高考数学总复习教案43平面向量的数量积及平面向量的应用举例

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高考数学总复习教案43平面向量的数量积及平面向量的应用举例

第四章 平面向量与复数第3课时 平面向量的数量积及平面向量 的应用举例(对应学生用书(文)、(理)65~67页)‎ 考情分析 考点新知 ‎① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎②掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算;能利用数量积表示两个向量夹角的余弦,会用数量积判断两个非零向量是否垂直.‎ 平面向量的数量积及其几何意义,数量积的性质及运算律,数量积的坐标表示.‎ ‎②了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.‎ ‎1. (必修4P77练习第2(1)题改编)已知向量a和向量b的夹角为135°,|a|=2,|b|=3,则向量a和向量b的数量积a·b=________.‎ 答案:-3 解析:a·b=|a|·|b|cos135°=2×3×=-3.‎ ‎2. (必修4P80练习第3题改编)已知向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为________.‎ 答案: 解析:∵ cos〈a,b〉==,∴〈a,b〉=.‎ ‎3. (必修4P81习题2.4第2题改编)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a-b|=________.‎ 答案: 解析:|a-b|====.‎ ‎4. (必修4P81习题2.4第3(1)题改编)已知两个单位向量e1、e2的夹角为,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=________.‎ 答案:-6‎ 解析:b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3e-2e1·e2-8e.因为e1,e2为单位向量,〈e1,e2〉=,所以b1·b2=3-2×-8=3-1-8=-6.‎ ‎5. (必修4P84习题4改编)若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是________.‎ 答案:菱形 解析:四边形ABCD满足+=0知其为平行四边形,(-)·=0即· ‎=0知该平行四边形的对角线互相垂直,从而该四边形一定是菱形.‎ ‎1. 向量数量积的定义 ‎(1) 向量a与b的夹角 ‎(2) 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,并规定零向量与任一向量的数量积为0.‎ ‎2. 向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ是a与b的夹角,则 ‎(1) e·a=a·e.‎ ‎(2) a⊥b a·b=0.‎ ‎(3) 当a与b同向时,a·b=|a||b|;‎ 当a与b反向时,a·b=-|a||b|;‎ 特殊的,a·a=|a|2或|a|=.‎ ‎(4) cosθ=.‎ ‎(5) |a·b|≤|a|·|b|.‎ ‎3. 向量数量积的运算律 ‎(1) 交换律:a·b=b·a.‎ ‎(2) 分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.‎ ‎(3) 数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).‎ ‎4. 平面向量数量积的坐标表示 ‎(1) 若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.故a⊥bx1x2+y1y2=0.‎ ‎(2) 设a=(x,y),则|a|=.‎ ‎(3) 若向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)的夹角为θ,则有cosθ==.‎ ‎[备课札记]‎ 题型1 向量平行与垂直的充分条件 例1 已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.‎ ‎(1) 若a⊥b,求x的值;‎ ‎(2) 若a∥b,求|a-b|的值.‎ 解:(1) 若a⊥b,‎ 则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0,‎ 整理得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.‎ ‎(2) 若a∥b,则有1×(-x)-x(2x+3)=0,‎ 即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.‎ 当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),‎ ‎∴ |a-b|==2;‎ 当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),‎ ‎∴ |a-b|==2.‎ 综上,可知|a-b|=2或2.‎ 已知向量a=(1,2),b=(-2,m),x=a+(t2+1)b,y=-ka+b,m∈R,k、t为正实数.‎ ‎(1) 若a∥b,求m的值;‎ ‎(2) 若a⊥b,求m的值;‎ ‎(3) 当m=1时,若x⊥y,求k的最小值.‎ 解:(1) 因为a∥b,所以1·m-2·(-2)=0,解得m=-4.‎ ‎(2) 因为a⊥b,所以a·b=0,‎ 所以1·(-2)+2m=0,解得m=1.‎ ‎(3) 当m=1时,a·b=0.‎ 因为x⊥y,所以x·y=0.‎ 则x·y=-ka2+a·b+(t+)b2=0.‎ 因为t>0,所以k=t+≥2,当t=1时取等号,‎ 即k的最小值为2.‎ 题型2 向量的夹角与向量的模 例2 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.‎ ‎(1) 求a与b的夹角θ;‎ ‎(2) 求|a+b|;‎ ‎(3) 若=a,=b,求△ABC的面积.‎ 解:(1) ∵ (2a-3b)·(2a+b)=61,‎ ‎∴ 4|a|2-4a·b-3|b|2=61.‎ 又|a|=4,|b|=3,∴ 64-4a·b-27=61,‎ ‎∴a·b=-6.‎ ‎∴ cosθ===-.‎ 又0≤θ≤π,∴θ=.‎ ‎(2) 可先平方转化为向量的数量积.‎ ‎|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2‎ ‎=42+2×(-6)+32=13,‎ ‎∴ |a+b|=.‎ ‎(3) ∵ 与的夹角θ=,‎ ‎∴∠ABC=π-=.‎ 又||=|a|=4,||=|b|=3,‎ ‎∴ S△ABC=||||sin∠ABC=×4×3×=3.‎ 已知非零向量a、b、c满足a+b+c=0 ,向量a、b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为________.‎ 答案:90°‎ 解析:由题意,得c=-a-b,a·c=-a2-a·b=-|a|2-|a||b|cos120°=-|a|2+|a||b|=-|a|2+|a|·2|a|=-|a|2+|a|2=0,所以a⊥c,即a与c的夹角为90°.‎ 题型3 平面向量与三角函数的交汇 例3 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2a+c)··+c·=0.‎ ‎(1) 求角B的大小;‎ ‎(2) 若b=2,试求·的最小值.‎ 解:(1) 因为(2a+c)·+c·=0,‎ 所以(2a+c)accosB+abccosC=0,‎ 即(2a+c)cosB+bcosC=0,‎ 所以(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,‎ 即2sinAcosB+sin(B+C)=0.‎ 因为sin(B+C)=sinA≠0,‎ 所以cosB=-,所以B=.‎ ‎(2) 因为b2=a2+c2-2accos,所以12=a2+c2+ac≥3ac,即ac≤4,‎ 所以·=accos=-ac≥-2,当且仅当a=c=2时等号成立,‎ 所以·的最小值为-2.‎ ‎(2013·山东卷)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.‎ ‎(1) 求a,c的值;‎ ‎(2) 求sin(A-B)的值.‎ 解:(1) 由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),又a+c=6,b=2,cosB=,所以ac=9,解得a=3,c=3.‎ ‎(2) 在△ABC中,sinB==, 由正弦定理得sinA==,因为a=c,所以A为锐角,所以cosA==,因此sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=. ‎ 例4 (2013·泰州市期末)已知向量a=(cosλθ,cos(10-λ)θ),b=(sin(10-λ)θ,sinλθ),λ、θ∈R.‎ ‎(1) 求|a|2+|b|2的值;‎ ‎(2) 若a⊥b,求θ;‎ ‎(3) 若θ=,求证:a∥b.‎ ‎(1) 解:∵ |a|=,‎ ‎|b|=,‎ ‎∴ |a|2+|b|2=2.‎ ‎(2) 解:∵ a⊥b,‎ ‎∴ cosλθ·sin(10-λ)θ+cos(10-λ)θ·sinλθ=0,‎ ‎∴ sin[(10-λ)θ+λθ]=0,∴ sin10θ=0,‎ ‎∴ 10θ=kπ,k∈Z,∴θ=,k∈Z.‎ ‎(3) 证明:∵ θ=,‎ cosλθ·sinλθ-cos(10-λ)θ·sin[(10-λ)θ]‎ ‎=cos·sin-cos·sin ‎=cos·sin-sin·cos=0,∴ a∥b.‎ ‎(2013·陕西卷)已知向量a=,b=(sinx,cos2x),x∈R, 设函数f(x)=a·b. ‎ ‎(1) 求f (x)的最小正周期. ‎ ‎(2) 求f (x) 在上的最大值和最小值.‎ 解:(1) f(x)=a·b=cosx·sinx-cos2x=sin2x-cos2x=sin.最小正周期T==π. ‎ 所以f(x)=sin,最小正周期为π. ‎ ‎(2) 当x∈时,∈,由标准函数y=sinx在上的图象知,‎ f(x)=sin∈=. ‎ 所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为1,-.‎ 探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时,首先要理解和把握其充要条件.‎ ‎【示例】 (本题模拟高考评分标准,满分14分)‎ 设两个向量e1、e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.‎ 学生错解: ‎ 解: ∵ e1·e2=|e1|·|e2|·cos60°=2×1×=1,‎ ‎∴(2te1+7e2)·(e1+te2)‎ ‎=2te+7te+(2t2+7)e1·e2‎ ‎=8t+7t+2t2+7=2t2+15t+7.‎ 因为向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,所以(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,‎ 即2t2+15t+7<0,解得-7
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