上海市闵行区高考数学一模试卷

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上海市闵行区高考数学一模试卷

‎2018年上海市闵行区高考数学一模试卷 ‎ ‎ 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)‎ ‎1.(4分)集合P={x|0≤x<3,x∈Z},M={x|x2≤9},则P∩M=   .‎ ‎2.(4分)计算=   .‎ ‎3.(4分)方程的根是   .‎ ‎4.(4分)已知是纯虚数(i是虚数单位),则=   .‎ ‎5.(4分)已知直线l的一个法向量是,则l的倾斜角的大小是   .‎ ‎6.(4分)从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是   (用数字作答)‎ ‎7.(5分)在(1+2x)5的展开式中,x2项系数为   (用数字作答)‎ ‎8.(5分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,AB=BB1,则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是   (结果用反三角函数表示)‎ ‎9.(5分)已知数列{an}、{bn}满足bn=lnan,n∈N*,其中{bn}是等差数列,且,则b1+b2+…+b1009=   .‎ ‎10.(5分)如图,向量与的夹角为120°,,,P是以O为圆心,为半径的弧上的动点,若,则λμ的最大值是   .‎ ‎11.(5分)已知F1、F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左右焦点,过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P,若PF2⊥F1F2,则该双曲线的渐近线方程是   .‎ ‎12.(5分)如图,在折线ABCD中,AB=BC=CD=4,∠ABC=∠BCD=120°,E、F分别是AB、CD的中点,若折线上满足条件的点P至少有4个,则实数k的取值范围是   .‎ ‎ ‎ 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)‎ ‎13.(5分)若空间中三条不同的直线l1、l2、l3,满足l1⊥l2,l2∥l3,则下列结论一定正确的是(  )‎ A.l1⊥l3 B.l1∥l3‎ C.l1、l3既不平行也不垂直 D.l1、l3相交且垂直 ‎14.(5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有(  )‎ A.ad>bc B.ad<bc C.ac>bd D.ac<bd ‎15.(5分)无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn(n∈N*),则“a1+d>0”是“{Sn}为递增数列”的(  )条件.‎ A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要 ‎16.(5分)已知函数(n<m)的值域是[﹣1,1],有下列结论:‎ ‎①当n=0时,m∈(0,2];‎ ‎②当时,;‎ ‎③当时,m∈[1,2];‎ ‎④当时,m∈(n,2];‎ 其中结论正确的所有的序号是(  )‎ A.①② B.③④ C.②③ D.②④‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)‎ ‎17.(14分)已知函数(其中ω>0).‎ ‎(1)若函数f(x)的最小正周期为3π,求ω的值,并求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若ω=2,0<α<π,且,求α的值.‎ ‎18.(14分)如图,已知AB是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心,,AB=4,P是母线SA的中点,C是底面圆周上一点,∠AOC=60°.‎ ‎(1)求圆锥的侧面积;‎ ‎(2)求直线PC与底面所成的角的大小.‎ ‎19.(14分)某公司举办捐步公益活动,参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶,再将牛奶捐赠给留守儿童,此活动不但为公益事业作出了较大的贡献,公司还获得了相应的广告效益,据测算,首日参与活动人数为10000人,以后每天人数比前一天都增加15%,30天后捐步人数稳定在第30天的水平,假设此项活动的启动资金为30万元,每位捐步者每天可以使公司收益0.05元(以下人数精确到1人,收益精确到1元).‎ ‎(1)求活动开始后第5天的捐步人数,及前5天公司的捐步总收益;‎ ‎(2)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余?‎ ‎20.(16分)已知椭圆的右焦点是抛物线Γ:y2=2px的焦点,直线l与Γ相交于不同的两点A(x1,y1)、B(x2,y2).‎ ‎(1)求Γ的方程;‎ ‎(2)若直线l经过点P(2,0),求△OAB的面积的最小值(O为坐标原点);‎ ‎(3)已知点C(1,2),直线l经过点Q(5,﹣2),D为线段AB的中点,求证:|AB|=2|CD|.‎ ‎21.(18分)对于函数y=f(x)(x∈D),如果存在实数a、b(a≠0,且a=1,b=0不同时成立),使得f(x)=f(ax+b)对x∈D恒成立,则称函数f(x)为“(a,b)映像函数”.‎ ‎(1)判断函数f(x)=x2﹣2是否是“(a,b)映像函数”,如果是,请求出相应的a、b的值,若不是,请说明理由;‎ ‎(2)已知函数y=f(x)是定义在[0,+∞)上的“(2,1)映像函数”,且当x∈[0,1)时,f(x)=2x,求函数y=f(x)(x∈[3,7))的反函数;‎ ‎(3)在(2)的条件下,试构造一个数列{an},使得当x∈[an,an+1)(n∈N*)时,2x+1∈[an+1,an+2),并求x∈[an,an+1)(n∈N*)时,函数y=f(x)的解析式,及y=f(x)(x∈[0,+∞))的值域.‎ ‎ ‎ ‎2018年上海市闵行区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)‎ ‎1.(4分)集合P={x|0≤x<3,x∈Z},M={x|x2≤9},则P∩M= {0,1,2} .‎ ‎【解答】解:∵集合P={x|0≤x<3,x∈Z}={0,1,2},‎ M={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3},‎ ‎∴P∩M={0,1,2}.‎ 故答案为:{0,1,2}.‎ ‎ ‎ ‎2.(4分)计算=  .‎ ‎【解答】解:===,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)方程的根是 10 .‎ ‎【解答】解:∵,即1+lgx﹣3+lgx=0,‎ ‎∴lgx=1,‎ ‎∴x=10.‎ 故答案为:10.‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)已知是纯虚数(i是虚数单位),则=  .‎ ‎【解答】解:∵是纯虚数,‎ ‎∴,得sin且cos,‎ ‎∴α为第二象限角,则cos.‎ ‎∴=sinαcos+cosαsin=.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)已知直线l的一个法向量是,则l的倾斜角的大小是  .‎ ‎【解答】解:设直线l的倾斜角为θ,θ∈[0,π).‎ 设直线的方向向量为=(x,y),则=x﹣y=0,‎ ‎∴tanθ==,解得θ=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是 96 (用数字作答)‎ ‎【解答】解:根据题意,在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人,有C103=120种,‎ 其中只有男生的选法有C43=4种,只有女生的选法有C63=20种 则选出的3人中男女同学都有的不同选法有120﹣4﹣20=96种;‎ 故答案为:96.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)在(1+2x)5的展开式中,x2项系数为 40 (用数字作答)‎ ‎【解答】解:设求的项为Tr+1=C5r(2x)r,‎ 今r=2,‎ ‎∴T3=22C52x2=40x2.‎ ‎∴x2的系数是40‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,AB=BB1,则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是 arccos (结果用反三角函数表示)‎ ‎【解答】解:∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,AB=BB1,‎ BC∥B1C1,‎ ‎∴∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角,‎ ‎∵A1B===5,‎ A1C===,‎ ‎∴cos∠A1BC===.‎ ‎∴∠A1BC=arccos.‎ ‎∴异面直线A1B与B1C1所成角的大小是arccos.‎ 故答案为:arccos.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)已知数列{an}、{bn}满足bn=lnan,n∈N*,其中{bn}是等差数列,且,则b1+b2+…+b1009= 2018 .‎ ‎【解答】解:数列{an}、{bn}满足bn=lnan,n∈N*,其中{bn}是等差数列,‎ ‎∴bn+1﹣bn=lnan+1﹣lnan=ln=常数t.‎ ‎∴=常数et=q>0,‎ 因此数列{an}为等比数列.‎ 且,‎ ‎∴a1a1009=a2a1008==….‎ 则b1+b2+…+b1009=ln(a1a2…a1009)==lne2018=2018.‎ 故答案为:2018.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)如图,向量与的夹角为120°,,,P是以O为圆心,为半径的弧上的动点,若,则λμ的最大值是  .‎ ‎【解答】解:如图建立平面直角坐标系,设P(cosθ,sinθ),‎ ‎,,.‎ ‎∵,∴,sinθ=.‎ ‎∴,‎ ‎∴λμ=﹣+=+,‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)已知F1、F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左右焦点,过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P,若PF2⊥F1F2,则该双曲线的渐近线方程是 y=±x .‎ ‎【解答】解:设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,‎ 在直角△PF1F2中,∠PF1F2=30°,‎ 可得m=2n,‎ 则m﹣n=2a=n,即a=n,‎ ‎2c=n,即c=n,‎ b==n,‎ 可得双曲线的渐近线方程为y=±x,‎ 即为y=±x,‎ 故答案为:y=±x.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)如图,在折线ABCD中,AB=BC=CD=4,∠ABC=∠BCD=120°,E、F分别是AB、CD的中点,若折线上满足条件的点P至少有4个,则实数k的取值范围是 (﹣,﹣2) .‎ ‎【解答】‎ 解:以BC的垂直平分线为y轴,以BC为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,‎ ‎∵AB=BC=CD=4,∠ABC=∠BCD=120°,‎ ‎∴B(﹣2.0),C(2,0),A(﹣4,2),D(4,2),‎ ‎∵E、F分别是AB、CD的中点,‎ ‎∴E(﹣3,),F(3,),‎ 设P(x,y),﹣4≤x≤4,0≤y≤2,‎ ‎∵,‎ ‎∴(﹣3﹣x,﹣y)(3﹣x,﹣y)=x2+(y﹣)+9=k,‎ 即x2+(y﹣)﹣9=k+9,‎ 当k+9>0时,点P的轨迹为以(0,)为圆心,以为半径的圆,‎ 当圆与直线DC相切时,此时圆的半径r=,此时点有2个,‎ 当圆经过点C时,此时圆的半径为r==,此时点P有4个,‎ ‎∵满足条件的点P至少有4个,结合图象可得,‎ ‎∴<k+9<7,‎ 解得﹣<k<﹣2,‎ 故实数k的取值范围为(﹣,﹣2),‎ 故答案为:(﹣,﹣2)‎ ‎ ‎ 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)‎ ‎13.(5分)若空间中三条不同的直线l1、l2、l3,满足l1⊥l2,l2∥l3,则下列结论一定正确的是(  )‎ A.l1⊥l3 B.l1∥l3‎ C.l1、l3既不平行也不垂直 D.l1、l3相交且垂直 ‎【解答】解:∵空间中三条不同的直线l1、l2、l3,满足l1⊥l2,l2∥l3,‎ ‎∴l1⊥l3,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有(  )‎ A.ad>bc B.ad<bc C.ac>bd D.ac<bd ‎【解答】解:∵c<d<0,∴﹣c>﹣d>0.‎ 又a>b>0,‎ 则一定有﹣ac>﹣bd,可得ac<bd.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn(n∈N*),则“a1+d>0”是“{Sn}为递增数列”的(  )条件.‎ A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要 ‎【解答】解:等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn=na1+d,‎ 则Sn+1=(n+1)a1+,‎ 则Sn+1﹣Sn=(n+1)a1+﹣na1﹣d=a1+nd,‎ 若{Sn}为递增数列,a1+nd>0,‎ ‎∵S2﹣S1=a1+d>0,‎ ‎∴a1+nd>0不能推出a1+d>0‎ 但a1+d能推出a1+nd,‎ 故a1+d>0”是“{Sn}为递增数列必要非充分,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎16.(5分)已知函数(n<m)的值域是[﹣1,1],有下列结论:‎ ‎①当n=0时,m∈(0,2];‎ ‎②当时,;‎ ‎③当时,m∈[1,2];‎ ‎④当时,m∈(n,2];‎ 其中结论正确的所有的序号是(  )‎ A.①② B.③④ C.②③ D.②④‎ ‎【解答】解:当x>1时,x﹣1>0,f(x)=22﹣x+1﹣3=23﹣x﹣3,单调递减,‎ 当﹣1<x<1时,f(x)=22+x﹣1﹣3=21+x﹣3,单调递增,‎ ‎∴f(x)=22﹣|x﹣1|﹣3在(﹣1,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,‎ ‎∴当x=1时,取最大值为1,‎ ‎∴绘出f(x)的图象,如图:‎ ‎①当n=0时,f(x)=,‎ 由函数图象可知:‎ 要使f(x)的值域是[﹣1,1],‎ 则m∈(1,2];故①错误;‎ ‎②当时,f(x)=,‎ f(x)在[﹣1,]单调递增,f(x)的最大值为1,最小值为﹣1,‎ ‎∴;故②正确;‎ ‎③当时,m∈[1,2];故③正确,④错误,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)‎ ‎17.(14分)已知函数(其中ω>0).‎ ‎(1)若函数f(x)的最小正周期为3π,求ω的值,并求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若ω=2,0<α<π,且,求α的值.‎ ‎【解答】解:(1)函数=sin(ωx),‎ ‎∵函数f(x)的最小正周期为3π,即T=3π=‎ ‎∴ω=‎ 那么:,‎ 由,k∈Z,‎ 得:‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;‎ ‎(2)函数=sin(ωx),‎ ‎∵ω=2‎ ‎∴f(x)=sin(2x),‎ ‎,可得sin(2α)=‎ ‎∵0<α<π,‎ ‎∴≤(2α)≤‎ ‎2α=或 解得:α=或α=.‎ ‎ ‎ ‎18.(14分)如图,已知AB是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心,,AB=4,P是母线SA的中点,C是底面圆周上一点,∠AOC=60°.‎ ‎(1)求圆锥的侧面积;‎ ‎(2)求直线PC与底面所成的角的大小.‎ ‎【解答】解:(1)∵AB是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心,,AB=4,‎ P是母线SA的中点,C是底面圆周上一点,∠AOC=60°.‎ ‎∴r==2,l===4,‎ ‎∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×4=8π.‎ ‎(2)过点P作PE⊥圆O,交AO于E,连结CE,则E是AO中点,‎ ‎∴PE=PO=,CE==,‎ ‎∴∠PCE是直线PC与底面所成角,‎ ‎∵PE=CE,PE⊥CE,∴,‎ ‎∴直线PC与底面所成的角为.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)某公司举办捐步公益活动,参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶,再将牛奶捐赠给留守儿童,此活动不但为公益事业作出了较大的贡献,公司还获得了相应的广告效益,据测算,首日参与活动人数为10000人,以后每天人数比前一天都增加15%,30天后捐步人数稳定在第30天的水平,假设此项活动的启动资金为30万元,每位捐步者每天可以使公司收益0.05元(以下人数精确到1人,收益精确到1元).‎ ‎(1)求活动开始后第5天的捐步人数,及前5天公司的捐步总收益;‎ ‎(2)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余?‎ ‎【解答】解:(1)设第x天的捐步人数为x,则f(x)=.‎ ‎∴第5天的捐步人数为f(5)=10000•(1+15%)4=17490.‎ 由题意可知前5天的捐步人数成等比数列,其中首项为10000,公比为1.15,‎ ‎∴前5天的捐步总收益为×0.05=3371;‎ ‎(2)设活动第x天后公司捐步总收益可以回收并有盈余,‎ ‎①若1≤x≤30,则×0.05>300000,‎ 解得x>log1.1591≈32.3(舍).‎ ‎②若x>30,则[+10000•1.1529•(x﹣30)]•0.05>300000,‎ 解得x>32.87.‎ ‎∴活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余.‎ ‎ ‎ ‎20.(16分)已知椭圆的右焦点是抛物线Γ:y2=2px的焦点,直线l与Γ相交于不同的两点A(x1,y1)、B(x2,y2).‎ ‎(1)求Γ的方程;‎ ‎(2)若直线l经过点P(2,0),求△OAB的面积的最小值(O为坐标原点);‎ ‎(3)已知点C(1,2),直线l经过点Q(5,﹣2),D为线段AB的中点,求证:|AB|=2|CD|.‎ ‎【解答】(1)解:由椭圆,得a2=10,b2=9,则c=1.‎ ‎∴椭圆的右焦点,即抛物线Γ:y2=2px的焦点为(1,0),‎ 则,p=2,‎ ‎∴Γ的方程为y2=4x;‎ ‎(2)解:设直线l:x=my+2,‎ 联立,得y2﹣4my﹣8=0.‎ 则y1+y2=4m,y1y2=﹣8.‎ ‎∴==,‎ 即△OAB的面积的最小值为;‎ ‎(3)证明:当AB所在直线斜率存在时,设直线方程为y+2=k(x﹣5),即y=kx﹣5k﹣2.‎ 联立,可得ky2﹣4y﹣20k﹣8=0.‎ ‎,.‎ ‎=.‎ ‎=‎ ‎==.‎ ‎∵C(1,2),‎ ‎∴,,‎ 则=(x1﹣1)(x2﹣1)+(y1﹣2)(y2﹣2)=x1x2﹣(x1+x2)+1+y1y2﹣2(y1+y2)+4‎ ‎=,‎ 当AB所在直线斜率不存在时,直线方程为x=5,‎ 联立,可得A(5,﹣),B(5,2),‎ ‎,,有,‎ ‎∴CA⊥CB,又D为线段AB的中点,∴|AB|=2|CD|.‎ ‎ ‎ ‎21.(18分)对于函数y=f(x)(x∈D),如果存在实数a、b(a≠0,且a=1,b=0不同时成立),使得f(x)=f(ax+b)对x∈D恒成立,则称函数f(x)为“(a,b)映像函数”.‎ ‎(1)判断函数f(x)=x2‎ ‎﹣2是否是“(a,b)映像函数”,如果是,请求出相应的a、b的值,若不是,请说明理由;‎ ‎(2)已知函数y=f(x)是定义在[0,+∞)上的“(2,1)映像函数”,且当x∈[0,1)时,f(x)=2x,求函数y=f(x)(x∈[3,7))的反函数;‎ ‎(3)在(2)的条件下,试构造一个数列{an},使得当x∈[an,an+1)(n∈N*)时,2x+1∈[an+1,an+2),并求x∈[an,an+1)(n∈N*)时,函数y=f(x)的解析式,及y=f(x)(x∈[0,+∞))的值域.‎ ‎【解答】解:(1)由f(x)=x2﹣2,可得f(ax+b)=(ax+b)2﹣2=a2x2+2abx+b2﹣2,‎ 由f(x)=f(ax+b),得x2﹣2=a2x2+2abx+b2﹣2,‎ 则,∵a≠0,且a=1,b=0不同时成立,‎ ‎∴a=﹣1,b=0.‎ ‎∴函数f(x)=x2﹣2是“(﹣1,0)映像函数”;‎ ‎(2)∵函数y=f(x)是定义在[0,+∞)上的“(2,1)映像函数”,‎ ‎∴f(x)=f(2x+1),则f(0)=f(1)=f(3),f(1)=f(3)=f(7),‎ ‎∴f(0)=f(3),f(1)=f(7),‎ 而当x∈[0,1)时,f(x)=2x,‎ ‎∴x∈[3,7)时,设f(x)=2sx+t,‎ 由,解得s=,t=﹣.‎ ‎∴x∈[3,7)时,f(x)=.‎ 令y=(3≤x<7),得,‎ ‎∴x=(1≤y<2),‎ ‎∴函数y=f(x)(x∈[3,7))的反函数为y=(1≤x<2);‎ ‎(3)由(2)可知,构造数列{an},满足a1=0,an+1=2an+1,‎ 则an+1+1=2(an+1),‎ ‎∴数列{an+1}是以1为首项,以2为公比的等比数列,‎ 则,即.‎ 当x∈[an,an+1)=[2n﹣1﹣1,2n﹣1).‎ 令,解得s=21﹣n,t=21﹣n﹣1.‎ ‎∴x∈[an,an+1)(n∈N*)时,函数y=f(x)的解析式为f(x)=.‎ 当x∈[0,+∞)时,函数f(x)的值域为[1,2).‎ ‎ ‎
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