巧用累加式和累乘式解数列高考题

巧用累加式和累乘式解数列高考题

巧用累加式和累乘式解数列高考题 湖北省广水市一中 刘才华　432700‎ 数列中有两个常见的重要恒等式，累加式： 和累乘式：.运用它们可以求数列通项和证明数列与不等式的综合题.本文就这两个恒等式在解高考题中的应用举几例，算作是抛砖引玉.‎ 一、累加式：＋‎ ‎1.1 求数列通项 例1 （2003年高考全国卷文科第22题） 已知数列满足， （≥）.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：.‎ 解（1）∵，，‎ ‎∴，.‎ ‎（2） ∵，‎ ‎∴（≥）.‎ ‎∴‎ ‎ ==‎ ‎=.‎ 1.2 证明数列不等式 例2 （2005年高考湖北卷理科第22题（Ⅰ）） 已知不等式 ,其中为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列 各项为正，且满足，≤，‎ 证明： .‎ 证明 ∵≤，又，‎ ‎∴≥，即≥.‎ 设=，则，∴≥（≥）.‎ ‎∴‎ ‎≥ .‎ 又，且（≥3）; ‎ ‎∴，即.‎ ‎∴.‎ 即（≥3）.‎ 二、累乘式：‎ ‎2.1 求数列通项 例3 （2000年高考全国卷理科第15题）是首项为1的正项数列，且 （）,则它的通项公式为________.‎ 解 ∵，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴，即.‎ ‎∴，即（≥2）.‎ ‎∴==（≥2）.‎ 又也满足上式，∴的通项公式为.‎ 2.2 ‎ 证明数列不等式 例4 （2005年高考辽宁理科卷19题（I））已知函数 设数列满足，，数列满足 .‎ 证明： ≤. ‎ 证明 ∵，又，‎ ‎∴，∴.‎ 即.‎ ‎∴.‎ 又，∴.‎ ‎∴.‎ 又∵，=，∴≥.‎ ‎∴≤.‎ ‎∴≤（≥）.‎ ‎∴‎ ‎≤‎ ‎. 又∴；‎ ‎∴≤，即≤.‎ 例5 (2005高考重庆卷第22题) 数列满足，且（≥1）.‎ ‎(Ⅰ) 用数学归纳法证明：≥(≥);‎ ‎(Ⅱ) 已知不等式对成立，证明：（≥1），其中无理数 证明 (Ⅰ)（略）‎ ‎(Ⅱ) ∵由(Ⅰ)≥（≥），且，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 由不等式对成立，‎ ‎∴.‎ ‎∴，即 ，‎ ‎∴，则（≥2）,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎（≥）.‎ ‎ 又=1, ∴（≥1）.‎