19全国百套高考数学模拟试题分类汇编立体几何解答题d

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19全国百套高考数学模拟试题分类汇编立体几何解答题d

‎2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编 ‎07立体几何 三、解答题(第四部分)‎ ‎76、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)如图,在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB= FB=1.‎ ‎(1)求直线EC1与FD1所成角的余弦值; ‎ ‎(2)求二面角C-DE-C1的平面角的正切值.‎ 解:以A为原点,分别为x轴,y轴,z轴的 正向建立空间直角坐标系A-xyz,则有D(0,3,0)、‎ D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2).‎ ‎ 于是,,.‎ ‎(1)设EC1与FD1所成角为b,则. ‎ ‎(2)设向量与平面C1DE垂直,则有 ‎.‎ ‎∴其中z>0.‎ 取n0=(-1,-1,2),则n0是一个与平面C1DE垂直的向量.‎ ‎∵向量=(0,0,2)与平面CDE垂直,‎ ‎∴n0与所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角.‎ ‎∵,∴.‎ ‎77、(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)已知等腰梯形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PB=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面PAD⊥面ABCD(如图2).‎ ‎ (Ⅰ)证明:平面PAD⊥PCD;‎ ‎ (Ⅱ)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC 把几何体分成的两部分;‎ ‎ (Ⅲ)在M满足(Ⅱ)的情况下,判断直线PD 是否平行面AMC.‎ ‎(I)证明:依题意知:‎ ‎ …………2分 ‎ …4分 ‎ (II)由(I)知平面ABCD ‎ ‎ ∴平面PAB⊥平面ABCD. …………5分 ‎ 在PB上取一点M,作MN⊥AB,则MN⊥平面ABCD,‎ ‎ 设MN=h ‎ 则 ‎ …………8分 ‎ 要使 ‎ 即M为PB的中点. …………10分 ‎ (Ⅲ)连接BD交AC于O,因为AB//CD,AB=2,CD=1,由相似三角形易得BO=2OD ‎∴O不是BD的中心……………………10分 又∵M为PB的中点 ‎∴在△PBD中,OM与PD不平行 ‎∴OM所以直线与PD所在直线相交 又OM平面AMC ‎∴直线PD与平面AMC不平行.……………………15分 ‎78、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)如图已知在三棱柱ABC——A1B‎1C1中,AA1⊥面ABC,AC=BC,M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B‎1C1的中点.‎ ‎(1)求证:面PCC1⊥面MNQ;‎ ‎(2)求证:PC1∥面MNQ.‎ 主要得分步骤:(1)AB⊥面PCC1; 4′‎ MN∥AB,故MN⊥面MNQ ‎ MN在平面MNQ内,∴面PCC1⊥面MNQ; 7′‎ ‎(2)连AC1、BC1,BC1∥NQ,AB∥MN 面ABC1∥面MNQ 11′‎ PC1在面ABC1内.‎ ‎∴PC1∥面MNQ. 13′‎ ‎79、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.‎ ‎ (Ⅰ)求证:平面; ‎ ‎(Ⅱ)求到平面的距离;‎ ‎ (Ⅲ)求二面角的大小.‎ ‎ 解法:(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,‎ 又,∴平面, 得,又,‎ ‎∴平面.…………………4分 ‎(Ⅱ)∵,四边形为菱形,故,‎ 又为中点,知∴.取中点,则 平面,从而面面,…………6分 过作于,则面,在中,,故,即到平面的距离为.…………………8分 ‎ (Ⅲ)过作于,连,则,从而为二面角的平面角,在中,,∴,…………10分 在中,,故二面角的大小为.‎ ‎ …………………12分 ‎ 解法:(Ⅰ)如图,取的中点,则,∵,∴,‎ 又平面,以为轴建立空间坐标系, …………1分 则,,,,,,‎ ‎,,由,知,‎ 又,从而平面.…………………4分 ‎ (Ⅱ)由,得.设平面的法向量 为,,,,‎ 设,则.…………6分 ‎∴点到平面的距离.…………………8分 ‎ (Ⅲ)设面的法向量为,,,‎ ‎∴.…………10分 设,则,故,根据法向量的方向 可知二面角的大小为.…………………12分 ‎80、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中点,截面DAN交PC于M.‎ ‎ (Ⅰ)求PB与平面ABCD所成角的大小;‎ ‎ (Ⅱ)求证:PB⊥平面ADMN;‎ ‎ (Ⅲ)求以AD为棱,PAD与ADMN为面的二面角的大小.‎ ‎(I)解:取AD中点O,连结PO,BO.‎ ‎ △PAD是正三角形,所以PO⊥AD,…………1分 ‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD,‎ ‎ 所以,PO⊥平面ABCD, …………3分 ‎ BO为PB在平面ABCD上的射影, ‎ ‎ 所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角.…………4分 ‎ 由已知△ABD为等边三角形,所以PO=BO=,‎ ‎ 所以PB与平面ABCD所成的角为45°. ………………5分 ‎ (Ⅱ)△ABD是正三角形,所以AD⊥BO,所以AD⊥PB, ………………6分 ‎ 又,PA=AB=2,N为PB中点,所以AN⊥PB, ………………8分 ‎ 所以PB⊥平面ADMN. ………………9分 ‎ (Ⅲ)连结ON,因为PB⊥平面ADMN,所以ON为PO在平面ADMN上的射影,‎ ‎ 因为AD⊥PO,所以AD⊥NO, ………………11分 ‎ 故∠PON为所求二面角的平面角.‎ ‎ 因为△POB为等腰直角三角形,N为斜边中点,所以∠PON=45°……………12分 ‎81、(山东省济南市2008年2月高三统考)如图,四棱锥P—ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90‎ ‎°,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点.‎ ‎(1)证明:EF∥面PAD;‎ ‎(2)证明:面PDC⊥面PAD;‎ ‎(3)求锐二面角B—PD—C的余弦值.‎ 解:(1)如图,连接AC,‎ ‎∵ABCD为矩形且F是BD的中点,‎ ‎∴AC必经过F 1分 又E是PC的中点,‎ 所以,EF∥AP 2分 ‎∵EF在面PAD外,PA在面内,‎ ‎∴EF∥面PAD 4分 ‎(2)∵面PAD⊥面ABCD,CD⊥AD,面PAD面ABCD=AD,∴CD⊥面PAD,‎ 又AP面PAD,∴AP⊥CD 6分 又∵AP⊥PD,PD和CD是相交直线,AP⊥面PCD 7分 又AD面PAD,所以,面PDC⊥面PAD 8分 ‎(3)由P作PO⊥AD于O,以OA为x轴,以OF为y轴,以OP为z轴,则 A(1,0,0),P(0,0,1) 9分 由(2)知是面PCD的法向量,B(1,1,0),D(一1,0,0),‎ ‎, 10分 设面BPD的法向量,‎ 由得 取,则,‎ 向量和的夹角的余弦 11分 所以,锐二面角B—PD—C的余弦值 12分 ‎82、(山东省聊城市2008届第一期末统考)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.‎ ‎ (1)求证:AM//平面BDE;‎ ‎ (2)求二面角A—DF—B的大小.‎ ‎(1)解:记AC与BD的交点为O,连接OE………………1分 ‎∵O,M分别是AC、EF的中点,且四边形ACEF是矩形,‎ ‎∴四边形AOEM是平行四边形,‎ ‎∴AM//OE,‎ 又OE平面BDE,AM平面BDE,‎ ‎∴AM//平面BDE.……………………4分 ‎ (2)在平面AFD中过A作AS⊥DF,垂足为S,连接BS,‎ ‎∵AB⊥AF,AB⊥AD,ADAF=A,‎ ‎∴AB⊥平面ADF.…………………………6分 又DF平面ADF,‎ ‎∴DF⊥AB,又DF⊥AS,ABAS=A,‎ ‎∴DF⊥平面ABS.‎ 又BS平面ABS,‎ ‎∴DF⊥SB.‎ ‎∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角.……………………8分 在Rt△ASB中,AS ‎∴‎ ‎∴∠ASB=60°.……………………………………10分 ‎(本题若利用向量求解可参考给分)‎ ‎83、(山东省实验中学2008届高三第三次诊断性测试)如图,正方形所在的平面与平面垂直,是和的交点,,且.‎ ‎ (1)求证:平面;‎ ‎ (2)求直线与平面所成的角的大小;‎ ‎ (3)求二面角的大小.‎ 解法一:(Ⅰ)∵四边形是正方形, ‎ ‎. ………………………1分 ‎∵平面平面,又∵,‎ 平面. ……………………2分 平面,.……………3分 平面. ………………4分 ‎ (Ⅱ)连结,‎ 平面,‎ 是直线与平面所成的角. ………5分 设,则 ‎,, ………………………6分 ‎, . ‎ 即直线与平面所成的角为…8分 ‎(Ⅲ)过作于,连结. ……………………9分 平面,.平面.‎ 是二面角的平面角. ……10分 ‎∵平面平面,平面.‎ ‎.‎ 在中, ,有.‎ 由(Ⅱ)所设可得 ‎,,‎ ‎. ………………10分 ‎..‎ ‎∴二面角等于. ……………………12分 解法二: ∵四边形是正方形 ,,‎ ‎∵平面平面,平面, ………2分 ‎∴可以以点为原点,以过点平行于的直线为轴,‎ 分别以直线和为轴和轴,建立如图所示的空 间直角坐标系.‎ 设,则 ‎,‎ ‎ 是正方形的对角线的交点,‎ ‎.……………4分 ‎(Ⅰ),,‎ ‎,‎ ‎, ……………………………………4分 平面. ………………5分 ‎(Ⅱ) 平面,为平面的一个法向量,…………6分 ‎,.……………7分 ‎.∴直线与平面所成的角为. ……8分 ‎(Ⅲ) 设平面的法向量为,则且,‎ 且.‎ ‎ 即 取,则, 则.………………10分 又∵为平面的一个法向量,且,‎ ‎,设二面角的平面角为,则,.∴二面角等于.…12分 ‎84、 (山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F 为CE上的点,且BF⊥平面ACE.‎ ‎ (Ⅰ)求证:AE⊥平面BCE;‎ ‎ (Ⅱ)求二面角B—AC—E的余弦值;‎ ‎ (Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.‎ ‎ (Ⅳ)求证:平面BDF⊥平面ABCD 解法一:(Ⅰ)平面ACE. ‎ ‎∵二面角D—AB—E为直二面角,且, 平面ABE.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)连结BD交AC于C,连结FG,‎ ‎∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=,‎ 平面ACE,‎ ‎(Ⅲ)过点E作交AB于点O. OE=1.‎ ‎∵二面角D—AB—E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD.‎ 设D到平面ACE的距离为h, ‎ 平面BCE, ‎ ‎∴点D到平面ACE的距离为 解法二:(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直 线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行 于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系 O—xyz,如图.‎ 面BCE,BE面BCE, ,‎ 在的中点,‎ ‎ 设平面AEC的一个法向量为,‎ 则解得 ‎ 令得是平面AEC的一个法向量.‎ ‎ 又平面BAC的一个法向量为,‎ ‎ ∴二面角B—AC—E的大小为 ‎(III)∵AD//z轴,AD=2,∴,‎ ‎∴点D到平面ACE的距离 ‎85、(山西大学附中2008届二月月考)如图,正三棱柱所有棱长都是,是棱的中点,是棱的中点,交于点 ‎ (1)求证:;‎ ‎ (2)求二面角的大小(用反三角函数表示);‎ ‎ (3)求点到平面的距离.‎ ‎(1)证明:建立如图所示, ‎ ‎ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 即AE⊥A1D, AE⊥BD ∴AE⊥面A1BD ‎(2)设面DA1B的法向量为 由 ∴取 设面AA1B的法向量为 , ‎ 由图可知二面角D—BA1—A为锐角,∴它的大小为arcos ‎ ‎(3),平面A1BD的法向量取 则B1到平面A1BD的距离d= ‎ ‎86、(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)在长方体中(如图),==1,,点E是AB上的动点 ‎(1)若直线,请你确定点的位置,并求出此时异面直线与所成的角 ‎(2) 在(1)的条件下求二面角的大小 ‎[解]解法1:由DE与CE垂直-----1分 ‎ 设AE=x,在直角三角形DEC中求得-----2分 ‎ 所以点是AB的中点--------------3分 取CD的中点Q,则AQ平行与EC,所以是所求的角------4分 求解得=-------------5分 异面直线与EC所成的角为-------6分 解法2:利用向量法 ‎ 分别以DA,DC,D所在的直线为X轴建立坐标系---------------------------------1分 ‎ 设AE=x, 根据直线-----2分 所以点是AB的中点--------------3分 ‎ 写出A(1,0,0) E(1,1,0 ) C (0,2,0) (0,0,1)---------4分 设的夹角为 cos=----------------5分 异面直线与所成的角为-----------6分 ‎(2)解法1:由DE与CE垂直,‎ 所以是所求的平面角---8分 ‎ -------11分 二面角是--------12分 解法2:利用向量法求得二面角是 ‎87、‎
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