高考数学第一轮复习测试题
·高三数学·单元测试卷(三)
第三单元 数列
(时量:120分钟 150分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．数列－1，，－，，…错误！未定义书签。的一个通项公式是
A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n
C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S6＝36，Sn＝324，Sn－6＝144，则n＝
A．15 B．16 C．17 D．18
3．在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是
A．14 B．16 C．18 D．20
4．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝
A．8 B．－8 C．±8 D．
5．设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a1>0，S4＝S8，则当Sn取得最大值时，n的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知数列{an}的通项公式an＝log2，设其前n项和为Sn，则使Sn<－5成立的正整数n
A．有最小值63 B．有最大值63
C．有最小值31 D．有最大值31
7．设数列{an}是公比为a(a≠1)，首项为b的等比数列，Sn是前n项和，对任意的n∈N＋ ，点(Sn ，Sn+1)在
A．直线y＝ax－b上 B．直线y＝bx＋a上
C．直线y＝bx－a上 D．直线y＝ax＋b上
8．数列{an}中，a1＝1，Sn是前n项和，当n≥2 时，an＝3Sn，则的值是
A．－2 B．－ C．－ D．1
9．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数(参考数据1.14＝1.46，1.15＝1.61)
A．10% B．16．5% C．16．8% D．20%
10．已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的数列，则“a1＋a8
0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．
⑴求数列{an}与{bn}的通项公式．
⑵设数列{cn}对任意正整数n，均有，求c1＋c2＋c3
＋…＋c2004的值．
17．（本小题满分12分）
已知f(x＋1)＝x2－4，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－ ，a3＝f(x)．求：
⑴x的值；
⑵数列{an}的通项公式an；
⑶a2＋a5＋a8＋…＋a26．
18．（本小题满分14分）
正数数列{an}的前n项和为Sn，且2．
(1) 试求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<．
19．(本小题满分14分)
已知函数f(x)定义在区间（－1，1）上，f()＝－1，且当x，y∈(－1，1)时，恒有
f(x)－f(y)＝f()，又数列{an}满足a1＝，an+1＝，设bn＝．
⑴证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数；
⑵求f(an)的表达式；
⑶是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有bn <成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
20．（2005年湖南理科高考题14分）
自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N＊，且x1>0．不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．
⑴求xn＋1与xn的关系式；
⑵猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
⑶设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn>0，n∈N＊，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论．
21．（本小题满分14分）
已知函数f(t)满足对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1，且f(－2)＝ －2．
⑴求f(1)的值；
⑵证明：对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t;
⑶试求满足f(t)＝t的整数t的个数，并说明理由．
数列参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
题次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
B
B
A
D
C
B
B
提示：
2．∵Sn＝324 Sn－6＝144，∴Sn－Sn－6＝an＋5＋an－4＋…＋an＝180 又∵S6＝a1＋a2
＋…＋a6＝36 a1＋an＝a2＋an－1＝…＝a6＋an－5，∴6(a1＋an)＝36＋180＝216a1＋an＝36，由，有：n＝18 ∴选D
3．∵S4＝1 S8＝3 ∴S8－S4＝2，而等比数列依次K项和为等比数列，a17＋a18＋a19＋a10＝(a1＋a2＋a3＋a4)·25－1＝16，故选B．
4．∵
7．∵ ∴
故点在直线y＝ax＋b上，选D．
9．设现在总台数为b，2003年更新a台，则：b＝a＋a(1＋10%)＋……＋a(1＋10%)4．
∴
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．∵n＋2＝2k，由n＝2k－2∈(1，2004)有2≤k≤10(k∈Z)．故所有劣数的和为（22＋23＋……＋210）－2×9＝－18＝2026．
12．令n＝6得 故各元素之和为
13．设抽取的是第n项．∵S11＝55，S11－an＝40，∴an＝15，又∵S11＝11a6 a6＝5．由a1＝－5，得d＝，令15＝－5＋（n－1）×2，∴n＝11
14．设x＝a＋b＋c，则b＋c－a＝xq，c＋a－b＝xq2，a＋b－c＝xq3，∴xq＋xq2＋xq3＝x(x≠0) ∴q3＋q2＋q＝1．
15．
三、解答题（共80分）
16．⑴由题意得（a1＋d）(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d>0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝3n－1．
⑵当n＝1时，c1＝3 当n≥2时，∵∴ 故
17．⑴∵f(x＋1)＝(x＋1－1)2－4，∴f(x)＝(x－1)2－4
∴a1＝f(x－1)＝(x－2)2－4，a3＝(x－1)2－4．
又a1＋a3＝2a2，∴x＝0，或x＝3．
（2）由（1）知a1，a2，a3分别是0，－ ，－3或－3，－ ，0．
∴
（3）当时，
当时，
18．（1）∵an>0，，∴，则当n≥2时，
即，而an>0，∴
又
（2）
19．（1）令x＝y＝0，则f(0)＝0，再令x＝0，得f(0)－f(y)＝f(－y)，
∴f(－y)＝－f(y)，y∈(－1，1)，∴f(x)在（－1，1）上为奇函数．
（2）
，即
∴{f(an)}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f(an)＝－2n－1．
（3）．
若恒成立（n∈N＋），则
∵n∈N＋，∴当n＝1时，有最大值4，故m>4．又∵m∈N，∴存在m＝5，使得对任意n∈N＋，有．
20． (2005年湖南高考题20题)
解：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，所以a>b.
猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*
由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
00.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1．
21．（1）x＝y＝0得f(0)＝ －1，x＝y＝－1得f(－2)＝2f(－1)＋2，而f(－2)＝ －2，∴f(－1)＝－2，x＝1，y＝ －1得f(0)＝f(1)＋f(－1)，∴f(1)＝1
（2）x＝n，y＝1得f(n＋1)＝f(n)＋f(1)＋n＋1＝f(n)＋n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝n＋2，
∴当n∈N＋时，f(n)＝f(1)＋[3＋4＋…＋(n＋1)]＝
，而当n∈N＋，且n>1时，n2＋n－2>0，
∴f(n)>n，则对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t．
（3）∵y＝ －x时f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＋1－x2，∴f(x)＝x2－2－f(－x)，∵当x∈N＋时由（2）知，当x＝0时，f(0)＝ －1＝．适合 当x为负整数时，－x∈N＋，则
故对一切x∈Z时，有， ∴当t∈Z时，由f(t)＝t得t2＋t
－2＝0，即t＝1或t＝2．满足f(t)＝t的整数t有两个．
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