高考数学浙江版一轮配套讲义31导数
第三章 导 数
§3.1 导 数
考纲解读
考点
考纲内容
要求
浙江省五年高考统计
2013
2014
2015
2016
2017
1.导数的概念及其几何意义
1.了解导数概念的实际背景.
2.理解导数的几何意义.
理解
22(1),4分
8(文),5分
21(文),
约6分
03(2)
(自选),
5分
2.导数的运算
会用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数,并能求简单的复合函数的导数.
掌握
22(1),2分
22(2),2分
21(文),
约3分
22(1),7分
21(文),
约2分
03(2)
(自选),
约2分
20(1),
约6分
分析解读 1.导数是高考中的重要内容.导数的运算是高考命题的热点,是每年的必考内容.
2.本节主要考查导数的运算,导数的几何意义,考查函数与其导函数图象之间的关系.
3.预计2019年高考中,导数运算的考查必不可少,同时要注意对切线的考查,复习时应引起高度重视.
五年高考
考点一 导数的概念及其几何意义
1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3
答案 A
2.(2014课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 D
3.(2017课标全国Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为 .
答案 x-y+1=0
4.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为 .
答案 1
5.(2016课标全国Ⅲ,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 .
答案 y=-2x-1
6.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是 .
答案 -3
7.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 .
答案 (-ln2,2)
8.(2016浙江自选,“复数与导数”模块,03(2),5分)求曲线y=2x2-lnx在点(1,2)处的切线方程.
解析 因为(2x2-lnx)'=4x-,
所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为3.
因此,曲线在点(1,2)处的切线方程为y=3x-1.
9.(2013浙江,22,14分)已知a∈R,函数f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.
解析 (1)由题意得f'(x)=3x2-6x+3a,
故f'(1)=3a-3.
又f(1)=1,所以所求的切线方程为y=(3a-3)x-3a+4.
(2)由于f'(x)=3(x-1)2+3(a-1),0≤x≤2.
故(i)当a≤0时,有f'(x)≤0,此时f(x)在[0,2]上单调递减,
故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3-3a.
(ii)当a≥1时,有f'(x)≥0,此时f(x)在[0,2]上单调递增,
故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3a-1.
(iii)当0
0,f(x1)-f(x2)=4(1-a)·>0.
从而f(x1)>|f(x2)|.
所以|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}.
①当0|f(2)|.
又f(x1)-f(0)=2(1-a)-(2-3a)= >0,
故|f(x)|max=f(x1)=1+2(1-a).
②当≤a<1时,|f(2)|=f(2),且f(2)≥f(0).
又f(x1)-|f(2)|=2(1-a)-(3a-2)=,
所以当≤a<时,f(x1)>|f(2)|.
故f(x)max=f(x1)=1+2(1-a).
当≤a<1时,f(x1)≤|f(2)|.故f(x)max=|f(2)|=3a-1.
综上所述,|f(x)|max=
10.(2013浙江文,21,15分)已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.
解析 (1)当a=1时,f'(x)=6x2-12x+6,所以f'(2)=6.
又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.
(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.
f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).
令f'(x)=0,得到x1=1,x2=a.
当a>1时,
x
0
(0,1)
1
(1,a)
a
(a,2a)
2a
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
0
单调递增
极大值3a-1
单调递减
极小值a2(3-a)
单调递增
4a3
比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得
g(a)=
当a<-1时,
x
0
(0,1)
1
(1,-2a)
-2a
f'(x)
-
0
+
f(x)
0
单调递减
极小值
3a-1
单调递增
-28a3-24a2
得g(a)=3a-1.
综上所述,f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为
g(a)=
11.(2017北京文,20,13分)已知函数f(x)=excosx-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
解析 本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值.
(1)因为f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.
又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,
则h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.
当x∈时,h'(x)<0,
所以h(x)在区间上单调递减.
所以对任意x∈有h(x)0时,h(x)>0;
当x<0时,h(x)<0.
(1)当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sinx),
当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-a3-sina,
当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.
(2)当a=0时,g'(x)=x(x-sinx),
当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增;
所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.
(3)当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sinx),
当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;
当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-a3-sina.
综上所述:
当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=-a3-sina,极小值是g(0)=-a;
当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;
当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-a3-sina.
教师用书专用(13—19)
13.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 .
答案 (1,1)
14.(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .
答案 8
15.(2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为 .
答案 5x+y-3=0
16.(2017山东,20,13分)已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2),其中e=2.71828…是自然对数的底数.
(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;
(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
解析 本题考查导数的几何意义和极值.
(1)由题意知,f(π)=π2-2,
又f'(x)=2x-2sinx,
所以f'(π)=2π,
因此曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y-(π2-2)=2π(x-π),即y=2πx-π2-2.
(2)由题意得h(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx),
因为h'(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+ex(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)
=2ex(x-sinx)-2a(x-sinx)
=2(ex-a)(x-sinx),
令m(x)=x-sinx,则m'(x)=1-cosx≥0,
所以m(x)在R上单调递增.
因为m(0)=0,
所以当x>0时,m(x)>0;当x<0时,m(x)<0.
(i)当a≤0时,ex-a>0,
当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;
(ii)当a>0时,h'(x)=2(ex-elna)(x-sinx),
由h'(x)=0得x1=lna,x2=0.
①当00,h(x)单调递增;
当x∈(lna,0)时,ex-elna>0,h'(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,ex-elna>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.
所以当x=lna时h(x)取到极大值,
极大值为h(lna)=-a[(lna)2-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2],
当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;
②当a=1时,lna=0,
所以当x∈(-∞,+∞)时,h'(x)≥0,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;
③当a>1时,lna>0,
所以当x∈(-∞,0)时,ex-elna<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈(0,lna)时,ex-elna<0,h'(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(lna,+∞)时,ex-elna>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.
所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;
当x=lna时h(x)取到极小值,
极小值是h(lna)=-a[(lna)2-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
综上所述:
当a≤0时,h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;
当01时,函数h(x)在(-∞,0)和(lna,+∞)上单调递增,
在(0,lna)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,
极大值是h(0)=-2a-1,
极小值是h(lna)=-a[(lna)2-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
17.(2013湖南,22,13分)已知a>0,函数f(x)=.
(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;
(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解析 (1)当0≤x≤a时,f(x)=;当x>a时,f(x)=.因此,当x∈(0,a)时,f'(x)=<0,f(x)
在(0,a)上单调递减;
当x∈(a,+∞)时,f'(x)=>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.
①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=.
②若0
==.
所以Tn>×××…×=.
综上可得对任意的n∈N*,均有Tn≥.
19.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.
(1)求L的方程;
(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.
解析 (1)设f(x)=,则f'(x)=.
所以f'(1)=1.
所以L的方程为y=x-1.
(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f'(x)=.
当01时,x2-1>0,lnx>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.
所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).
所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
考点二 导数的运算
1.(2014大纲全国,7,5分)曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A.2e B.e
C.2 D.1
答案 C
2.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f'(1)= .
答案 2
3.(2017浙江,20,15分)已知函数f(x)=(x-)e-x.
(1)求f(x)的导函数;
(2)求f(x)在区间上的取值范围.
解析 本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能力.
(1)因为(x-)'=1-,(e-x)'=-e-x,
所以f'(x)=e-x-(x-)e-x
=.
(2)由f'(x)==0,解得x=1或x=.
因为
x
1
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
0
↗
↘
又f(x)=(-1)2e-x≥0,
所以f(x)在区间上的取值范围是.
4.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间.
解析 (1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f'(x)=(1-x)ea-x+b.
依题设,知即
解得a=2,b=e.
(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.
由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+ex-1同号.
令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.
所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,
从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).
综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 导数的概念及其几何意义
1.(2018浙江镇海中学12月测试,2)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
答案 A
2.(2017浙江测试卷,4)已知直线y=ax是曲线y=lnx的切线,则实数a=( )
A. B. C. D.
答案 C
3.(2017浙江衢州质量检测(1月),14)已知函数f(x)=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1,则实数a= ,此时函数y=f(x)在[0,1]最小值为 .
答案 -;
4.(2017浙江台州质量评估,20)已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R).
(1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;
(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a表示).
解析 (1)当a=1,x<1时,f(x)=x3+1-x,f'(x)=3x2-1,
所以f(0)=1,f'(0)=-1,
所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1.
(2)当a∈(0,1)时,由已知得f(x)=
当a≤x≤1时,由f'(x)=3x2+1>0,知f(x)在(a,1)上是单调递增的.
当-1≤x0,得x<1,所以m(x)在上单调递增,
在(1,+∞)上单调递减,所以m(x)max=m(1)=0,(13分)
所以g'(x)≤0,所以g(x)在定义域上单调递减,所以g(x)max=g=ln,所以a≥ln.(15分)
3.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,20)已知函数f(x)=+alnx(a>0).
(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=-x平行,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若对任意x∈(0,+∞),都有f(x)>0成立,试求实数a的取值范围;
(3)记g(x)=f(x)+2x-b(b∈R),当a=1时,函数g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围.
解析 (1)直线y=-x的斜率为-1.
函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-+,
所以f'(1)=-3+a=-1,解得a=2,(3分)
所以f(x)=+2lnx,f'(x)=.
由f'(x)>0,得x>;由f'(x)<0,得00),
由f'(x)>0,得x>,由f'(x)<0,得00成立,∴f>0,
即a+aln>0,(9分)
又a>0,∴ln>-1,得00),
g'(x)==,
由g'(x)>0,得x>1,由g'(x)<0,得00,
∴50),
由题知,f'(1)=1,解得a=0.
(2)令f'(x0)=0,则2-ax0-1=0,
解得x0=,且2-1=ax0.
可知f(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,
则H=f(x)极小值=f(x0)=-ax0-lnx0=-+1-lnx0.
记g(a)=(a≥-1),
当a≥0时,g(a)为增函数;
当-1≤a<0时,g(a)=,此时g(a)为增函数,
故x0≥g(-1)=.
设y=-x2+1-lnx.
易知,函数y=-x2+1-lnx在上为减函数,
所以H的最大值为+ln2.
5.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,20)已知函数f(x)=2alnx+x2-(a+2)x,a∈R.
(1)当a=时,求曲线y=f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值.
解析 (1)当a=时,f(x)=lnx+x2-x,
所以f(1)=-2.
又f'(x)=+x-,所以f'(1)=-.
由点斜式得所求切线方程为y=-x-.
(2)f'(x)=+x-(a+2)==,
因为x∈[1,2],所以有
①当a≥2时,函数f(x)在区间[1,2]上为增函数.
此时f(x)max=f(2)=2aln2-2a-2.
②当1≤a<2时,函数f(x)在区间[1,a]上为增函数,在区间[a,2]上为减函数.
此时f(x)max=f(a)=2alna-a2-2a.
③当a<1时,函数f(x)在区间[1,2]上为减函数.
此时f(x)max=f(1)=-a-.
故函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为
f(x)max=
6.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,20)已知函数f(x)=lnx-+1.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当x∈(0,1)时,函数g(x)=af(x)-x2在x=m处取得极大值,求实数a的取值范围.
解析 (1)由f'(x)=+,得f'(1)=3.
又f(1)=-1,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x-4.
(2)g(x)=a-x2,
∴g'(x)=+-x=-(x>0),
∵g(x)在x=m处取得极大值,∴g'(m)=0,
∴m3-2am-4a=0,即a=(00.
∴h(m)在(0,1)上单调递增,∴00时,f(x)在(-∞,-2a)上单调递增,在(-2a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)设切点坐标为(t,f(t)),则过该点的切线方程为y-f(t)=f'(t)(x-t).易知该直线经过点(1,0),则有-f(t)=f'(t)(1-t),即t[2t2+(3a-3)t-6a]=0,
由题可知,上述方程有三个互不相等的实根,即2t2+(3a-3)t-6a=0有两个互不相等的非零实根,所以有
解得
所以a的取值范围是(-∞,-3)∪∪(0,+∞).
3.(2017浙江镇海中学模拟卷四,20)已知函数f(x)=ax2-lnx(其中a为正常数).
(1)当a=时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)试求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
解析 (1)当a=时,f(x)=x2-lnx,则f'(x)=x-=,所以f'(2)=,且f(2)=2-ln2,
因此曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(2-ln2)=(x-2),即y=x-(1+ln2).(6分)
(2)f'(x)=2ax-=,其中x>0,
因此,f(x)在上单调递减,在上单调递增. (8分)
当≤1,即a≥时,f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=a;(10分)
当≥2,即0
查看更多