排列组合经典高考题评析

排列组合经典高考题评析

考点分析-排列组合 ‎1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法 ‎2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法 ‎ ‎3．排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 ‎4．排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示 ‎5．排列数公式：n(n-1)(n-2)(n-3) …(n-m+1)（）‎ ‎6 阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定．‎ ‎7．排列数的另一个计算公式： = ‎ ‎8 组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 ‎9．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．‎ ‎=== ‎10．组合数公式： ‎ ‎11 组合数的性质1：．规定：；‎ ‎ 2：＝+ （上取大，下加一）‎ 三、例题分析-排列组合 ‎1、解排列组合题的基本思路：‎ ① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 ② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；‎ ③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；‎ ‎2、解排列组合题的基本方法：‎ （1） 优先法：‎ 元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；‎ 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；‎ （2） 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。‎ （1） 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。‎ （2） 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。‎ （3） 插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。‎ （4） 捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。‎ （5） 穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。‎ 排列组合经典高考题评析 排列组合以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中占有特殊的地位，是高考数学相对独立的内容，不论是思想方法还是解题技巧与其它章节都有很大不同，高考对排列组合要求的特点是基础和全面，都是以考查基本概念、基础知识和运算为主，能力要求主要是以考查分析问题和解决问题为主。现举例说明。‎ 例1（浙江高考题）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答） ‎ 解：10元钱刚用完有两种情况：①5种2元的有=56种，②4种2元，2种一元有=210种。所以共有56+210=266种。‎ 例2（江苏高考题）　某校开设门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修门，共有_____种不同的选修方案　（用数值作答）‎ 解：①若不选A、B、C课的选法有=15种。‎ ②若选A、B、C中一门课的选法有种，所以共有15+60=75种。‎ 评注：解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥（保证不重复）；②总数要完备（保证不遗漏）。也就是要确定一个合理的分类标准，应按事件发生的连贯过程进行分步，分步时必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性。‎ 例3（全国高考题）　从5位同学中选4位在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有两人参加，星期六、星期日各有一人参加，则不同的选派方法共有（ ）。‎ ‎(A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种 ‎ 解：①星期五有两人参加有种派法；‎ ‎②星期六、星期日各有一人参加有种派法　‎ 则不同的选派方法为：10×6＝60　 故选B　‎ 例4（辽宁高考题）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排列有 （用数字作答） ‎ 解:有1名老队员的排法有种；‎ 有2名老队员的排法有种；‎ 故共有36+12=48种排法。‎ 评注：解含有特殊元素、特殊位置的排列组合问题，一般应优先安排特殊元素、优选确定特殊位置的元素，再考虑其他元素和其他位置，也就是在解题过程中的一种主次思想。‎ 例5（海南高考题）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）‎ 解：先把5个班分为4组，即有两个班为一组有种方法，再把4个组分配给4个工厂共有种方法，所以不同的安排方法共有种方法。‎ 例6（全国高考题）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种　（用数字作答）‎ 解：①甲乙均未选中有种；‎ ②甲乙均选中有种；‎ ③甲乙有一人选中有种；‎ 所以不同选法共有++=36种。‎ 评注：解含有多层次的排列组合综合应用题，应遵循这样一个原则，即先取元素（组合），后排顺序（排列）。‎ 例7（陕西高考题）安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种　（用数字作答）‎ 解：（间接排除法）安排3名教师共种，从中排除3人均在其中一所学校的情况共4种，。‎ ‎（直接分类法）3人去了3所不同学校有种方法，有2人去了一所学校，另一人去了另一所学校共有种方法，所以共有+=60.‎ 评注：解决较复杂的排列组合问题的基本方法有两种，即直接法和排除法，直接法就是对问题进行分类求解，而排除法则先不管其中某些限制条件，求出其种数，再剔除不合题意部分即可，选择哪种方法的依据是“正难则反”。‎