ / ,a b a α⊥
/ / ,aα β α⊥
,a aα β⊥ ⊆
2
θ
P
B
C
A
α
θ
③
推论①
推论②
推论③
2、射影长定理：若 ，则_________
3、最小角定理：PA 为 的一条斜线， , , 是 PA 与 内所有直线所成的角中的最
小角。
4、角平分线定理：
（1）若 P 为 外的一点， , ,则点 P 在 内的射影 O 在 的角平分线上。
（2）若 P 为 外的一点， ,点 P 到 的两边 AB,AC 的距离相等，即 PM=PN ,则点 P 在
内的射影 O 在 的角平分线上。
5、三面角余弦定理
6、正方体的结论：如图
①若其棱长为 a,则正方体的对角线长为______
②正方体的体对角线与和它异面的面对角线的夹角为___（ ）
③正方体的面对角线的夹角： 与 AD1 ___, 与 ____， 与 ____
7、正四面体（各棱长都相等，各面是全等的正三角形）如图
①相对棱互相垂直__________________________________
②相对棱的中点连成的线段的长为这两条相对棱之间的距离
③顶点在底面的射影为底面三角形的中心
④PA,AB,BC,CP 中点连成的四边形是______
备注：正三棱锥的结论是__________
8、三棱锥的常见结论
①两个外心的结论
❶若三条侧棱相等（PA=PB=PC）则顶点 P 在底面 ABC 内的射影 O 为 ABC 的外心
❷若三条侧棱与底面 ABC 所成的角相等（ ）,则顶点 P 在底面 ABC 内的射影 O
为 ABC 的外心
特殊地：<1>若 ABC 为正三角形，则该射影为 ABC___心。
<2>若 ABC 为直角三角形，则该射影为 ABC___心。
②两个内心的结论
❶若三棱锥的顶点 P 到底面 ABC 的三边的距离相等，则顶点 P 在底面 ABC 内的射影 O 为 ABC 的内心
❷若三条侧棱与底面 ABC 所成的角相等（ ）,则顶点 P 在底面 ABC 内的射影 O
为 ABC 的外心
③三个垂心的结论
❶若三条侧棱两两垂直，则顶点 P 在底面 ABC 内的射影 O 为 ABC 的垂心
❷若三个侧面两两垂直，则顶点 P 在底面 ABC 内的射影 O 为 ABC 的垂心
❸若三棱锥只有两组相对棱互相垂直，则顶点 P 在底面 ABC 内的射影 O 为 ABC 的垂心，且另一组相对棱
也互相垂直。
五、概率
,PO PA PBα⊥ =
α PO α⊥ AB α⊆ PAO∠ α
α BAC α∠ ⊆ PAB PAC∠ = ∠ α BAC∠
α BAC α∠ ⊆ BAC∠
α BAC∠
1B C 1D C 1A B 1DC 1AD
D
PAO PBO PCOÐ = Ð = Ð
D
D D
D D
D D
PAO PBO PCOÐ = Ð = Ð
D
D
D
D
1
22 1 cos co
,
s
l PBA l
BC AB BC
θ
θ
θ θ
α
θ
α
θ
∠
∠
=
=
⋅∠
如图：直线 与平面 所成的角为 直线 与平面 内
直线 所成的角为 PBC= ，射影 与平面内直线 所成的
角为 ABC= ，则有: cos
( )m n m
n nC C m n−= ≤ ( )1
1
m m m
n n nC C C m n−
+ = + ≤
一、两个基本的计数原理：
（1）分类计数原理——加法原理：如果完成一件事，有 n 类方式，N=K1+K2+……+Kn 种不同的方法。
（2）分步计数原理——乘法原理：如果完成一件事，需要分成 n 个步骤，N=K1·K2· …… ·K n 种不同的方
法。
二、排列数公式： 其中 m 、n∈N* (m≤n)
说明：①排列数公式中，当 m=n 时，有
②由 1 到 n 的正整数的连乘积，叫做 n 的阶乘，记作 n! 即
③排列数公式中，当 m＜n 时，排列数公式还可以写成
三、组合数公式： 其中 m n∈N* (m≤n).
说明：①由于 还可以写作
②规定：
四、组合数的性质公式：
五、二项式定理：
①
②二项式通项公式： （第 m+1 项）
③展开式共 n+1 项，各项的二项式系数为：
④各项二项式系数和：
⑤奇数项与偶数项的二项式系数和相等都为
⑥在二项式展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等
⑦有关系数：例 已知
❶各项系数和： _______
12n-
7 2 7
0 1 2 7(1 2 )x a a x a x a x- = + + + +
0 1 2 7a a a a+ + + + =
( 1)( 2)...( 1)m
nP n n n n m= − − − +
( 1)( 2)...( 1)...3 2 1m n
n nP P n n n n m= = − − − + × ×
! ( 1)( 2)...( 1)...3 2 1n n n n n m= − − − + × × !n
nP n= 0 ! 1=
( )
!
!
m
n
nP n m
= −
( ) ( )1 ! 1 !n n n+ = +
m m n
n n nP C P= ( )
!
!
m
n
nP n m
= − ( )
!
! !
m
n
nC m n m
= −
1n
nC = 0 1nC =
( 1)( 2)...( 1)
!
m
m n
n m
m
P n n n n mC P m
− − − += =
( + ) 0 0 1 1 1 2 2 2 0... ...n n n n m n m m n n
n n n n na b C a b C a b C a b C a b C a b- - -= + + + + + +
1
k n k k
k nC a b−
+ =T
0 1 2 ... 2n n
n n n nC C C C+ + + + =
0 1 2, , ... n
n n n nC C C C
❷常数项： _________
❸奇数项的系数和： ______
❹偶数项的系数和： ______
六、事件及概率
事件间的关系 事件间的运算 符号表示
包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A(或
称事件 A 包含于事件 B) B⊇A(或 A⊆B)
相等关系 若 B⊇A，且 A⊇B，那么称事件 A 与事件 B 相等 A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则称此事件为事
件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) A∪B(或 A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事
件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) A∩B(或 AB)
互斥事件 若 A∩B 为不可能事件，那么称事件 A 与事件 B 互斥 A∩B＝∅
对立事件 若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B
互为对立事件 A 与
0a =
0 2 4 6a a a a+ + + =
1 3 7a a a+ + + =
A
( )( ) ( )P A B P A P B= +互斥事件满足概率加法原理：
⋅相互独立事件满足概率乘法原理：P( A B) =P( A) P( B)
( 0,1, 2,..., )k k n k
n n p q k n− =贝努利公式：P( k) =C 其中，
m
n
古典概型：P( A) =