高考数学冲刺复习资料共分五大专题

高考数学冲刺复习资料共分五大专题

2010 年高考数学冲刺复习资料 专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略 【命题趋向】 三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题的第一个试题位置上， 其难度中等偏下，分值一般为 12 分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的 向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点.如 08 年安徽理科第 5 题(5 分)，考查三角函数的对称性与向量平移、08 年山东文第 8 题理第 15 题(5 分)考查 两角和与差与向量垂直、08 福建文理第 17 题(12 分)考查三角函数的求值与向量积、07 的天津文理第 15 题(4 分)考查正余弦定理与向量数量积等.根据 2009 年考纲预计在 09 年高考中解答题仍会涉及三角函数的 基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要 条件条件．主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式， 再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识 建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角 变换公式与正余弦定理交织在一起. 【考试要求】 1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基 本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义． 2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． 4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(ωx+φ)的简图，理解 A，ω，φ的物理意义． 5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． 6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． 7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． 8．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直 的问题，掌握向量垂直的条件． 9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公 式． 【考点透视】 向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运 算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量的函数，函数值体现为实 数，因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考 题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下： 1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题. 2．考查三角函数的性质与图像，特别是 y=Asin(x+)的性质和图像及其图像变换. 3．考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有 关长度、夹角、垂直、平行问题等. 4．考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算. 5．考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问 题. 6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题. 【典例分析】 题型一 三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是 一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1) 平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标. 【例 1】 把函数 y＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－ 6 ，－3)平移后，得到函数 y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞ 0，||＝ 2)的图象，则和 B 的值依次为 （ ） A． 12 ，－3 B． 3 ，3 C． 3 ，－3 D．－  12 ，3 【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为 x＝x＋ 6 y＝y＋3 ，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标 得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择. 【解析 1】 由平移向量知向量平移公式 x＝x－ 6 y＝y－3 ，即 x＝x＋ 6 y＝y＋3 ，代入 y＝sin2x 得 y＋3＝sin2(x＋ 6)， 即到 y＝sin(2x＋π 3 )－3，由此知＝ 3 ，B＝－3，故选 C. 【解析 2】 由向量→a ＝(－ 6 ，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移 6 个单 位，再向下平移 3 个单位，由此可得函数的图象为 y＝sin2(x＋ 6)－3，即 y＝sin(2x＋π 3 )－3，由此知＝ 3 ， B＝－3，故选 C. 【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的 综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向 及平移的大小. 题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数 的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有 利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查. 【例 2】 已知 A、B、C 为三个锐角，且 A＋B＋C＝π.若向量→p ＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角 A； （Ⅱ）求函数 y＝2sin2B＋cos C－3B 2 的最大值. 【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得 A 角的正弦值，再根据角的 范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及 A、B、C 三个角的关系，结合三角民恒等 变换公式将函数转化为关于角 B 的表达式，再根据 B 的范围求最值. 【解】 （Ⅰ）∵→p 、→q 共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则 sin2A＝3 4 ， 又 A 为锐角，所以 sinA＝ 3 2 ，则 A＝ 3. （Ⅱ）y＝2sin2B＋cosC－3B 2 ＝2sin2B＋cos (π－ 3 －B)－3B 2 ＝2sin2B＋cos( 3 －2B)＝1－cos2B＋1 2cos2B＋ 3 2 sin2B ＝ 3 2 sin2B－1 2 cos2B＋1＝sin(2B－ 6)＋1. ∵B∈(0， 2)，∴2B－ 6 ∈(－ 6 ，5 6 )，∴2B－ 6 ＝ 2 ，解得 B＝ 3 ，ymax＝2. 【点评】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解 答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定 B 角的 范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了. 题型三 三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件 将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思 想、转化的思想等. 【例 3】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3 2 ，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求 tanα的值； （Ⅱ）求 cos(α 2 ＋ 3)的值． 【分析】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系 可求得 tanα的值；第(Ⅱ)小题根据所求得的 tanα的结果，利用二倍角公式求得 tan α 2 的值，再利用两角和与 差的三角公式求得最后的结果． 【解】 （Ⅰ）∵→a ⊥→b ，∴→a ·→b ＝0．而→a ＝（3sinα，cosα），→b ＝(2sinα, 5sinα－4cosα)， 故→a ·→b ＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0． 由于 cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得 tanα＝－4 3 ，或 tanα＝1 2 ． ∵α∈（3 2 ，2π），tanα＜0，故 tanα＝1 2 （舍去）．∴tanα＝－4 3 ． （Ⅱ）∵α∈（3 2 ，2π），∴α 2 ∈（3 4 ，π）． 由 tanα＝－4 3 ，求得 tanα 2 ＝－1 2 ，tanα 2 ＝2（舍去）．∴sinα 2 ＝ 5 5 ，cosα 2 ＝－2 5 5 ， ∴cos(α 2 ＋ 3)＝cosα 2cos 3 －sinα 2sin 3 ＝－2 5 5 ×1 2 － 5 5 × 3 2 ＝－2 5＋ 15 10 【点评】 本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差 的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定 角的范围的重要性.同时还可以看到第（Ⅰ）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题 中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法. 题型四 三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质|→a |2＝→a 2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先 进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运 算进行求解. 【例 3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2 5 5.(Ⅰ)求 cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－ 2 ＜β＜0＜α＜ 2 ，且 sinβ＝－ 5 13 ，求 sinα的值. 【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α －β)＋β，然后就须求 sin(α－β)与 cosβ即可. 【解】 (Ⅰ)∵|→a －→b |＝2 5 5，∴→a 2－2→a ·→b ＋→b 2＝4 5 ， 将向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)代入上式得 12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝4 5 ，∴cos(α－β)＝－3 5 . (Ⅱ)∵－ 2 ＜β＜0＜α＜ 2 ，∴0＜α－β＜π， 由 cos(α－β)＝－3 5 ，得 sin(α－β)＝4 5 ， 又 sinβ＝－ 5 13 ，∴cosβ＝12 13 ， ∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝33 65 . 点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中 要注意两点：(1)化|→a －→b |为向量运算|→a －→b |2＝(→a －→b )2；(2)注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程 的思想及转化的思想. 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角 交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解. 【例 5】 设函数 f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m，cosx)，→b ＝(1＋sinx，1)，x∈R，且 f( 2)＝2.（Ⅰ）求实 数 m 的值；（Ⅱ）求函数 f(x)的最小值. 分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关 系”，从而，建立函数 f(x)关系式，第（Ⅰ）小题直接利用条件 f( 2)＝2 可以求得，而第(Ⅱ)小题利用三角函 数函数的有界性就可以求解. 解：（Ⅰ）f(x)＝→a ·→b ＝m(1＋sinx)＋cosx， 由 f( 2)＝2，得 m(1＋sin 2)＋cos 2 ＝2，解得 m＝1. 2 (Ⅱ)由（Ⅰ）得 f(x)＝sinx＋cosx＋1＝ 2sin(x＋ 4)＋1， 当 sin(x＋ 4)＝－1 时，f(x)的最小值为 1－ 2. 点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数 进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件 转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解． 六、解斜三角形与向量的综合 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量 有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求 根据向量的关系解答相关的问题. 【例 6】 已知角 A、B、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为 a、b、c，若→m＝(－cosA 2 ，sinA 2 )，→n ＝ (cosA 2 ，sinA 2 )，a＝2 3，且→m·→n ＝1 2 ． （Ⅰ）若△ABC 的面积 S＝ 3，求 b＋c 的值． （Ⅱ）求 b＋c 的取值范围． 【分析】 第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角 A 的三角函数方程，再利用二倍角公式求得 A 角， 然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于 b、c 的方程组求取 b＋c 的值；第(Ⅱ)小题正弦定理及三 角形内角和定理建立关于 B 的三角函数式，进而求得 b＋c 的范围. 【解】 （Ⅰ）∵→m＝(－cosA 2 ，sinA 2 )，→n ＝(cosA 2 ，sinA 2 )，且→m·→n ＝1 2 ， ∴－cos2A 2 ＋sin2A 2 ＝1 2 ，即－cosA＝1 2 ， 又 A∈(0，π)，∴A＝2 3 . 又由 S△ABC＝1 2bcsinA＝ 3，所以 bc＝4， 由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos2 3 ＝b2＋c2＋bc，∴16＝(b＋c)2，故 b＋c＝4. （Ⅱ）由正弦定理得： b sinB ＝ c sinC ＝ a sinA ＝ 2 3 sin2 3 ＝4，又 B＋C＝－A＝ 3 ， ∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin( 3 －B)＝4sin(B＋ 3)， ∵0＜B＜ 3 ，则 3 ＜B＋ 3 ＜2 3 ，则 3 2 ＜sin(B＋ 3)≤1，即 b＋c 的取值范围是2 3，4. [点评] 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面 积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第(Ⅰ)小题中求 b＋c 没有利用分别求出 b、c 的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第(Ⅱ)小题的求解中特别要注意确定角 B 的 范围. 【专题训练】 一、选择题 1．已知→a ＝(cos40，sin40)，→b ＝(cos20，sin20)，则→a ·→b ＝ （ ） A．1 B． 3 2 C．1 2 D． 2 2 2．将函数 y＝2sin2x－π 2 的图象按向量(π 2 ，π 2)平移后得到图象对应的解析式是 （ ） A．2cos2x B．－2cos2x C．2sin2x D．－2sin2x 3．已知△ABC 中，AB→＝ a→，AC→＝ b→，若 a→· b→＜0，则△ABC 是 （ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．任意三角形 4．设→a ＝(3 2,sin)，→b ＝(cos,1 3)，且→a ∥→b ，则锐角为 （ ） A．30 B．45 C．60 D．75 5．已知→a ＝(sinθ， 1＋cosθ)，→b ＝(1， 1－cosθ)，其中θ∈(π，3 2 )，则一定有 （ ） A．→a ∥→b B．→a ⊥→b C．→a 与→b 夹角为 45°D．|→a |＝|→b | 6．已知向量 a→＝(6，－4)， b→＝(0，2), c→＝ a→＋ b→，若 C 点在函数 y＝sin π 12 x 的图象上,实数＝ （ ） A．5 2 B．3 2 C．－5 2 D．－3 2 7．由向量把函数 y＝sin(x＋5 6 )的图象按向量→a ＝(m，0)(m＞0)平移所得的图象关于 y 轴对称，则 m 的最 小值为 （ ） A． 6 B． 3 C．2 3 D．5 6 8．设 0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1 → ＝(cosθ，sinθ)，OP2 → ＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2 → 长度的最大值是 （ ） A． 2 B． 3 C．3 2 D．2 3 9．若向量→a ＝(cos,sin)，→b ＝(cos,sin)，则→a 与→b 一定满足 （ ） A．→a 与→b 的夹角等于－ B．→a ⊥→b C．→a ∥→b D．(→a ＋→b )⊥(→a －→b ) 10．已知向量→a ＝(cos25,sin25)，→b ＝(sin20,cos20)，若 t 是实数，且→u ＝→a ＋t→b ，则|→u |的最小值为 （ ） A． 2 B．1 C． 2 2 D．1 2 11．O 是平面上一定点，A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点，一动点 P 满足：→OP＝ →OA＋(→AB＋→AC)，∈(0, ＋∞)，则直线 AP 一定通过△ABC 的 （ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 12．对于非零向量→a 我们可以用它与直角坐标轴的夹角,(0≤≤,0≤≤)来表示它的方向，称,为非零向 2 量→a 的方向角，称 cos,cos为向量→a 的方向余弦，则 cos2＋cos2＝（ ） A．1 B． 3 2 C．1 2 D．0 二、填空题 13．已知向量→m＝(sin，2cos)，→n ＝( 3,－1 2 ).若→m∥→n ，则 sin2的值为____________． 14．已知在△OAB(O 为原点)中，→OA＝(2cos，2sin)，→OB＝(5cos，5sin)，若→OA·→OB＝－5，则 S△AOB 的值 为_____________. 15．将函数 f(x)＝tan(2x＋ 3)＋1 按向量 a 平移得到奇函数 g(x)，要使|a|最小，则 a＝ ____________. 16．已知向量→m＝(1，1)向量→n 与向量→m夹角为3π 4 ，且→m·→n ＝－1.则向量→n ＝__________． 三、解答题 17．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若→AB·→AC＝→BA·→BC＝k(k∈R). （Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若 c＝ 2，求 k 的值． 18．已知向量→m＝(sinA,cosA)，→n ＝( 3,－1)，→m·→n ＝1，且 A 为锐角.(Ⅰ)求角 A 的大小；(Ⅱ)求函数 f(x)＝ cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域． 19．在△ABC 中，A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，已知向量→m＝(1，2sinA)，→n ＝(sinA，1＋cosA)， 满足→m∥→n ，b＋c＝ 3a.(Ⅰ)求 A 的大小；(Ⅱ)求 sin(B＋ 6)的值． 20．已知 A、B、C 的坐标分别为 A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）. （Ⅰ）若α∈(－π，0)，且|→AC|＝|→BC|，求角α的大小； （Ⅱ）若→AC⊥→BC，求2sin2α＋sin2α 1＋tanα 的值． 21．△ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，→m＝(2b－c，a)，→n ＝(cosA，－cosC)，且→m⊥→n ． (Ⅰ)求角 A 的大小； (Ⅱ)当 y＝2sin2B＋sin(2B＋ 6)取最大值时，求角 B 的大小. 22．已知→a ＝(cosx＋sinx，sinx)，→b ＝(cosx－sinx，2cosx)， （Ⅰ）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行； （Ⅱ）若 f(x)＝→a ·→b ，且 x∈[－ 4, 4]时，求函数 f(x)的最大值及最小值． 【专题训练】参考答案 一、选择题 1．B 解析：由数量积的坐标表示知→a ·→b ＝cos40sin20＋sin40cos20＝sin60＝ 3 2 . 2．D 【解析】y＝2sin2x－π 2 →y＝2sin2（x＋ 2 ）－π 2 ＋π 2 ，即 y＝－2sin2x. 3．A 【解析】因为 cos∠BAC＝ AB→·AC→ |AB→|·|AC→| ＝ a→· b→ | a→|·| b→| ＜0，∴∠BAC 为钝角. 4．B 【解析】由平行的充要条件得3 2 ×1 3 －sincos＝0，sin2＝1，2＝90，＝45. 5．B 【解析】→a ·→b ＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，3 2 )，∴|sinθ|＝－sinθ，∴→a ·→b ＝0，∴→a ⊥→b ． 6．A 【解析】 c→＝ a→＋ b→＝(6，－4＋2)，代入 y＝sin π 12 x 得，－4＋2＝sin 2 ＝1，解得 ＝5 2 . 7．B 【解析】考虑把函数 y＝sin(x＋5 6 )的图象变换为 y＝cosx 的图象，而 y＝sin(x＋5 6 )＝cos(x＋ 3)，即 把 y＝cos(x＋ 3)的图象变换为 y＝cosx 的图象，只须向右平行 3 个单位，所以 m＝ 3 ，故选 B. 8．C 【解析】|P1P2 →|＝ (2＋sinθ－cosθ)2＋(2－cosθ－sinθ)2＝ 10－8cosθ≤3 2. 9．D 【解析】→a ＋→b ＝(cos＋cos,sin＋sin)，→a －→b ＝(cos＋cos,sin－sin)，∴(→a ＋→b )·(→a －→b ) ＝cos2－cos2＋sin2－sin2＝0，∴(→a ＋→b )⊥(→a －→b )． 10．C 【解析】|→u |2＝|→a |2＋t2|→b |2＋2t→a ·→b ＝1＋t2＋2t(sin20cos25＋cos20sin25)＝t2＋ 2t＋1＝(t ＋ 2 2 )2＋1 2 ，|→u |2 min＝1 2 ，∴|→u |min＝ 2 2 . 11．C 【解析】设 BC 的中点为 D，则→AB＋→AC＝2→AD，又由→OP＝ →OA＋(→AB＋→AC)，→AP＝2 →AD，所以→AP与→AD 共线，即有直线 AP 与直线 AD 重合，即直线 AP 一定通过△ABC 的重心． 12．A 【解析】设→a ＝(x,y)，x 轴、y 轴、z 轴方向的单位向量分别为→i ＝(1,0)，→j ＝(0,1)，由向量知识得 cos＝ →i ·→a |→i |·|→a | ＝ x x2＋y2 ，cos＝ →j ·→a |→j |·|→a | ＝ y x2＋y2 ，则 cos2＋cos2＝1. 二、填空题 13．－8 3 49 【解析】由→m∥→n ，得－1 2 sin＝2 3cos,∴tan＝－4 3，∴sin2＝ 2sincos sin2＋cos2 ＝ 2tan tan2＋1 ＝ －8 3 49 ． 14．5 3 2 【解析】→OA·→OB＝－510coscos＋10sinsin＝－510cos(－)＝－5cos(－)＝－1 2 ， ∴sin∠AOB＝ 3 2 ，又|→OA|＝2，|→OB|＝5，∴S△AOB＝1 2 ×2×5× 3 2 ＝5 3 2 ． 15．（ 6 ，－1） 【解析】要经过平移得到奇函数 g(x)，应将函数 f(x)＝tan(2x＋ 3)＋1 的图象向下平移 1 个 单位，再向右平移－kπ 2 ＋ 6(k∈Z)个单位．即应按照向量→a ＝(－kπ 2 ＋ 6 ，－1) (k∈Z)进行平移．要使|a| 最小， 16．(－1，0)或(0，－1) 【解析】设→n ＝(x，y)，由→m·→n ＝－1，有 x＋y＝－1 ①，由→m与→n 夹角为3π 4 ， 有→m·→n ＝|→m |·|→n |cos3π 4 ，∴|→n |＝1，则 x2＋y2＝1 ②，由①②解得 x=﹣1 y=0 或 x＝0 y＝－1 ∴即→n ＝(－1， 0)或→n ＝(0，－1) ． 三、解答题 17．【解】（Ⅰ）∵→AB·→AC＝bccosA，→BA·→BC＝cacosB， 又→AB·→AC＝→BA·→BC，∴bccosA＝cacosB， ∴由正弦定理，得 sinBcosA＝sinAcosB，即 sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0 ∵－π＜A－B＜π，∴A－B＝0，即 A＝B，∴△ABC 为等腰三角形. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ba  ，∴→AB·→AC＝bccosA＝bc·b2＋c2－a2 2bc ＝c2 2 ， ∵c＝ 2，∴k＝1. 18．【解】(Ⅰ)由题意得→m·→n ＝ 3sinA－cosA＝1，2sin(A－ 6)＝1，sin(A－ 6)＝1 2 ， 由 A 为锐角得 A－ 6 ＝ 6 ，A＝ 3. (Ⅱ)由（Ⅰ）知 cosA＝1 2 ，所以 f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－1 2)2＋3 2 ， 因为 x∈R，所以 sinx∈[－1,1]，因此，当 sinx＝1 2 时，f(x)有最大值3 2 ． 当 sinx＝－1 时，f(x)有最小值－3，所以所求函数 f(x)的值域是[－3，3 2]． 19．【解】(Ⅰ)由→m∥→n ，得 2sin2A－1－cosA＝0，即 2cos2A＋cosA－1＝0，∴cosA＝1 2 或 cosA＝－1. ∵A 是△ABC 内角，cosA＝－1 舍去，∴A＝ 3. (Ⅱ)∵b＋c＝ 3a，由正弦定理，sinB＋sinC＝ 3sinA＝3 2 ， ∵B＋C＝2 3 ，sinB＋sin(2 3 －B)＝3 2 ， ∴ 3 2 cosB＋3 2 sinB＝3 2 ，即 sin(B＋ 6)＝ 3 2 ． 20．【解】（Ⅰ）由已知得： (3cosα－4)2＋9sin2α＝ 9cos2α＋(3sinα－4) 2，则 sinα＝cosα， 因为α∈(－π，0)，∴α＝－3 4 . （Ⅱ）由(3cosα－4)·3cosα＋3sinα·(3sinα－4)＝0，得 sinα＋cosα＝3 4 ，平方，得 sin2α＝－ 7 16. 而2sin2α＋sin2α 1＋tanα ＝2sin2αcosα＋2sinαcos2α sinα＋cosα ＝2sinαcosα＝sin2α＝－ 7 16 ． 21．【解】(Ⅰ)由→m⊥→n ，得→m·→n ＝0，从而(2b－c)cosA－acosC＝0， 由正弦定理得 2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0 ∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0， ∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝1 2 ，故 A＝ 3. (Ⅱ)y＝2sin2B＋2sin(2B＋ 6)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos 6 ＋cos2Bsin 6 ＝1＋ 3 2 sin2B－1 2 cos2B＝1＋sin(2B－ 6). 由(Ⅰ)得，0＜B＜2 3 ，－ 6 ＜2B－ 6 ＜7 6 ， ∴当 2B－ 6 ＝ 2 ，即 B＝ 3 时，y 取最大值 2. 22．【解】（Ⅰ）假设→a ∥→b ，则 2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0， ∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，2·1＋cos2x 2 ＋1 2 sin2x＋1－cos2x 2 ＝0， 即 sin2x＋cos2x＝－3， ∴ 2(sin2x＋ 4)＝－3，与| 2(sin2x＋ 4)|≤ 2矛盾， 故向量→a 与向量→b 不可能平行． （Ⅱ）∵f(x)＝→a ·→b ＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx ＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x ＝ 2( 2 2 cos2x＋ 2 2 sin2x)＝ 2(sin2x＋ 4)， ∵－ 4≤x≤ 4 ，∴－ 4≤2x＋ 4≤3 4 ，∴当 2x＋ 4 ＝ 2 ，即 x＝ 8 时，f(x)有最大值 2； 当 2x＋ 4 ＝－ 4 ，即 x＝－ 4 时，f(x)有最小值－1． 专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略 【命题趋向】 函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的 内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都 有试题，分值 26 分左右，如 08 年福建文 11 题理 12 题(5 分)为容易题，考查函数与导函数图象之间的关 系、08 年江苏 14 题(5 分)为容易题，考查函数值恒成立与导数研究单调性、08 年北京文 17 题(12 分)为中 档题考查函数单调性、奇偶性与导数的交汇、08 年湖北理 20 题(12 分)为中档题，考查利用导数解决函数 应用题、08 年辽宁理 22 题(12 分)为中档题，考查函数利用导数确定函数极值与单调性问题等.预测 2009 年关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，既有基本题也有综合题，函数与导数的交汇的考查既有 基本题也有综合题，基本题以考查基本概念与运算为主，考查函数的基础知识及函数性质及图象为主，同 时考查导数的相关知识，知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数综合题.主要题型：(1)利用导数研 究函数的单调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函 数，再利用导数进行求解. 【考试要求】 1．了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． 2．了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． 3．掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图象和性质． 4．掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． 5．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 6．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点 处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 7．熟记基本导数公式（c，xm（m 为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax 的导数）；掌握两个函数 和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 8．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导 数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【考点透视】 高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点： （1）考查利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值）； （2）考查原函数与导函数之间的关系； （3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：①以 填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；②与导数的几何意 义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题；③利用导 数求实际应用问题中最值，为中档偏难题. 【典例分析】 题型一 导函数与原函数图象之间的关系 如果原函数定义域内可导，则原函数的图象 f(x)与其导函数 f(x)的图象有密切的关系： 1．导函数 f(x)在 x 轴上、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系： （1）若导函数 f(x)在区间 D 上恒有 f(x)＞0，则 f(x)在区间 D 上为增函数，由此进一步得到导函数 f(x) 图象在 x 轴上方的图象对应的区间 D 为原函数图象中的上升区间 D； （2）若导函数 f(x)在区间 D 上恒有 f(x)＜0，则 f(x)在区间 D 上为减函数，由此进一步得到导函数 f(x) 图象在 x 轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间. 2．导函数 f(x)图象的零点与原函数图象的极值点对应关系：导函数 f(x)图象的零点是原函 数的极值点.如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极大值点； 如果在零点的左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数的极小值点. 【例 1】 如果函数 y＝f(x)的图象如右图，那么导函数 y＝f(x)的图象可能是 （ ） 【分析】 根据原函数 y＝f(x)的图象可知，f(x)有在两个上升区间，有两个下降区间，且第一个期间 的上升区间，然后相间出现，则反映在导函数图象上就是有两部分图象在 x 轴的上方，有两部分图象在 x 轴的下方，且第一部分在 x 轴上方，然后相间出现. 【解】 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有答案 A 满足. 【点评】 本题观察图象时主要从两个方面：(1)观察原函数 f(x)的图象哪些的上升区间？哪些下降区 间？；(2)观察导函数 f(x)的图象哪些区间在大于零的区间？哪些部分昌小于零的区间？ 【例 2】 设 f(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f(x)的图象如图所示，则 y＝f(x)的图象最有 可能是 （ ） 【分析】 先观察所给出的导函数 y＝f(x)的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结 合起来即可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数 y＝f(x)的图象零点 0、2 对应原函数的极大或极小 值点来判断图象. 【解法 1】 由 y＝f(x)的图象可以清晰地看出，当 x∈(0,2)时，y＝f(x)＜0，则 f(x)为减函数，只有 C 项符合，故选 C. 【解法 2】 在导函数 f(x)的图象中，零点 0 的左侧函数值为正，右侧为负，由可知原函数 f(x)在 x＝ 0 时取得极大值.又零点 2 的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数 f(x)在 x＝0 时取得极小值，只有 C 适合， 故选 C. 【点评】 (1)导函数值的符号决定函数的单调性为“正增、负减”，导函数的零点确定原函数的极值点； (2)导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势. 题型二 利用导数求解函数的单调性问题 若 f(x)在某区间上可导，则由 f(x)＞0(f(x)＜0)可推出 f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数 2 f(x)＝x3 在 R 上递增，而 f(x)≥0.f(x)在区间 D 内单调递增(减)的充要条件是 f(x0)≥0(≤0)，且 f(x)在(a，b)的任 意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2) 根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式 恒成立等问题. 【例 3】 (08 全国高考)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R．(Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函 数 f(x)在区间(－2 3 ，－1 3 )内是减函数，求 a 的取值范围． 【分析】 第（Ⅰ）小题先求导函数 f(x)，由于含有参数 a，根据判别式确定对 a 的分类标准，进而 确定单调区间；第（Ⅱ）小题根据第（Ⅰ）小题的结果，建立关于 a 的不等式组，由此可确定 a 的范围. 【解】 (Ⅰ)由 f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，求导得 f(x)＝3x2＋2ax＋1， 当 a2≤3 时，△＝4(a2－3)≤0，f(x)≥0，f(x)在 R 上递增， 当 a2＞3，f(x)＝求得两根为 x＝－a± a2－3 3 ，则 函数 f(x)在区间(－∞，－a－ a2－3 3 )上递增，在区间(－a－ a2－3 3 ，－a＋ a2－3 3 )上递减， 在区间(－a－ a2－3 3 ，＋∞)上递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 －a－ a2－3 3 ≤－2 3 －a＋ a2－3 3 ≥－1 3 ，且 a2＞3，解得 a≥2. 【点评】 本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数 a，因此解答第(Ⅰ)小题时注意分类讨论.第(Ⅱ)小题的解答是根据第(Ⅰ)小题的结果，利用集合集合间的关 系建立不等式来求解的.第(Ⅱ)小题还是利用函数在已知区间上减函数建立不等式 f(－2 3 )≤0 f(－1 3 )≤0来求解. 题型三 求函数的极值问题 极值点的导数一定为 0，但导数为 0 的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的 极值点只能在导数为 0 的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极 值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解. 【例 4】 (08·四川)设 x＝1 和 x＝2 是函数 f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1 的两个极值点.(Ⅰ)求 a 和 b 的值；(Ⅱ) 略. 【分析】 先求导函数 f(x)，然后由 x＝1 和 x＝2 是 f(x)＝0 的两个根建立关于 a、b 的方程组求解. 【解】 因为 f(x)＝5x4＋3ax2＋b， 由 x＝1 和 x＝2 是函数 f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1 的两个极值点，所以 f(1)＝0，且 f(2)＝0， 即 5×14＋3a×12＋b＝0 5×24＋3a×22＋b＝0，解得 a＝25 3 ，b＝20. 【点评】 解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系：对于三次函数极值点的导数一定为 0， 但导数为 0 的点不一定是极值点.本题解得充分利用上述关系，通过建立方程组求得了 a 和 b 的值. 【例 5】 (08 陕西高考)已知函数 f(x)＝kx＋1 x2＋c (c＞0，且 c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值 点，其中一个是 x＝－c．(Ⅰ)求函数 f(x)的另一个极值点；(Ⅱ)求函数 f(x)的极大值 M 和极小值 m，并求 M －m≥1 时 k 的取值范围． 【分析】 先求导函数 f(x)，然后令 f(－c)＝0 及一元二次方程根与系数的关系可解决第（Ⅰ）小题； 而解答第（Ⅱ）小题须对 k 与 c 进行分类讨论进行解答. 【解】 (Ⅰ)f(x)＝k(x2＋c)－2x(kx＋1) (x2＋c)2 ＝－kx2－2x＋ck (x2＋c)2 ， 由题意知 f(－c)＝0，即得 c2k－2c－ck＝0，即 c＝1＋2 k （*） ∵c≠0，∴k≠0．由 f(0)＝0，得－kx2－2x＋ck＝0， 由韦达定理知另一个极值点为 x＝1． (Ⅱ)由（*）式得 c＝1＋2 k ，当 c＞1 时，k＞0；当 0＜c＜1 时，k＜－2． (ⅰ)当 k＞0 时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是减函数，在(－c，1)内是增函数． f(1)＝k＋1 c＋1 ＝k 2 ＞0，m＝f(－c)＝－kc＋1 c2＋c ＝ －k2 2(k＋2) ＜0， 由 M－m＝k 2 ＋ k2 2(k＋2) ≥1 及 k＞0，解得 k≥ 2. (ⅱ)当 k＜－2 时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是增函数，在(－c，1)内是减函数． ∴M＝f(1)＝ －k2 2(k＋2) ＞0，m＝k＋1 c＋1 ＝k 2 ＜0，而 M－m＝ －k2 2(k＋2) －k 2 ＝1－(k＋1)2＋1 k＋2 ≥1 恒成立． 综上可知，所求 k 的取值范围为(－∞，－2)∪ 2，＋∞)． 【点拨】 第(Ⅰ)小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第(Ⅱ)小题的是与极值相关的解决 恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键. 题型四 求解函数的最值问题 函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间[a，b]上的端 点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是 极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要 题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题. 【例 6】 (08 浙江高考)已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a).(Ⅰ)略；（Ⅱ）求 f(x)在区间[0，2]上的最大 值. 【分析】 首先求函数 f(x)，再解方程 f(x)＝0，得两个根，而两根含有参数，但不知两根的大小，因 此须分类讨论讨论函数 f(x)的单调区间，进而确定 f(x)在给定区间上的最大值. 【解】 (Ⅱ)f(x)＝3x2－2ax．令 f(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝2a 3 ． 当2a 3 ≤0，即 a≤0 时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a． 当2a 3 ≥2，时，即 a≥3 时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而 f(x)max＝f(0)＝0． 当 0＜2a 3 ＜2，即 0＜a＜3，f(x)在[0，2a 3 ]上单调递减，在[2a 3 ，2]上单调递增， 从而 f(x)max＝ 8－4a 0＜a≤2 0 2＜a＜3， 综上所述，f(x)max＝ 8－4a a≤2 0 a＞2. 【点评】 本题由于函数解析式中含有参数，因此方程 f(x)＝0 的根含有参数，在确定函数单调区间 时要注意对参数 a 的讨论.本题的解答不是通过先确定函数在区间上的极值，再比较其与区间端点值的大小 来求解的，而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值大小来求解的. 题型五 导数与数学建模的问题 此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数学应用方面阅 读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，这是高考中的一个热 点. 【例 7】 (08·湖北)水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历 年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 t 的近似函数关系式为 V(t)＝ (－t2＋14t－40)e 1 4 t＋50 0＜t≤10 4(t－10)(3t－41)＋50 10＜t≤12 ， (Ⅰ)该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 i－1＜t＜i 表示第 1 月份（i＝1，2，…，12）,同一年 内哪几个月份是枯水期？ (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量（取 e＝2.7 计算）. 【分析】 根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式建立不等式可求得第 （Ⅰ）小题；而第（Ⅱ）小题则须先求函数 V(t)，然后利用导数与函数最值关系求解. 【解】 (Ⅰ)①当 0＜t≤10 时，V(t)＝(－t2＋14t－40)e 1 4 t＋50＜50，化简得 t2－14t＋40＞0， 解得 t＜4 或 t＞10，又 0＜t≤10，故 0＜t＜4. ②当 10＜t≤12 时，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋50＜50，化简得(t－10)(3t－41)＜0， 解得 10＜t＜41 3 ，又 10＜t≤12,故 10＜t≤12. 综合得 0＜t＜4,或 10＜t≤12；故知枯水期为 1 月，2 月，3 月，11 月，12 月共 5 个月. (Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到. 由 V(t)＝e 1 4 t (－1 4t＋3 2t＋4)＝－1 4e 1 4 t (t＋2)(t－8) 令 V(t)＝0，解得 t＝8(t＝－2 舍去). 当 t 变化时，V(t)与 V(t)的变化情况如下表： t (4，8) 8 (8，10) V(t) ＋ 0 － V(t) ↗ 极大值 ↘ 由上表，V(t)在 t＝8 时取得最大值 V(8)＝8e2＋50＝108.32(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米. 【点评】 本题第(Ⅰ)主要是根据题设条件给出的函数建立不等式，再解不等式，但要注意分段求解. 第(Ⅱ)主要是通过求导取得极值，最后再求得最值的，但要注意要根据第(Ⅰ)确定函数定义域. 【例 8】 （2006 年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y（升）关于行 驶速度 x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y= 1 128000 x2－ 3 80 x+8 (0＜x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千米.（Ⅰ）当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【分析】 第（Ⅰ）小题直接根据所给函数的解析式进行计算；第（Ⅱ）小题须根据条件建立耗油量 为 h(x)关于行驶速度 x 的函数关系式，再利用导数的知识进行解答. 【解】 （I）当 x=40 时，汽车从甲地到乙地行驶了100 40 =2.5 小时， 要耗没( 1 128000 ×403－ 3 80 ×40+8)×2.5=17.5（升）. 答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升. 2 （II）当速度为 x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x 小时，设耗油量为 h(x)升， 依题意得 h(x)=( 1 128000 x3－ 3 80 x+8)·100 x = 1 1280 x2+800 x －15 4 (0＜x≤120)， h(x)= x 640 －800 x2 =x3－803 640x2 (0＜x≤120)，令 h(x)=0 得 x=80， 当 x∈(0,80)时，h(x)＜0,h(x)是减函数；当 x∈(80,120)时，h(x)＞0,h(x)是增函数, ∴当 x=80 时，h(x)取到极小值 h(80)=11.25,因为 h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值. 答：当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升. 【点评】 解答类似于本题的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型， 然后根据目标函数的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值理论去解决问题. 【专题训练】 一、选择题 1．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)有两个极值点 x1，x2，则 x1·x2＝ （ ） A．9 B．－9 C．1 D．－1 2．函数 f(x)＝1 3 x3＋ax＋1 在(－∞，－1)上为增函数，在(－1，1)上为减函数，则 f(1)为（ ） A．7 3 B．1 C．1 3 D．－1 3．函数 f(x)＝x3－3ax－a 在(0，1)内有最小值，则 a 的取值范围为 （ ） A．0≤a＜1 B．0＜a＜1 C．－1＜a＜1 D．0＜a＜1 2 4．已知函数 f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在 x＝2 时有极值，其图象在点(1，(1))处的切线与直线 3x＋y＝0 平 行，则函数 f(x)的单调减区间为 （ ） A．(－∞，0) B．(0，2) C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞) 5．函数 y＝f(x)在定义域(－3 2 ，3)内可导，其图像如图所示.记 y＝f(x)的导函数为 y＝f(x)，则不等式 f(x)≤0 的解集为 （ ） A．[－1 3 ，1]∪[2，3) B．[－1，1 2 ]∪[4 3 ，8 3 ] C．[－3 2 ，1 2 ]∪[1，2) D．(－3 2 ，－1 3 ]∪[1 2 ，4 3 ]∪[4 3 ，3) 6．设函数 f(x)＝sin(ωx＋ 6)－1(ω＞0)的导数 f(x)的最大值为 3，则 f(x)的图象的一条对称轴的方程是 （ ） A．x＝ 9 B．x＝ 6 C．x＝ 3 D．x＝ 2 7．函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f(x)在(a，b)内的图象如下图所示.则函数 f(x)在开区间(a，b) 内有极小值点 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8．函数 f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数 g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是（ ） A．[0，1 2 ] B．(－∞，0)∪[1 2 ，＋∞) C．[ a，1] D．[ a， a＋1] 8．函数 y＝xcosx－sinx 在下面哪个区间内是增函数（ ） A．( 2 ，3 2 ) B．(π，2π) C．(3 2 ，5 3 ) D．(2π，3π) 9．下列图象中，有一个是函数 f(x)＝1 3x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数 f(x)的图象，则 f(－1)等 于 （ ） A．1 3 B．－1 3 C．7 3 D．－1 3 或5 3 11．已知对任意实数 x ，有 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且 x＞0 时，f(x)＞0，g(x)＞0，则 x＜0 时 （ ） A．f(x)＞0，g(x)＞0B．f(x)＞0，g(x)＜0 C．f(x)＜0，g(x)＞0D．f(x)＜0，g(x)＜0 12．若函数 y＝f(x)在 R 上可导，且满足不等式 xf(x)＞－f(x)恒成立，且常数 a，b 满足 a＞b，则下列不等 式一定成立的是 （ ） A．af(b)＞bf(a) B．af(a)＞bf(b) C．af(a)＜bf(b) D．af(b)＜bf(a) 二、填空题 13．右图是一个三次多项式函数 f(x)的导函数 f(x)的图象， 则当 x＝______时，函数取得最小值. 14．已知函数 f(x)＝1 3 x3－a 2 x2＋2x＋1，且 x1，x2 是 f(x)的两 个极值点，0＜x1＜1＜x2＜3，则 a 的取值范围_________. 15．已知函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 在区间[－1，2]上是减函数，那么 b＋c 最大值为___________. 16．曲线 y＝2x4 上的点到直线 y＝－x－1 的距离的最小值为____________. 三、解答题 17．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1. (Ⅰ)求f(x)的单调区间； (Ⅱ)讨论f(x)的极值. 18．已知定义在 R 上的函数 f(x)＝x2(ax－3)，其中 a 为常数.(Ⅰ)若 x＝1 是函数 f(x)的一个极值点，求 a 的值； (Ⅱ)若函数 f(x)在区间（－1，0）上是增函数，求 a 的取值范围. 19．已知函数 f(x)＝x3＋bx2＋ax＋d 的图象过点 P（0，2），且在点 M（－1，f（－1））处的切线方程为 6x-y+7=0. （Ⅰ）求函数 y=f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数 y=f(x)的单调区间. 20．设函数 f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的 x≥0，都有 f(x)≥ax 成立，求实数 a 的取值范围． 21．已知函数 f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m. （Ⅰ）求 f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值 h(t)； （Ⅱ）是否存在实数 m，使得 y＝f(x)的图象与 y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的取值范围；，若不存在，说明理由。 22．已知函数 f(x)＝logax＋2x 和 g(x)＝2loga(2x＋t－2)＋2x(a＞0，a≠1，t∈R)的图象在 x＝2 处的切线互相平 行. (Ⅰ)求 t 的值； (Ⅱ)设 F(x)＝g(x)－f(x)，当 x∈[1，4]时，F(x)≥2 恒成立，求 a 的取值范围. 【专题训练】参考答案 一、选择题 1．D 【解析】f(x)＝3x2＋2ax＋3，则 x1·x2＝1. 2．C 【解析】∵f(x)＝x2＋a，又 f(－1)＝0，∴a＝－1，f(1)＝1 3 －1＋1＝1 3 . 3．B 【解析】f(x)＝3x2－3a，由于 f(x)在(0，1)内有最小值，故 a＞0，且 f(x)＝0 的解为 x1＝ a，x2＝ － a，则 a∈(0，1)，∴0＜a＜1. 4．B 【解析】∵f(x)＝ax3＋bx2，f′(x)＝3ax2＋2bx，∴ 3a×22＋2b×2＝0 3a＋2b＝－3 ，即 a＝1 b＝－3，令 f(x)＝3x2－6x ＜0，则 0＜x＜2，即选 B. 5．A 【解析】由条件 f(x)≤0 知，选择 f(x)图象的下降区间即为解. 6．A 【解析】f(x)＝ωcos(ωx＋ 6)，则ω＝3，则由 3x＋ 6 ＝2kπ＋ 2 ，即 x＝2 3 kπ＋ 9(k∈Z)，由此可知 x＝ 9 为 f(x)的图象的一条对称轴. 7．A 【解析】f(x)的图象与 x 轴有 A、B、O、C 四个交点. 其中在 A、C 处 f(x)的值都是由正变负，相应 的函数值则由增变减，故 f(x)点 A、C 处应取得极大值；在 B 处 f(x)的值由负变正，相应的函数值则由 减变增，故 f(x)在点 B 处应取得极小值.点 O 处 f(x)的值没有正负交替的变化，故不是极值点，这就是说， 点 B 是唯一的极值点. 8．C 【解析】因为 u＝logax(0＜a＜1)在（0，＋∞）上是减函数，根据函数的单调性的复合规律得 0≤logax≤1 2 ， 即 a≤a≤1，故选 C. 8．B 【解析】y＝(cosx－xsinx)＝－xsinx，令－xsinx＞0，则 xsinx＜0，各选项中 x 均为正，只须 sinx＜0， 故 x∈(π，2π). 9．B 【解析】∵f(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，又 a≠0，∴f′(x)的图象为第三个，知 f(0)＝0，故 a ＝－1，f(－1)＝－1 3 ＋a＋1＝－1 3. 11．B 【解析】依题意得 f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是增函数，即当 x＜0 时，f(x)＞0；g(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是减函数，即当 x＜0 时，g(x) ＜0. 12．B 【解析】令 F(x)＝xf(x)，则 F(x)＝xf(x)＋f(x)，由 xf(x)＞－f(x)，得 xf(x)＋f(x)＞0，即则 F(x)＞0， 所以 f(x)在 R 上为递增函数.因为 a＞b，所以 af(a)＞bf(b). 二、填空题 13．4 【解析】根据导函数对应方程 f(x)＝0 的根与极值的关系及极值的定义易得结果. 14．3＜a＜11 3 【解析】f(x)＝x2＋ax＋2，由题知： f(1)＝1－ax＋2＜0 f(3)＝9－3a＋2＞0，解得 3＜a＜11 3 . 15．－15 2 【解析】f(x)＝3x2＋2bx＋c ∵f(x)在[－1，2]上减，∴f(x)在[－1，2]上非正. 由 f(－1)≤0 f(2)≤0 ，即 3－2b＋c≤0 12＋4b＋c≤0，∴15＋2(b＋c)≤0，∴b＋c≤－15 2 . 16． 5 16 2 【解析】设直线 L 平行于直线 y＝－x－1，且与曲线 y＝2x4 相切于点 P(x0，y0)，则所求最小值 d，即点 P 到直线 y＝－x－1 的距离，y＝8x3＝－1，∴x0＝－1 2 ，x0＝1 8 ，∴d＝ |－1 2 ＋1 8 ＋1| 2 ＝ 5 16 2. 三、解答题 17．【解】 由已知得f(x)＝6x[x－(a－1)]，令f(x)＝0，解得 x1＝0,x2＝a－1，. （Ⅰ）当 a＝1 时，f(x)＝6x2，f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增 当 a＞1 时，f(x)＝6x[x－(a－1)]，f(x),f(x)随 x 的变化情况如下表： x (－∞,0) 0 (0,a－1) a－1 (a－1,＋∞) f(x) ＋ 0  0  f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 从上表可知，函数 f(x)在(－∞,0)上单调递增；在(0,a－1)上单调递减；在(a－1,＋∞)上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 a＝1 时，函数 f(x)没有极值.；当 a＞1 时，函数 f(x)在 x＝0 处取得极大值，在 x＝a－1 处取得极小值 1－(a－1)3. 18．【解】 (Ⅰ)f(x)＝ax3－3x，f(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2), ∵x＝1 是 f(x)的一个极值点，∴f(1)＝0，∴a＝2； (Ⅱ)①当 a＝0 时，f(x)＝－3x2 在区间（－1，0）上是增函数，∴a＝0 符合题意； ②当 a≠0 时，f(x)＝3ax(x－2 a)，由 f(x)＝0，得 x＝0，x＝2 a 当 a＞0 时，对任意 x∈(－1，0)，f(x)＞0，∴a＞0 符合题意； 当 a＜0 时，当 x∈(2 a ，0)时，由 f(x)＞0，得2 a≤－1，∴－2≤a＜0 符合题意； 综上所述，a≥－2. 19．【解】（Ⅰ）由 f(x)的图象经过 P（0，2），知 d＝2，则 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f(x)＝3x2＋2bx+c， 由在 M(-1,f(-1))处的切线方程是 6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即 f(-1)=1，且 f(-1)=6， ∴ 3-2b+c=6 -1+b-c+2=1，即 2b-c=3 b-c=0 ，解得 b=c=-3， 故所求的解析式是 f(x)＝x3-3x2-3x+2. （Ⅱ）f(x)＝3x2-6x-3，令 3x2-6x-3=0，即 x2-2x-1=0， 解得 x1=1- 2，x2=1+ 2，当 x＜1- 2或 x＞1+ 2时，f(x)＞0； 当 1- 2＜x＜1+ 2时，f(x)＜0， 故 f(x)＝x3-3x2-3x+2 在(-∞，1- 2)内是增函数，在(1- 2，1+ 2)内是减函数，在(1+ 2，+∞)内是增函数. 20．【解】令 g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数 g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令 g′(x)＝0，解得 x＝ea－1－1， (1)当 a≤1 时，对所有 x＞0，g′(x)＞0，所以 g(x)在[0，＋∞)上是增函数， 又 g(0)＝0，所以对 x≥0，都有 g(x)≥g(0)， 即当 a≤1 时，对于所有 x≥0，都有 f(x)≥ax． (2)当 a＞1 时，对于 0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以 g(x)在(0，ea－1－1)是减函数， 又 g(0)＝0，所以对 0＜x＜ea－1－1，都有 g(x)＜g(0)， 即当 a＞1 时，不是对所有的 x≥0，都有 f(x)≥ax 成立． 综上，a 的取值范围是（－∞，1]． 21．【解】（I）∵f(x)是二次函数，且 f(x)＜0 的解集是(0，5)，∴可设 f(x)＝ax(x－5)(a＞0)， ∴f(x)在区间[－1，4]上的最大值是 f(－1)＝6a， 由已知，得 6a＝12，∴a＝2，∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R). （II）方程 f(x)＋37 x ＝0 等价于方程 2x3－10x2＋37＝0， 设 h(x)＝2x3－10x2＋37，则 h(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)， 当 x∈(0，10 3 )时，h(x)＜0，h(x)是减函数；当 x∈(10 3 ，＋∞)时，h(x)＞0，h(x)是增函数， ∵h(3)＝1＞0，h(10 3 )＝－ 1 27 ＜0，h(4)＝5＞0， ∴方程 h(x)＝0 在区间(3，10 3 )、(10 3 ，4)内分别有惟一实数根，而在(0，3)，(4，＋∞)内 没有实数根， 所以存在惟一的自然数 m＝3，使得方程 f(x)＋37 x ＝0 在区间(m，m＋1)内有且只有两个 不同的实数根. 22．解析：(Ⅰ)f(x)＝1 x logae＋2，g(x)＝ 4 2x＋t－2 logae＋2， ∵函数 f(x)和 g(x)的图象在 x＝2 处的切线互相平行， f(2)＝g(2)，∴1 2 logae＝ 4 t＋2 logae，t＝6. (Ⅱ)∵t＝6，∴F(x)＝g(x)－f(x)＝2loga(2x＋4)－logax＝loga (2x＋4)2 x ，x∈[1，4]， 令 h(x)＝(2x＋4)2 x ＝4x＋16 x ，x∈[1，4]，∴h(x)＝4－16 x2 ＝4(x－2)(x＋2) x2 ，x∈[1，4]， ∴当 1≤x＜2 时，h(x)＜0，当 2＜x≤4 时，h(x)＞0， ∴h(x)在1，2)是单调减函数，在(2，4是单调增函数， ∴h(x)min＝h(2)＝32，h(x)max＝h(1)＝h(4)＝36， ∴当 0＜a＜1 时，有 F(x) min＝loga36，当 a＞1 时，有 F(x) max＝loga32. ∵当 x∈[1，4]时，F(x)≥2 恒成立，∴F(x) min≥2， ∴满足条件的 a 的值满足下列不等式组 0＜a＜1 loga36≥2 ①，或 a＞1 loga32≥2 ② 不等式组①的解集为空集，解不等式组②得 1＜a≤4 2， 综上所述，满足条件的 a 的取值范围是：1＜a≤4 2. 专题三：数列与不等式的交汇题型分析及解题策略 【命题趋向】 数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查. 主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前 n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、 归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩 法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习 数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．如 08 年北京文 20 题 (12 分)中档偏上，考查数列与不等式恒成立条件下的参数问题、08 年湖北理 21 题(12 分)为中档偏上，考 查数列与不等式交汇的探索性问题、08 年江西理 19 题(12 分)中等难度，考查数列求和与不等式的交汇、 08 年全国卷Ⅰ理 22(12 分)压轴题，难说大，考查数学归纳法与不等式的交汇，等等.预计在 2009 年高考中, 比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热点是与不等式交汇,呈现递推关 系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是 未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题. 【考试要求】 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递 推公式写出数列的前几项． 2．理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题． 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题。 4．理解不等式的性质及其证明． 5．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． 6．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． 7．掌握简单不等式的解法及理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│． 【考点透视】 1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇. 2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、 三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法) 和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大. 3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想. 【典例分析】 题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数 f(x)在定义域为 D，则当 x∈D 时，有 f(x)≥M 恒成立f(x)min≥M；f(x)≤M 恒成立f(x)max≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识 化简不等式，再通过解不等式解得. 【例 1】 等比数列{an}的公比 q＞1，第 17 项的平方等于第 24 项，求使 a1＋a2＋…＋an＞ 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 an 恒成立的正整数 n 的取值范围. 【分析】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项 a1 与公比 q 之间的关系，再利用等比数列前 n 项 公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数 n 的取值范围. 【解】 由题意得：(a1q16)2＝a1q23，∴a1q9＝1. 由等比数列的性质知：数列{1 an }是以1 a1 为首项，以1 q 为公比的等比数列，要使不等式成立， 则须a1(qn－1) q－1 ＞ 1 a1 [1－(1 q)n] 1－1 q ，把 a2 1＝q18 代入上式并整理，得 q18(qn－1)＞q(1－ 1 qn)， qn＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数 n 的取值范围是 n≥20. 【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知 识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用. 【例 2】 （08·全国Ⅱ）设数列{an}的前 n 项和为 Sn．已知 a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．(Ⅰ)设 bn＝ Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若 an+1≥an，n∈N*，求 a 的取值范围． 【分析】 第（Ⅰ）小题利用 Sn 与 an 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件 an+1≥an 转 化为关于 n 与 a 的关系，再利用 a≤f(n)恒成立等价于 a≤f(n)min 求解． 【解】 (Ⅰ)依题意，Sn+1－Sn＝an+1＝Sn＋3n，即 Sn+1＝2Sn＋3n， 由此得 Sn+1－3 n+1＝2(Sn－3n)． 因此，所求通项公式为 bn＝Sn－3n＝(a－3)2 n1，n∈N*, ① (Ⅱ)由①知 Sn＝3n＋(a－3)2 n1，n∈N*， 于是，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn1＝3n＋(a－3)2 n1－3n1－(a－3)2 n2＝2×3n1＋(a－3)2 n2， an+1－an＝4×3 n1＋(a－3)2 n2＝2 n2·[12·(3 2)n2＋a－3]， 当 n≥2 时，an+1≥an，即 2 n2·[12·(3 2)n2＋a－3]≥0，12·(3 2)n2＋a－3≥0，∴a≥－9， 综上，所求的 a 的取值范围是[－9，＋∞]． 【点评】 一般地，如果求条件与前 n 项和相关的数列的通项公式，则可考虑 Sn 与 an 的关系求解.本 题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视. 题型二 数列参与的不等式的证明问题 此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法， 一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加 与减少等手段达到证明的目的. 【例 3】 已知数列{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ) 设 p、q 都是正整数，且 p≠q，证明：Sp+q＜1 2(S2p＋S2q)． 【分析】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前 n 项公式和建立方程组即可解决第(Ⅰ)小题； 第(Ⅱ)小题利用差值比较法就可顺利解决. 【解】 （Ⅰ）设等差数列{an}的公差是 d，依题意得， a1＋2d＝7 4a1＋6d＝24，解得 a1＝3 d＝2 ， ∴数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1. （Ⅱ）证明：∵an＝2n＋1，∴Sn＝n(a1＋an) 2 ＝n2＋2n． 2Sp+q－(S2p＋S2q)＝2[(p＋q)2＋2(p＋q)]－(4p2＋4p)－(4q2＋4q)＝－2(p－q)2， ∵p≠q，∴2Sp+q－(S2p＋S2q)＜0，∴Sp+q＜1 2(S2p＋S2q)． 【点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解； （2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化. 【例 4】 (08·安徽高考)设数列{an}满足 a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈N*，其中 c 为实数.(Ⅰ)证明：an∈[0， 1]对任意 n∈N*成立的充分必要条件是 c∈[0，1]；(Ⅱ)设 0＜c＜1 3 ，证明：an≥1－(3c)n1，n∈N*；（Ⅲ）设 0＜c＜1 3 ，证明：a12＋a22＋…＋an2＞n＋1－ 2 1－3c ，n∈N*. 【分析】 第（1）小题可考虑用数学归纳法证明；第（2）小题可利用综合法结合不等关系的迭代； 第（3）小题利用不等式的传递性转化等比数列，然后利用前 n 项和求和，再进行适当放缩. 【解】（Ⅰ）必要性：∵a1＝0，a2＝1－c， 又∵a2∈[0，1]，∴0≤1－c≤1，即 c∈[0，1]. 充分性：设 c∈[0，1]，对 n∈N*用数学归纳法证明 an∈[0，1]. (1)当 n＝1 时，a1∈[0，1]. (2)假设当 n＝k 时，ak∈[0，1](k≥1)成立，则 ak＋1＝cak3＋1－c≤c＋1－c＝1，且 ak＋1＝cak3＋1－c≥1－c≥0， ∴ak＋1∈[0，1]，这就是说 n＝k＋1 时，an∈[0，1]. 由（1）、（2）知，当 c∈[0，1]时，知 an∈[0，1]对所胡 n∈N*成立. 综上所述，an∈[0，1]对任意 n∈N*成立的充分必要条件是 c∈[0，1]. （Ⅱ）设 0＜c＜1 3 ，当 n＝1 时，a1＝0，结论成立. 当 n≥2 时，由 an＝can13＋1－c，∴1－an＝c(1－an1)(1＋an1＋an12) ∵0＜c＜1 3 ，由(Ⅰ)知 an1∈[0，1]，所以 1＋an1＋an12≤3，且 1－an1≥0，∴1－an≤3c(1－an1)， ∴1－an≤3c(1－an1)≤(3c)2(1－an2)≤…≤(3c) n1(1－a1)＝(3c) n1，∴an≥1－(3c)n1，n∈N*. (Ⅲ)设 0＜c＜1 3 ，当 n＝1 时，a12＝0＞2－ 2 1－3c ，结论成立. 当 n≥2 时，由（Ⅱ）知 an≥1－(3c)n1＞0， ∴an2≥[(1－(3c)n1)] 2＝1－2(3c)n1＋(3c)(n1)＞1－2(3c)n1， a12＋a22＋…＋an2＝a22＋…＋an2＞n－1－2[3c＋(3c)2＋…＋(3c)n1] ＝n－1－2[1＋3c＋(3c)2＋…＋(3c)n1－1]＝n＋1－2[1－(3c)n] 1－3c ＞n＋1－ 2 1－3c . 【点评】 本题是数列与不等式、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，此类试题在高考中点占有一 席之地，复习时应引起注意.本题的第(Ⅰ)小题实质也是不等式的证明， 题型三 求数列中的最大值问题 求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等 式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的 不等式关系确定最值. 【例 5】 (08·四川高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S4≥10，S5≤15，则 a4 的最大值为______. 【分析】 根据条件将前 4 项与前 5 项和的不等关系转化为关于首项 a1 与公差 d 的不等式，然后利用 此不等关系确定公差 d 的范围，由此可确定 a4 的最大值. 【解】 ∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S4≥10，S5≤15， ∴ S4＝4a1＋4×3 2 d≥10 S5＝5a1＋5×4 2 d≤15，即 a1＋3d≥5 a1＋2d≤3，∴ a4＝a1＋3d≥5－3d 2 ＋3d＝5＋3d 2 a4＝a1＋3d＝(a1＋2d)＋d≤3＋d ， ∴5＋3d 2 ≤a4≤3＋d，则 5＋3d≤6＋2d，即 d≤1. ∴a4≤3＋d≤3＋1＝4，故 a4 的最大值为 4. 【点评】 本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差 d 是解答 的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用. 【例 6】 等比数列{an}的首项为 a1＝2002，公比 q＝－1 2 ．(Ⅰ)设 f(n)表示该数列的前 n 项的积，求 f(n) 的表达式；(Ⅱ)当 n 取何值时，f(n)有最大值． 【分析】 第(Ⅰ)小题首先利用等比数列的通项公式求数列{an}的通项，再求得 f(n)的表达式；第(Ⅱ) 小题通过商值比较法确定数列的单调性，再通过比较求得最值. 【解】 (Ⅰ)an＝2002·(－1 2)n1，f(n)＝2002n·(－1 2) n(n1) 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)，得|f(n＋1)| |f(n)| ＝2002 2n ，则 当 n≤10 时，|f(n＋1)| |f(n)| ＝2002 2n ＞1，∴|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|， 当 n≥11 时，|f(n＋1)| |f(n)| ＝2002 2n ＜1，∴|f(11)|＞|f(12)|＞|f(13)|＞…， ∵f(11)＜0，f(10)＜0，f(9)＞0，f(12)＞0，∴f(n)的最大值为 f(9)或 f(12)中的最大者． ∵f(12) f(9) ＝ 200212·(1 2)66 20029·(1 2)36 ＝20023·(1 2)30＝(2002 210 )3＞1， ∴当 n＝12 时，f(n)有最大值为 f(12)＝200212·(1 2)66． 【点评】 本题解答有两个关键：(1)利用商值比较法确定数列的单调性；(2)注意比较 f(12)与 f(9)的大 小.整个解答过程还须注意 f(n)中各项的符号变化情况. 题型四 求解探索性问题 数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成 立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论， 即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果. 【例 7】 已知{an}的前 n 项和为 Sn，且 an＋Sn＝4.(Ⅰ)求证：数列{an}是等比数列；(Ⅱ)是否存在正整 数 k，使Sk+1－2 Sk－2 ＞2 成立. 【分析】 第(Ⅰ)小题通过代数变换确定数列 an+1 与 an 的关系，结合定义判断数列{an}为等比数列；而 第(Ⅱ)小题先假设条件中的不等式成立，再由此进行推理，确定此不等式成立的合理性. 【解】 (Ⅰ)由题意，Sn＋an＝4，Sn+1＋an+1＝4， 由两式相减，得(Sn+1＋an+1)－(Sn＋an)＝0，即 2an+1－an＝0，an+1＝1 2 an， 又 2a1＝S1＋a1＝4，∴a1＝2，∴数列{an}是以首项 a1＝2，公比为 q＝1 2 的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)，得 Sn＝ 2[1―(1 2)n] 1―1 2 ＝4－22n. 又由Sk+1－2 Sk－2 ＞2，得4－21k－2 4－22k－2 ＞2，整理，得2 3 ＜21k＜1，即 1＜2 k 1＜3 2 ， ∵k∈N*，∴2k1∈N*，这与 2k1∈(1，3 2)相矛盾，故不存在这样的 k，使不等式成立. 【点评】 本题解答的整个过程属于常规解法，但在导出矛盾时须注意条件“k∈N*”，这是在解答数 列问题中易忽视的一个陷阱. 【例 8】 (08·湖北高考)已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an+1＝2 3 an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)， 其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等 比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设 0＜a＜b,Sn 为数列{bn}的前 n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数 n，都有 a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由. 【分析】 第(Ⅰ)小题利用反证法证明；第(Ⅱ)小题利用等比数列的定义证明；第(Ⅲ)小题属于存在型 问题，解答时就假设 a＜Sn＜b 成立，由此看是否能推导出存在存在实数λ. 【解】 （Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有 a22＝a1a3，即 (2 3λ－3)2＝λ(4 9λ－4)4 9λ2－4λ＋9＝4 9λ2－4λ9＝0，矛盾，所以{an}不是等比数列. (Ⅱ)解：因为 bn+1＝(－1)n+1[a n+1－3(n＋1)＋21] ＝(－1)n+1(2 3a n－2n＋14)＝－2 3(a n－3n－21)＝－2 3b n， 又 b1＝－(λ＋18)，所以 当λ＝－18 时，bn＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列； 当λ≠－18 时，b1＝－(λ＋18)≠0，由上可知 bn≠0，∴bn+1 bn ＝－2 3 (n∈N*). 故当λ≠－18 时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－2 3 为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ＝－18，bn＝0(n∈N*)，Sn＝0，不满足题目要求；. ∴λ≠－18，故知 bn＝－(λ＋18)×(－2 3 )n1，于是 S n＝－3 5 (λ＋18)·[1－(－2 3 )n] 要使 a＜Sn＜b 对任意正整数 n 成立，即 a＜－－3 5 (λ＋18)·[1－(－2 3 )n]＜b，(n∈N*). 得 a 1－(－2 3 )n ＜－3 5 (λ＋18)＜ b 1－(－2 3 )n ，(n∈N*) ① 令 f(n)＝1－(－2 3)n，则当 n 为正奇数时，1＜f(n)≤5 3 ，当 n 为正偶数时5 9≤f(n)＜1； ∴f(n)的最大值为 f(1)＝5 3 ，f(n)的最小值为 f(2)＝5 9, 于是，由①式得 5 9a＜－3 5(λ＋18)＜3 5b，∴－b－18＜λ＜－3a－18，(必须－b＜－3a，即 b＞3a). 当 a＜b＜3a 时，由－b－18≥－3a－18，不存在实数满足题目要求； 当 b＞3a 存在实数λ，使得对任意正整数 n，都有 a＜Sn＜b,且λ的取值范围是(－b－18，－3a－18). 【点评】 存在性问题指的是命题的结论不确定的一类探索性问题，解答此类题型一般是从存在的方 面入手，寻求结论成立的条件，若能找到这个条件，则问题的回答是肯定的；若找不到这个条件或找到的 条件与题设矛盾，则问题的回答是否定的.其过程可以概括为假设——推证——定论.本题解答注意对参数λ 及项数 n 的双重讨论. 【专题训练】 一、选择题 1．已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有 （ ） A．a4 a6 ＜a6 a8 B．a4 a6 ≤a6 a8 C．a4 a6 ＞a6 a8 D．a4 a6 ≥a6 a8 2．设{an}是由正数构成的等比数列，bn＝an+1＋an+2，cn＝an＋an+3，则 （ ） A．bn＞cn B．bn＜cn C．bn≥cn D．bn≤cn 2 3．已知{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，公比 q≠1，若 a1＝b1，a11＝b11，则（ ） A．a6＝b6 B．a6＞b6 C．a6＜b6 D．a6＞b6 或 a6＜b6 4．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－9n，第 k 项满足５＜ak＜８，则 k＝ （ ） A．9 B．8 C．7 D．6 5．已知等比数列{an}的公比 q＞0，其前 n 项的和为 Sn，则 S4a5 与 S5a4 的大小关系是（ ） A．S4a5＜S5a4 B．S4a5＞S5a4 C．S4a5＝S5a4 D．不确定 6．设 Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，则函数 f(n)＝ Sn (n＋32)Sn+1 的最大值为 （ ） A． 1 20 B． 1 30 C． 1 40 D． 1 50 7．已知 y 是 x 的函数，且 lg3，lg(sinx－1 2 )，lg(1－y)顺次成等差数列，则 （ ） A．y 有最大值 1，无最小值 B．y 有最小值11 12 ，无最大值 C．y 有最小值11 12 ，最大值 1 D．y 有最小值－1，最大值 1 8．已知等比数列{an}中 a2＝1，则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 （ ） Ａ．(－∞，－1 Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) Ｃ．3，＋∞) Ｄ．(－∞，－1∪3，＋∞) 9．设 3b 是 1－a 和 1＋a 的等比中项，则 a＋3b 的最大值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 10．设等比数列{an}的首相为 a1，公比为 q，则“a1＜0，且 0＜q＜1”是“对于任意 n∈N*都有 an+1＞an”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分比要条件 D．既不充分又不必要条件 11．{an}为等差数列，若a11 a10 ＜－1，且它的前 n 项和 Sn 有最小值，那么当 Sn 取得最小正值时，n＝ （ ） A．11 B．17 C．19 D．21 12．设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数，对任意实数 x、y∈R，都有 f(x)f(y)＝f(x＋y)，若 a1＝1 2 ，an＝ f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是 （ ） A．1 2 ，2) B．[1 2 ，2] C．1 2 ，1) D．[1 2 ，1] 二、填空题 13．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记 Tn＝Sn n2 ，如果存在正整数 M，使得对一 切正整数 n，Tn≤M 都成立．则 M 的最小值是__________． 14．无穷等比数列{an}中，a1＞1，|q|＜1，且除 a1 外其余各项之和不大于 a1 的一半，则 q 的取值范围是 ________. 15．已知 x＞0，y＞0，x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则(a＋b)2 cd 的最小值是________. Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4 16．等差数列{an}的公差 d 不为零，Sn 是其前 n 项和，给出下列四个命题：①A．若 d＜0，且 S3＝S8，则{Sn} 中，S5 和 S6 都是{Sn}中的最大项；②给定 n，对于一定 k∈N*(k＜n)，都有 ank＋an+k＝2an；③若 d＞0， 则{Sn}中一定有最小的项；④存在 k∈N*，使 ak－ak+1 和 ak－ak1 同号 其中真命题的序号是____________. 三、解答题 17．已知{an}是一个等差数列，且 a2＝1，a5＝－5．（Ⅰ）求{an}的通项 na ；（Ⅱ）求{an}前 n 项和 Sn 的最大 值． 18．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点( an，an+1)(n∈N*）在函数 y＝x2＋1 的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝ 的通项公式；(Ⅱ)若列数｛bn｝满足 b1＝1,bn+1＝bn＋2an，求证：bn ·bn+2＜b2n+1. 19．设数列{an}的首项 a1∈(0，1)，an＝3－an1 2 ，n＝2，3，4，…. （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设 bn＝an 3－2an，证明 bn＜bn+1，其中 n 为正整数． 20．已知数列{an}中 a1＝2，an+1＝( 2－1)( an＋2)，n＝1，2，3，…. （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{an}中 b1＝2，bn+1＝3bn＋4 2bn＋3 ，n＝1，2，3，….证明： 2＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，… 21．已知二次函数 y＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为 f(x)＝6x－2，数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n， Sn)(n∈N*)均在函数 y＝f(x)的图像上.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设 bn＝ 1 anan＋1 ，Tn 是数列{bn} 的前 n 项和，求使得 Tn＜m 20 对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m； 22．数列 na 满足 1 1a  ， 2 1 ( )n na n n a    （ 1 2n  ，， ）， 是常数．（Ⅰ）当 2 1a   时，求  及 3a 的值；（Ⅱ）数列 na 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ） 求  的取值范围，使得存在正整数 m ，当 n m 时总有 0na  ． 【专题训练】参考答案 一、选择题 1．B 【解析】a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝a12＋10a1d＋21d2，a62＝(a1＋5d)2＝a12＋10a1d＋25d2，故a4 a6 ≤a6 a8 . 2．D 【解析】设其公比为 q,则 bn－cn＝an(q－1)(1－q2)＝－an(q－1)2(q＋1)，当 q＝1 时，bn＝cn ，当 q＞0，且 q≠1 时，bn＜cn，故 bn≤cn. 3．B 【解析】因为 q≠1，b1＞0，b11＞0，所以 b1≠b11，则 a6＝a1＋a11 2 ＝b1＋b11 2 ＞ b1b11＝b6. 4．B 【解析】因数列为等差数列，an＝Sn－Sn1＝2n－10，由 5＜2k－10＜8，得到 k＝8. 5．A 【解析】S4a5－S5a4 ＝(a1＋a2＋a3＋a4)a4q－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)a4＝－a1a4＝－ a12q3＜0，∴S4a5＜S5a4． 6．D 【解析】由 Sn＝n(n＋1) 2 ，得 f(n)＝ n (n＋32)(n＋2) ＝ n n2＋34n＋64 ＝ 1 n＋64 n ＋34 ≤ 1 2 64＋34 ＝ 1 50 ，当 n ＝64 n ，即 n＝8 时取等号，即 f(n)max＝f(8)＝ 1 50 ． 7．B 【解析】由已知 y＝－1 3 (sinx－1 2 )2＋1，且 sinx＞1 2 ，y＜1，所以当 sinx＝1 时，y 有最小值11 12 ，无最大 值. 8．D 【解】∵等比数列{an}中 a2＝1，∴S3＝a1＋a2＋a3＝a2(1 q ＋1＋q)＝1＋q＋1 q .∴当公比 q＞0 时，S3＝1 ＋q＋1 q≥1＋2 q·1 q ＝3，当公比 q＜0 时，S3＝1－(－q－1 q)≤1－2 (－q)·(－1 q )＝－1， ∴S3∈(－∞，－1∪3，＋∞). 9．B 【解析】 3b 是 1－a 和 1＋a 的等比中项，则 3b2＝1－a2a2＋3b2＝1，令 a＝cosθ， 3b＝sinθ， θ∈(0，2π)，所以 a＋3b＝cosθ＋ 3inθ＝2sin(θ＋ 6)≤2. 10．A 【解析】当 a1＜0，且 0＜q＜1 时，数列为递增数列，但当数列为递增数列时，还存在另一情况 a1＞0，且 q＞1，故选 A. 11．C 【解析】由a11 a10 ＜－1，得a10＋a11 a10 ＜0a1＋a20 a10 ＜0 1 2×20(a1＋a20) 1 2 ×19(a1＋a19) ＜0S20 S19 ＜0，则要使 Sn 取得最小 正值必须满足 S19＞0，且 S20＜0，此时 n＝19. 12．C 【解析】f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数，对任意实数 x、y∈R，都有 f(x)f(y)＝f(x＋y)，a1＝1 2 ， an＝f(n)(n∈N*)，an+1＝f(n＋1)＝f(1)f(n)＝1 2an，∴Sn＝ 1 2 [1－(1 2 )n] 1－1 2 ＝1－(1 2)n.则数列{an}的前 n 项和的取值 范围是1 2 ，1). 二、填空题 13．2 【解析】由 a4－a2＝8，可得公差 d＝4，再由 a3＋a5＝26，可得 a1＝1，故 Sn＝n＋2n(n－1)＝2n2 －n，∴Tn＝2n－1 n ＝2－1 n ，要使得 Tn≤M，只需 M≥2 即可，故 M 的最小值为 2，答案：2 14．(－1，0∪(0，1 3  【解析】 a1q 1－q ≤a1 2 q≤1 3 ，但|q|＜1，且 q≠0，故 q∈(－1，0∪(0，1 3 . 15．4 【解析】∵(a＋b)2 cd ＝(x＋y)2 xy ≥(2 xy)2 xy ＝4. 16．D 【解析】对于①：∵S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴S5＝S6，又 d＜0，S5＝S6 为最大，故 A 正确；对于②：根据等差中项知正确；对于③：∵d＞0，点(n，Sn)分布在开口向上的抛物线，故{Sn} 中一定有最小的项，故③正确；而 ak－ak+1＝－d，ak－ak1＝d，且 d≠0，故④为假命题. 三、解答题 17．【解】（Ⅰ）设{an}的公差为 d，由已知条件， a1＋d＝1 a1＋4d＝－5，解出 a1＝3，d＝－2． 所以 an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5． （Ⅱ）Sn＝na1＋n(n－1) 2 d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以 n＝2 时，Sn 取到最大值 4． 18．【解】(Ⅰ)由已知得 an+1＝an＋1，即 an+1－an＝1， 又 a1＝1，所以数列｛an｝是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列，故 an＝1＋(a－1)×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知：an＝n 从而 bn+1－bn＝2n. bn＝(bn－bn1)＋(bn1－bn2)＋…＋（b2－b1）＋b1＝2n1＋2n2＋…＋2＋1＝1－2n 1－2 ＝2n－1. 因为 bn·bn+2－b 2 1n ＝(2n－1)(2n+2－1)－(2n1－1)2 ＝(22n+2－2n+2－2n＋1)－(22n+2－2－2n+1－1)＝－5·2n＋4·2n＝－2n＜0, 所以 bn·bn+2＜b 2 1n . 19．【解】（Ⅰ）由 an＝3－an1 2 ，n＝2，3，4，….整理得 1－an＝－1 2 (1－an1)． 又 1－a1≠0，所以{1－an}是首项为 1－a1，公比为－1 2 的等比数列，得 an＝1－(1－a1)(－1 2)n1， （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 0＜an＜3 2 ，故 bn＞0．那么， bn+12－bn2＝an+12(3－2an+1)－an2(3－2an)＝(3－an 2 )2(3－2×3－an 2 )－an2(3－2an)＝9an 4 (an－1)2. 又由（Ⅰ）知 an＞0，且 an≠1，故 bn+12－bn2＞0，因此 bn＜bn+1，为正整数． 20．【解】（Ⅰ）由题设：an+1＝( 2－1)(an＋2)＝( 2－1)(an－ 2)＋( 2－1)(2＋ 2)， ＝( 2－1)(an－ 2)＋ 2，∴an+1－ 2＝( 2－1)(an－ 2)． 所以，数列{an－ 2}a 是首项为 2－ 2，公比为 2－1)的等比数列，an－ 2＝ 2( 2－1)n， 即 an 的通项公式为 an＝ 2[( 2－1)n＋1]，n＝1，2，3，…. （Ⅱ）用数学归纳法证明． （ⅰ）当 n＝1 时，因 2＜2，b1＝a1＝2，所以 2＜b1≤a1，结论成立． （ⅱ）假设当 n＝k 时，结论成立，即 2＜bk≤a4k3，，也即 0＜bn－ 2≤a4k3－ 2， 当 n＝k＋1 时，bk+1－ 2＝3bk＋4 2bk＋3 － 2＝(3－2 2)bk＋(4－3 2) 2bk＋3 ＝(3－2 2)(bk－ 2) 2bk＋3 ＞0， 又 1 2bk＋3 ＜ 1 2 2＋3 ＝3－2 2， 所以 bk+1－ 2＝(3－2 2)(bk－ 2) 2bk＋3 ＜(3－2 2)2(bk－ 2)≤( 2－1)4(a4k3－ 2)＝a4k+1－ 2 也就是说，当 n＝k＋1 时，结论成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知 2＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，…. 21．【解】（Ⅰ）设这二次函数 f(x)＝ax2＋bx (a≠0) ，则 f`(x)＝2ax＋b，由于 f`(x)＝6x－2， 得 a＝3 ，b＝－2，所以 f(x)＝3x2－2x.， 又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数 y＝f(x)的图像上，所以 Sn＝3n2－2n， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5， 当 n＝1 时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（n∈N*）. （Ⅱ）由（Ⅰ）得知 bn＝ 3 anan＋1 ＝ 3 (6n－5)[6(n－1)－5] ＝1 2 ( 1 6n－5 － 1 6n＋1 )， 故 Tn＝n i=1 bi＝1 2 [(1－1 7 )＋(1 7 – 1 13 )＋…＋( 1 6n－5 － 1 6n＋1 )]＝1 2 (1– 1 6n＋1 ）， 因此，要使1 2 (1－ 1 6n＋1 ）＜m 20 （n∈N*）成立的 m，必须且仅须满足1 2 ≤m 20 ，即 m≥10，所以满足要求的 最小正整数 m 为 10. 22．【解】（Ⅰ）由于 2 1 ( ) ( 1 2 )n na n n a n     ，， ，且 1 1a  ． 所以当 2 1a   时，得 1 2    ，故 3  ．从而 2 3 (2 2 3) ( 1) 3a        ． （Ⅱ）数列 na 不可能为等差数列，证明如下：由 1 1a  ， 2 1 ( )n na n n a    得 2 2a   ， 3 (6 )(2 )a     ， 4 (12 )(6 )(2 )a       ． 若存在  ，使 na 为等差数列，则 3 2 2 1a a a a   ，即 (5 )(2 ) 1      ， 解得 3  ．于是 2 1 1 2a a      ， 4 3 (11 )(6 )(2 ) 24a a          ． 这与 na 为等差数列矛盾．所以，对任意  ， na 都不可能是等差数列． （Ⅲ）记 2 ( 1 2 )nb n n n    ，， ，根据题意可知， 1 0b  且 0nb  ，即 2  且 2 *( )n n n    N ，这时总存在 * 0n N ，满足：当 0n n≥ 时， 0nb  ； 当 0 1n n ≤ 时， 0nb  ．所以由 1n n na b a  及 1 1 0a   可知，若 0n 为偶数， 则 0 0na  ，从而当 0n n 时， 0na  ；若 0n 为奇数，则 0 0na  ， 从而当 0n n 时 0na  ．因此“存在 *mN ，当 n m 时总有 0na  ” 的充分必要条件是： 0n 为偶数， 记 0 2 ( 1 2 )n k k  ，， ，则  满足 2 2 2 2 1 (2 ) 2 0 (2 1) 2 1 0 k k b k k b k k              ． 故  的取值范围是 2 2 *4 2 4 2 ( )k k k k k     N ． 专题四：解析几何综合题型分析及解题策略 【命题趋向】 纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之 间的综合，如 08 年 08 年江西理 7 文 7 题(5 分)是基础题，考查与向量的交汇、08 年天津文 7 题(5 分)是基 础题，考查圆锥曲线间的交汇、08 年 08 徽理 22 题(12 分)难度中档偏上，考查圆锥曲线与向量、直线与圆 锥曲线的综合、08 年福建 21 题(12 分)难度中档偏上，考查圆锥曲线与不等式的交汇、08 年湖北理 19 题(12 分)中等难度，考查直线、圆与圆锥曲线的综合题、08 年江苏 21 题(12 分)中档偏下题，考查解析几何与三 角函数的交汇，等等.预计在 09 年高考中解答题仍会重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，同时可能与平 面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法 与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参 数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、 三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的"应更 多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题"的思想. 【考试要求】 1．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系． 2．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 3．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程． 4．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程． 5．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 6．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 【考点透视】 解析几何是高中数学的重要内容，包括直线和圆与圆锥曲线两部分，而直线和圆单独命为解答题较少，只 有极个别的省市高考有出现，而圆锥曲线是解析几何的核心内容，每年在全国及各省市的高考中均出现. 主要考查热点： （1）直线的方程、斜率、倾斜角、距离公式及圆的方程； （2）直线与直线、直线与圆的位置关系及对称问题等； （3）圆锥曲线的定义及标准方程； （4）与圆锥曲线有关的轨迹问题； （5）与圆锥曲线有关的最值、定值问题； （6）与平面向量、数列及导数等知识相结合的交汇试题. 【典例分析】 题型一 直线与圆的位置关系 此类题型主要考查：（1）判断直线与圆的三种位置关系是：相离、相切、相交；（2）运用三种位置关系求 参数的值或取值范围；（3）直线与圆相交时，求解弦长、弦的中点问题及轨迹问题. 【例 1】 若直线 3x＋4y＋m＝0=0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 没有公共点，则实数 m 的取值范围是 _____________. 【分析】 利用点到直线的距离来解决. 【解】 圆心为(1,－2)，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径，得 d＝|3×1＋2×(－4)＋m|32＋42＞r＝1，即|m－5|＞5，m∈(－∞,0)∪(10,＋∞). 【点评】 解答此类题型的思路有：①判别式法(即方程法)，②平面几何法(运用 d 与 r 的关系)，③数形结 合法.由于圆的特殊性(既是中心对称图形又是轴对称)，因此解答直线与圆的位置关系时一般不利用判别式 法，而利用平面几何法求解，即利用半径 r、圆心到直线的距离 d 的求解. 题型二 圆锥曲线间相互依存 抛物线与椭圆、双曲线的依存关系表现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式，只要对三种圆锥 曲线的概念与性质掌握得好，处理这类问题的困难不大. 【例 2】 (2009 届大同市高三学情调研测试)设双曲线以椭圆 x225＋y29＝1 长轴的两个端点为焦点，其准 线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ） A．±2 B．±43 C．±34 D．±12 【分析】 根据椭圆的两个端点坐标确定双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的焦点得到双曲线的准线方程， 由此得到关于双曲线关于 a、c 的值，进而得到 b 的值，再进一步求得渐近线的斜率. 【解】 由椭圆方程知双曲线的焦点为(5，0)，即 c＝5，又同椭圆的焦点得 a2c＝4，所以 a＝25，则 b＝ c2－a2＝5，故双曲线渐近线的斜率为±ba＝±12，故选 D. 【点评】 本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程、几何性质及相关几何量之间的相互关系.本题主要体现 为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式的圆锥曲线间交汇，解答时主要根据这两种曲线的相同点 建立关于基本量 a、b、c、p 之间的方程，再通过解方程求出相关基本量值，进而求取相关的问题. 题型三 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系主要考查三种题型：一是判断已知直线与已知曲线的位置关系；二是根据直线 与圆锥曲线的位置关系，求直线或曲线方程的参数问题；三是求直线与圆锥曲线相交时所得弦长、弦的中 点及轨迹问题等.解答此类题型的一般方法化为二次方程，利用判别式与韦达定理来求解. 【例 3】 (2009 届东城区高中示范校高三质量检测题)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为（2，0），实 轴长为 23．(Ⅰ)求双曲线 C 的方程；(Ⅱ)若直线 l：y＝kx＋2 与双曲线 C 左支交于 A、B 两点，求 k 的取值 范围；(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M（0，b），求 b 的取值范围． 【分析】 第(1)小题利用直接法求解；第(Ⅱ)小题将直线与双曲线方程联立消去 y，然后利用判别式及韦 达定理求解；第(Ⅲ)小题须利用"垂直"与"平分"联系两条直线斜率间的关系及中点坐标公式建立 b 关于斜率 k 的表达式，结合第(Ⅱ)小题 k 的范围求解. 【解】 (Ⅰ)设双曲线方程为 x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)， 由已知，得 a＝3，c＝2，b2＝c2－a2＝1，故双曲线方程为 x23－y2＝1. (Ⅱ)设 A(xA，yA)，B(xB，yB )，将 y＝kx＋2 代入 x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0． 由题意知 1－3k2≠0△＝36(1－k2)＞0xA＋xB＝62k1－3k2＜0xAxB＝－91－3k2＞0，解得，33＜k＜1． ∴当 33＜k＜1 时，l 与双曲线左支有两个交点． （Ⅲ）由（Ⅱ）得：xA＋xB ＝62k1－3k2，∴yA＋yB＝(kxA＋ )＋(kxB＋2)＝k(xA＋xB)＋22 ＝221－3k2． ∴AB 中点 P 的坐标为（32k1－3k2，21－3k2）． 设 l0 方程为：y＝－1kx＋b，将 P 点坐标代入 l0 方程，得 b＝421－3k2． ∵33＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0，∴b<－22． ∴b 的取值范围为：(－ ，－22)． 【点评】 本题主要考查利用直接法求双曲线标准方程、直线与圆锥曲线位置关系不等式的解法等知识， 以及考查函数与方程的思想、转化与化归的思想，考查逻辑思维能力及运算能力.直线与圆锥曲线位置关系 的主要涉及到交点个数问题、中点问题、弦长问题、最值与定值问题等，解答时往往通过消元最终归结为 一元二次方程来进行解决.特别地：(1)如果遇到弦的中点与斜率问题则考虑利用"点差法"较为简单，但须注 意对结果进行检验；(2)求最值与参数的范围时注意确定自变量的范围；(3)过焦点的弦长问题一般利用圆锥 曲线的统一定义进行转化可大大减少运算量. 题型四 圆锥曲线与三角函数的交汇 此类试题主要体现在以三角函数为直线方程、圆的方程或圆锥曲线方程的系数，或根据三角函数满足的等 式求解解析几何问题，或利用三角为工具研究解析几何问题等，解答时一般要根据所涉及到的解析几何知 识及三角知识，将它们有机的结合在一起进行解答. 【例 4】 (08 年高考新课标各地联考考场全真提高测试)已知 是三角形的一个内角，且 sin ＋cos ＝15，则方程 x2tan －y2cot ＝－1 表示 （ ） A．焦点在 x 轴上的双曲线 B．焦点在 y 轴上的双曲线 C．焦点在 x 轴上的椭圆 D．焦点在 y 轴上的椭圆 【分析】 首先利用同角三角函数的基本关系可求得正弦函数与余弦函数值，进而具体化圆锥曲线方程， 再根据方程进行判断. 【解】 由 sin ＋cos ＝15 及 sin2 ＋cos2 ＝1，且 0＜ ＜π，解得 sin ＝45，cos ＝－35，因此 x2tan － y2cot ＝－1 就是 4x23－3y24＝1，表示焦点在 x 轴上的双曲线，故选 A. 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系及双曲线方程的识别.解答的关键是求得 sinα与 cosα的 值，以及会根据圆锥曲线方程识别曲线类型的能力. 题型五 圆锥曲线与向量的交汇 圆锥曲线与向量知识交汇在一起的综合题，以复杂多变、综合性强、解法灵活，知识覆盖面广，注重考查 逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方程应用能力.在解题中需要把握住知识间的联系，注意借助转化 的思想、方程思想等. 【例 5】 (2009 届湖南省高考模拟题)在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别为 A(－1， 0)、B(1，0)，平面内两点 G，M 同时满足下列条件：①→GA＋→GB＋→GC＝→0；②|→MA|＝|→MB|＝| →MC|：③→GM∥→AB.(Ⅰ)求△ABC 的顶点 C 的轨迹方程；(Ⅱ)过点 P(3，0)的直线 l 与(Ⅱ)中轨迹交于 E， F 两点，求→PE·→PF 的取值范围 . 【分析】 由于涉及到的动点有三个，因此采用设而不求思想先设 C、G、M 三点的坐标，然后将坐标代 入①②中的两个等式，同时利用向量平行的条件进行转化，第(Ⅰ)小题就可求解.第(Ⅱ)小题则需利用判别 式确定直线与所求轨迹相交的条件，即直线斜率 k 的范围，然后利用向量的数量积公式及韦达定理建立→ PE·→PF 关于 k 的函数式，最后根据求函数值域的方法即可求得结果. 【解】 （Ⅰ）设 C(x，y)，G(x0，y0)，M(xM，yM)， ∵|→MA|＝|→MB|，∴M 点在线段 AB 的中垂线上. 由已知 A(－1,0)，B(1,0)，∴xM＝0，又∵→GM∥→AB，∴yM＝y0， 又→GA＋→GB＋→GC＝→0，∴(－1－x0,y0)＋(1－x0,－y0)＋(x－x0,x－y0)＝(0,0)， ∴x0＝x3，y0＝y3，yM＝y3， ∵|→MB|＝|→MC|，∴(0－1)2＋(y3－0)2＝(0－x)2＋(y3－y)2， ∴x2＋y23＝1(y≠0)，∴顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y23＝1(y≠0). （Ⅱ）设直线 l 方程为：y＝k(x－3)，E(x1,y1)，F(x2,y2)， 由 y＝k(x－3)x2＋y23＝1，消去 y 得：(k2＋3)x2－6k2x＋9k2－3＝0…①， ∴x1＋x2＝6k2k2＋3，x1x2＝9k2－3k2＋3， 而→PE·→PF＝|→PE|·|→PF|·cos0°＝|PE|·|PF|＝1＋k2|3－x1|·1＋k2|3－x2| ＝(1＋k2)|9－3(x1＋x2)＋x1x2|＝(1＋k2)|9k2＋27－18k2＋9k2－3k2＋3|＝24(k2＋1)k2＋3＝24－48k2＋3， 由方程①知△＝(6k2)2－4(k2＋3)(9k2－3)＞0，k2＜38， ∵k≠0，∴0＜k2＜38，∴k2＋3∈(3,278)，∴→PE·→PF∈(8,889). 【点评】 本题主要考查向量的坐标运算及几何意义、轨迹的直接求法、不等式的解法，考查"设而不求 法"结合二次方程的判别式及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系中的应用，同时考查函数与方程的 思想、转化的思想以及逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法应用能力.本题解答有两个关键：(1) 对条件中的向量关系的转化；(2)建立→PE·→PF 关于直线斜率 k 的函数.解答本题还有一个易错点：忽视 直线与圆锥曲线相交的条件限制，造成所求范围扩大. 题型六 圆锥曲线与数列的交汇 此类试题主要体现为以解析几何中的点的坐标为数列，或某数列为圆锥曲线方程的系数，或以直线与圆及 圆锥曲线的弦长构成数列等.解答时一般须根据解析几何的知识确定数列的通项或递推关系，进而利用数列 的知识作答. 例 6 (2009 届渭南市高三教学质量检测)已知双曲线 an 1y2－anx2＝an 1an 的一个焦点为(0，cn)，一条渐 近线方程为 y＝2x，其中{an}是以 4 为首项的正数数列.(Ⅰ)求数列{cn}的通项公式；(Ⅱ)求数列{ncn3}的前 n 项和 Sn. 【分析】 将焦点坐标与双曲线实轴与短轴的关系建立 cn 与 an、an 1 的等式，再利用渐近线的斜率与实 轴与短轴的可判断数列{an}为等比数列，由此可求得 an 的表达式，进而求得{cn}的通项公式，由此解决第(Ⅰ) 小题；第(Ⅱ)小题利用第(Ⅰ)的结果确定数列{ncn3}的通项公式，根据公式特点选择利用错位相减法求解. 【解】 (Ⅰ)∵双曲线方程 y2an－x2an 1＝1 的焦点为(0，cn)，∴cn＝an＋an 1， 又∵一条渐近线方程为 y＝2x，即 anan 1＝2，∴anan 1＝2，又 a1＝4， ∴an＝4·2n 1＝2n+1，即 cn＝2n+1＋2n＝3·2n. (Ⅱ)∵ncn3＝n·2n，∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ① 2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋ … ＋(n－1)·2n＋n·2n+1 ② 由①－② 得 －Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n+1， ∴S＝－2(1－2 n)1－2＋n·2 n+1＝2－2 n+1＋n·2 n+1. 【点评】 本题主要考查双曲线的几何性质、等比数列的定义和通项公式及利用错位相减法，同时考查转 化思想及解答综合处理交汇试题的能力.本题是一道与数列相结合的一道综合题，但难度并不大.解答本题 注意两点基本知识及方法的应用：（2）通过双曲线的焦点坐标与渐近线方程建立等式；（2）利用错位相减 法求解求和. 【专题训练】 一、选择题 1．设 x，y∈R，且 2y 是 1＋x 和 1－x 的等比中项，则动点(x，y)的轨迹为除去 轴上点的（ ） A．一条直线 B．一个圆 C．双曲线的一支 D．一个椭圆 2．已知△ABC 的顶点 A（0，－4），B（0，4），且 4(sinB－sinA)＝3sinC，则顶点 C 的轨迹方程是 （ ） A．x29－y27＝1(x＞3) B．x27－y29＝1(x＞7) C．y29－x27＝1(y＞3) D．y27－x29＝1(y＜－ 7) 3．现有一块长轴长为 10 分米，短轴长为 8 分米，形状为椭圆的玻璃镜子，欲从此镜中划块面积尽可能大 的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 （ ） A．10 平方分米 B．20 平方分米 C．40 平方分米 D．41 平方分米 4．设 A(x1，y1)，B(4，95)，C(x2，y2)是右焦点为 F 的椭圆 x225＋y29＝1 上三个不同的点，则"|AF|，|BF|， |CF|成等差数列"是"x1＋x2＝8"的 （ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要 5．直线 l：y＝k(x－2)＋2 与圆 C：x2＋y2－2x－2y＝0 相切，则直线 l 的一个方向向量→v＝ （ ） A．（2，－2） B．（1，1） C．（－3，2） D．（1，12） 6．已知椭圆 E 的离心率为 e，两焦点为 F1，F2，抛物线 C 以 F1 为顶点，F2 为焦点，P 为两曲线的一个交 点，若|PF1||PF2|＝e，则 e 的值为 （ ） A．33 B．32 C．22 D．63 7．椭圆 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为 F1，F2，过 F1 的直线 与椭圆相交于 A、B 两点。若∠AF1F2 ＝60 ，且→AF1·→AF2＝0，则椭圆的离心率为 （ ） A．3＋1 B．3－1 C．2－3 D．4－3 8．如图一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后 抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于 P，则点 P 形成的图形是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 9．如图，P 是椭圆 x225＋y29＝1 上的一点，F 是椭圆的左焦点，且→OQ＝12(→OP＋→OF)，|OQ→|＝4， 则点 P 到该椭圆左准线的距离为 （ ） A．6 B．4 C．3 D．52 10． (理科)设 x1，x2∈R，a＞O，定义运算"*"：x1*x2＝(x1＋x2)2－(x1－x2)2，若 x≥O，则动点 P(x，x*a) 的轨迹方程为 （ ） A．y2＝4ax B．y2＝4ax(y≥0) C．y2＝－4axD．y2＝－4ax(y≥0) 11．设集合 A＝{(x，y)|x，y，1－x－y 是三角形的三边长}，则 A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分） 是( ) A． B． C． D． 12．在平面直线坐标系 xoy 中，已知△ABC 的顶点 A（－4，0）和 C（4，0），顶点 B 在椭圆 x225＋y29＝1 上，则 sinA＋sinCsinB＝ （ ） A．45 B．－45 C．54 D．－54 二、填空题 13．若抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点与椭圆 x28＋y24＝1 的右焦点重合，则 的值为_____________. 14．若点(1，1)到直线 xcosα＋ysinα＝2 的距离为 d，则 d 的最大值是_______. 15．椭圆 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为 F1，F2，过 F1 的直线 与椭圆相交于 A、B 两点.若∠AF1F2 ＝60 ，且→AF1·→AF2＝0，则椭圆的离心率为______． 16．设 A(1，0)，点 C 是曲线 y＝1－x2(0≤x≤1)上异于 A 的点，CD⊥y 轴于 D，∠CAO＝θ(其中 O 为原点)， 将|AC|＋|CD|表示成关于θ的函数 f(θ)，则 f(θ)＝_________. 三、解答题 17．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线 x－3y＝4 相切．(1)求圆 O 的方程；(2)圆 O 与 x 轴相交 于 A，B 两点，圆内的动点 P 使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求→PA·→PB 的取值范围． 18．(08 届麻城博达学校高三数学综合测试四)设⊙C1，⊙C2，…，⊙Cn 是圆心在抛物线 y＝x2 上的一系列 圆，它们的圆心的横坐标分别记为 a1，a2，…，an，已知 a1＝14，a1＞a2＞…＞an＞0，⊙Ck(k＝1，2，… n)都与 x 轴相切，且顺次逐个相邻外切(Ⅰ)求由 a1，a2，…，an 构成的数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求证：a21 ＋a22＋…＋a2n＜14. 19．（08 年泰兴市 3 月调研）已知⊙O：x2＋y2＝1 和定点 A(2，1)，由⊙O 外一点 P(a，b)向⊙O 引切线 PQ， 切点为 Q，且满足|PQ|＝|PA|.(Ⅰ)求实数 a，b 间满足的等量关系；(Ⅱ)求线段 PQ 长的最小值；(Ⅲ)若以 P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点，试求半径最小值时⊙P 的方程. 20．已知定点 A(－2，－4)，过点 A 作倾斜角为 45 的直线 l，交抛物线 y2＝2px(p＞0)于 B、C 两点，且|BC|＝210． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点 D，使得|DB|＝|DC|成立？如果存在，求出点 D 的坐标；如果不 存在，请说明理由． 21．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M(1，2)，它们在 x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是 坐标轴，抛物线的顶点是坐标原点.(Ⅰ)求这三条曲线的方程；(Ⅱ)已知动直线 l 过点 P(3，0)，交抛物线于 A、 B 两点，是否存在垂直于 x 轴的直线 l 被以 AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出 l 的方程；若 不存在，说明理由. 22．椭圆 C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点为 F1、F2，短轴两端点 B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点 N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 52.(Ⅰ)求此时椭圆 C 的方程；(Ⅱ)设斜率为 k（k≠0） 的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 E、F，Q 为 EF 的中点，问 E、F 两点能否关于过点 P（0，33）、Q 的 直线对称？若能，求出 k 的取值范围；若不能，请说明理由． 【专题训练】参考答案 一、选择题 1．D 【解析】 由题意得(2y)2＝(1＋x)(1－x)，即 x2＋4y2＝1. 2．C 【解析】 由条件 c＝|AB|＝8.由正弦定理：4(b－a)＝3c＝24，b－a＝6，即|CA|－|CB|＝6.点 C 的 轨迹是焦点在 y 轴的双曲线上支，∵a ＝3，c ＝4，b ＝7，其方程 y29－x27＝1(y＞3). 3．C 【解析】 设椭圆方程为 x225＋y216＝1，P(5cos ，4sin )，Q(－5cos ，4sin )，R(5cos ，－4sin )是 矩形的三顶点，则 S 矩形＝|10cos |·|8sin |＝40|sin2 |≤40. 4．S 【解析】 a＝5，b＝3，c＝4，e＝45，F(4，0)，由焦半径公式可得|AF|＝5－45x1，|BF|＝5－45×4 ＝95，|CF|＝5－45x2，故|AF|，|BF|，|CF|成等差数列 (5－45x1)＋(5－45x2)＝2×95 x1＋x2＝8. 5．A 【解析】 圆 C：(x－1) 2＋(y－1)2＝2，圆心 C(1，1)，半径 r＝2，直线 l：kx－y－2k＋2＝0，由直 线与圆相切的条件知|k－1－2k＋2|k2＋1＝2，解得 k＝－1. 6．A 【解析】 过 P 作抛物线的准线的垂线，垂足为 H，则抛物线准线为 x＝－3c，|PF1||PF2|＝e，又 |PF2|＝|PH|，∴|PF1||PH|＝e，∴x＝－3c 也为椭圆 E 的准线．∴－a2c＝－3c e＝33． 7．B 【解析】 →AF1·→AF2＝0，∴AF1⊥A2F,∵∠AF1F2＝60 ,∴|F1F2|＝2|AF1|，|AF2|＝3|AF1|， ∴2a＝|AF1|＋|AF2|，2c＝|F1F2|，e＝ca＝|F1F2||AF1|＋|AF2|＝3－1. 8．椭圆 【解析】 |PO|＋|PF|＝|PM|＋|PO|＝R(半径)＞|OF|，根据椭圆定义知 P 形成的图形 是以 O、F 为焦点的椭圆. 9．D 【解析】 由→OQ＝12(→OP＋→OF)，得 Q 是 PF 的中点.又∵|OQ→|＝4，所以 P 点到右焦点 F'的距离为 8，∴|PF|＝2×5－8＝2，又|PF|d＝e＝ca＝45(d 表示 P 到椭圆左准线的距离)，∴d ＝52. 10．B 【解析】 设 P(x，y)，则 y＝x*a＝(x＋a)2－(x－a)2＝4ax，即 y2＝4ax(y≥0). 11．A 【解析】 由构成三角形的条件知 x＋y＞1－x－yx＋1－x－y＞yy＋1－x－y＞x，即 2x＋2y ＞12y＜12x＜1，易知选 A. 12．C 【解析】 由双曲线方程及定义|BC|＋|AB|＝10，|AC|＝8，根据正弦定理知 sinA＋sinCsinB ＝|BC|＋|AB||AC|＝54. 二、填空题 13．4 【解析】 抛物线的焦点为(p2，0)，椭圆的右焦点为(2，0)，则由 p2＝2，得 p＝4. 14．2＋2 【解析】 d＝|cosα＋ysinα|＝|2sin(α＋ 4)－2|，当 sin(α＋ 4)＝－1 时，d 的最大值是 2 ＋2. 15．3－1 【解析】 →AF1·→AF2＝0，∴AF1⊥A2F，∵∠AF1F2＝60 ，∴|F1F2|＝2|AF1|，|AF2|＝ 3|AF1|，∴2a＝|AF1|＋|AF2|，2c＝|F1F2|，e＝ca＝|F1F2||AF1|＋|AF2|＝3－1. 16．－2cos2θ＋2cosθ＋1，θ∈( 4， 2) 【解析】 根据条件知∠COA＝180 －2θ，且θ∈( 4， 2)， 则点 C(cos(180 －2θ)，sin(180 －2θ))，即 C(－cos2θ，sin2θ)，则|AC|＋|CD|＝(1＋cos2θ)2＋sin22θ －cos2θ＝－2cos2θ＋2cosθ＋1，θ∈( 4， 2). 三、解答题 17．【解析】 (Ⅰ)依题知圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x－3y＝4 的距离，即 r＝41＋3＝2， ∴圆 O 的方程为 x2＋y2＝4． (Ⅱ)不妨设 A(x1，0)，B(x2，0)，x1＜x2，由 x2＝4 即得 A(－2，0)，B(2，0)， 设 P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得 (x＋2)2＋y2·(x－2)2＋y2＝x2＋y2，即 x2－y2＝2， →PA·→PB＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)， 由于点 P 在圆 O 内，故 x2＋y2＜4x2－y2＝2，由此得 y2＜1， 又∵y2≥0，所以→PA·→PB 的取值范围为 －2，0 ． 18．【解析】 (1)设相邻两圆心为 Ck(xk，x2k)，Ck+1(xk，x2 k+1)，相应的半径为 rk，rk+1，则 rk＝x2k，rk+1＝x2 k+1，rk＞rk+1， 如图，作 Ck+1Bk⊥AkCk 于 Bk，则|CkCk+1|2－|CkBk|2＝|AkAk+1|2， 即(rk＋rk+1)2－(rk－rk+1)2＝(xk－xk+1)2，∴1xk+1－1xk＝2， ∴{1xk}是首项为 4，且公差为 2 的等差数列，∴xk＝12(k＋1). (2)∵1(k＋1)2＜1k(k＋1)＝1k－1k＋1， ∴x21＋x22＋…＋x2n＝14[122＋132＋1(n＋1)2]＜14(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14(1－1n＋1)＜ 14. 19．【解析】 （1）连 OP，∵Q 为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2. 又由已知|PQ|＝|PA|，故|PQ|2＝|PA|2，即 a2＋b2－12＝(a－2)2＋(b－1)2， 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为：2a＋b－3＝0. (Ⅱ)由 2a＋b－3＝0，得 b＝－2a＋3. ∴|PQ|＝a2＋b2－1＝a2＋(－2a＋3)2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－65)2＋45， 故当 a＝65 时，|PQ|min＝255，即线段 PQ 长的最小值为 255. (Ⅲ)设⊙P 的半径为 R，OP 设⊙O 有公共点，⊙O 的半径为 1， ∴|R－1|≤|OP|≤R＋1，R≥|OP|－1，且 R≤|OP|＋1. 而|OP|＝a2＋b2＝a2＋(－2a＋3)2＝5(a－65)2＋95， 故当 a＝65 时，|PQ|min＝355，此时 b＝－2a＋3＝35，R min＝355－1， 得半径取最小值⊙P 的方程为(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2. 20．【解析】 (Ⅰ)直线 l 方程为 y＝x－2，将其代入 y2＝2px，并整理，得 x2－2(2＋p)x＋4＝0…①， ∵p＞0，∴△＝4(2＋p)2－16＞0， 设 B(x1,y1)、C(x2,y2)，∴x1＋x2＝4＋2p，x1·x2＝4， ∵|BC|＝210，而|BC|＝1＋k2|x1－x2|， ∴22p2＋4p＝210，解得 p＝1，∴抛物线方程 y2＝2x． (Ⅱ)假设在抛物线 y2＝2x 上存在点 D(x3,y3)，使得|DB|＝|DC|成立， 记线段 BC 中点为 E(x0,y0)，则|DB|＝|DC| DE⊥BC kDE＝－1k1＝－1， 当 p＝1 时，①式成为 x2－6x＋4＝0，∴x0＝x1＋x22＝3，y0＝x0－2＝1， ∴点 D(x3,y3)应满足 y23＝2x3y3－1x3－3＝－1，解得 x3＝2y3＝2 或 x3＝8y3＝－4． ∴存在点 D(2，2)或(8，－4)，使得|DB|＝|DC|成立． 21．【解析】 (Ⅰ)设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0)，将点 M(1，2)坐标代入方程得 p＝2， 所以抛物线方程为 y2＝4x. 由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F1（－1，0），F2（1，0），所以 c＝1，c ＝1， 对于椭圆，2a＝|MF1|＋|MF2|＝(1＋1)2＋22＋(1－1)2＋22＝22＋2，所以 a＝1＋2， 所以 a2＝(1+2)2＝3＋22，所以 b2＝a2－c2＝2＋22，所以椭圆方程为 x23＋22＋y22＋22＝1， 对于双曲线，2a ＝||MF1|－|MF2||＝22－2，所以 a ＝2－1，所以 a 2＝3－22， 所以 b ＝c 2－a 2＝22－2，所以双曲线方程为 x23－22－y222－2＝1， (Ⅱ)设 AP 的中点为 G，l 的方程为 x＝t，以 AP 为直径的圆交 l 于 D、E 两点，DE 中点为 H， 令 A(x1，y1)，所以 G(x1＋32，y12)，所以|DG|＝12|AP|＝12(x1－3)2＋y12， |GH|＝|x1＋32－t|＝12|(x1－2t)＋3|， 所以|DH|2＝|DG|2－|GH|2＝14[(x1－3)2＋y12]－14[(x1－2t)＋3]2＝(t－2)x1－t2＋3t， 当 t＝2 时，|DH|2＝－4＋6＝2 为定值，所以|DE|＝2|DH|＝22 为定值，此时 l 的方程为 x＝2. 22．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质，线段 F1F2 与线段 B1B2 互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外 接圆的圆心，故该椭圆中 a＝2b＝2c，即椭圆方程可为 x2＋2y2＝2b2. 设 H（x,y）为椭圆上一点，则 |HN|2＝x2＋(y－3)2＝－(y＋3)2＋2b2＋18，其中－b≤y≤b， 若 0＜y＜3，则 y＝－b 时，|HN|2 有最大值 b2＋6b＋9， 由 b2＋6b＋9＝50，得 b＝－3±52(舍去)， 若 b≥3，当 y＝－3 时，|HN|2 有最大值 2b2＋18. 由 2b2＋18＝50，得 b2＝16， 故所示椭圆的方程为 x232＋y216＝1. （Ⅱ）设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，Q(x0，y0)，则 由 x1232＋y1216＝1 与 x2232＋y2216＝1 二式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)32－(y1＋y2)(y1－y2)16＝0， 又 x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，且 k＝y1－y2x1－x2，则 x0＋2ky0＝0， 又直线 PQ⊥直线 m，∴直线 PQ 方程为 y＝1kx＋33， 将点 Q(x0，y0)代入上式得，y0＝1kx0＋33……④， 由③④得 Q(233k，－33)Q， 而 Q 点必在椭圆内部，x0232＋y0216＜1，由此得 k2＜472， 又 k≠0，∴－942＜k＜0 或 0＜k＜942， 故当 k∈(－942，0)∪(0，942)时，E、F 两点关于点 P、Q 的直线对称. 专题五：概率与统计综合性题型分析及解题策略 【命题趋向】 概率与统计以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中是相对独立的，但是，概率与统计试题的 背景与日常生活最贴近，联系最为紧密，不管是从内容上，还是从思想方法上，都体现着应用的观念与意 识，在展现分类讨论、化归思想与同时，培养学生解决问题的能力.在高考的考查中，基本上都是 1 道小题 以及 1 道解答题，其中小题较容易，解答题逐渐取代了 90 年代兴起的应用题，其难度不大，但有一定的 灵活性，对题目的背景和题意理解要求较高，如 08 年重庆理 5 题(5 分)为容易题，考查正态分布的计算及 密度曲线性质、08 年湖南文 12 题(12 分)为中档题，考查样本的识别与抽样、08 年安徽高考理科第 19 题(12 分)是中档题，考查几种事件的交汇、08 年福建理 20 题(12 分)中等难度，考查概率的计算与离散随机变量 的分布列及期望，等等.预计在 09 年高考中解答题仍可能是文科题重点考查古典概率，互斥事件的概率， 独立事件的概率，独立重复事件的概率等，考查应用意识和实践能力；理科重点考查随机变量的分布列 与期望，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复事件的概率等，穿插考查 合情推理能力和有关优化决策能力，难度可能有所提升，考生应有心理准备.文科一般两个问题都考查概率 问题，而理科一般第 1 问考概率的计算，第 2 问考分布列、期望的计算. 【考试要求】 1．了解等可能性事件的概念的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率． 2．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率．会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发 生 k 次的概率． 3．了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列． 4．了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出 期望值、方差． 5．会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本． 6．会用样本频率分布去估计总体分布，了解正态分布的意义与主要性质及线性回归的 方法和简单应用． 【考点透视】 主要考点： （1）等可能事件、互斥事件(对立事件)、相互独立事件及独立重复实验的基本知识及四 种概率计算公式的应用，考查基础知识和基本计算能力. （2）求简单随机变量的分布列、数学期望及方差，特别是二项分布，常以现实生活、社 会热点为载体. （3）抽样方法的确定与计算、总体分布的估计. 【典例分析】 题型一 几类基本概型之间的综合 在高考解答题中，常常是将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查， 主要考查综合计算方法和能力.此类问题一般都同时涉及几类事件，它们相互交织在一起，难度较大，因此 在解答此类题时，在透彻理解各类事件的基础上，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所包 含的所属的事件类型.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件. 【例 1】 （08·安徽高考）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了 10 张 卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.（Ⅰ） 现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这 10 张卡片总随机抽取 1 张，测 试后放回，余下 2 位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上， 拼音都带有后鼻音“g”的概率。（Ⅱ）若某位被测试者从 10 张卡片中一次随机抽取 3 张， 求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于 2 张的概率. 【分析】 第（Ⅰ）小题首先确定每位测试者抽到一张带“g”卡片的概率，再利用相互独 立事件的概率公式计算；第（Ⅱ）利用等可能事件与互斥事件的概论公式计算. 【解】 （Ⅰ）每次测试中，被测试者从 10 张卡片中随机抽取 1 张卡片上，拼音带有 后鼻音“g”的概率为 3 10 ，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的， 因而所求的概率为 3 10 × 3 10 × 3 10 ＝ 27 1000 . （Ⅱ）设 Ai(i＝1，2，3)表示所抽取的三张卡片中，恰有 i 张卡片带有后鼻音“g”的事件， 且其相应的概率为 P(Ai)，则 P(A2)＝C1 7C2 3 C 3 10 ＝ 7 40 ，P(A3)＝ C3 3 C 3 10 ＝ 1 120 ， 因而所求概率为 P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝ 7 40 ＋ 1 120 ＝11 60 . 【点评】 本题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率.解答题注意不要 混淆了互斥事件与相互独立事件，第（Ⅱ）的解答根据是“不少于”将事件分成了两个等 可能事件，同时也可以利用事件的对立事件进行计算. 【例 2】（08·福建高考）三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分 别为1 5 ，1 4 ，1 3 ，且他们是否破译出密码互不影响。(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密 码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由. 【分析】 第（Ⅰ）小题可根据“恰有二人”将事件分为三个互斥的事件进行计算；第（Ⅱ） 小题利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算“密码未被破译”的概率，然后再利用 对立事件可计算“密码被破译”的概率，进而比较大小. 【解】记“第 i 个人破译出密码”为事件 Ai(i＝1，2，3)，依题意有 P(A1)＝1 5 ，P(A2)＝1 4 ，P(A3)＝1 3 ，且 A1，A2，A3 相互独立. (Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件 B，则有 B＝A1A2￣A3＋A1￣A2A3＋￣A1A2A3，且 A1A2￣A3、A1￣A2A3、￣A1A2A3 彼此互斥 于是 P(B)＝P(A1A2￣A3)＋P(A1￣A2A3)＋P(￣A1A2A3)＝1 5×1 4×2 3 ＋1 5×3 4×1 3 ＋4 5×1 4×1 3 ＝ 3 20. 答：恰好二人破译出密码的概率为 3 20. (Ⅱ)设“密码被破译”为事件 C，“密码未被破译”为事件 D. D＝￣A1·￣A2·￣A3，且￣A1、￣A2、￣A3相互独立，则 P(D)＝P(￣A1)·P(￣A2)·P(￣A3)＝4 5×3 4×2 3 ＝2 5. 而 P(C)＝1－P(D)＝3 5 ，故 P(C)＞P(D). 答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. 【点评】 本题主要考查互斥事件、对立事件、相互独立的概率的计算.第（Ⅰ）小题正 确解答的关键是将所求事件分解为三个互斥的事件，而第（Ⅱ）的解答则充分利用对立 2 事件进行的计算.一般情况下，如果正面计算概率情况比较复杂或过程较繁，则可以考虑 计算对立事件的概率来解答. 【例 3】 （08·重庆高考）在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中，只有一个是正确 的.若对 4 道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这 4 道题中：(Ⅰ)恰有两道题答 对的概率；(Ⅱ)至少答对一道题的概率. 【分析】 第(Ⅰ)小题事件为独立重复试验，因此可直接计算；第(Ⅱ)小题可以考虑利用 正确解答，也可以考虑其对立事件进行解答. 【解】 “选择每道题的答案”为一次试验，则这是 4 次独立重复试验，且每次试验中“选 择正确”这一事件发生的概率为1 4 .由独立重复试验的概率计算公式得： （Ⅰ）恰有两道题答对的概率为 P4(2)＝C2 4(1 4 )2(3 4 )2＝ 27 128 . （Ⅱ）解法一：至少有一道题答对的概率为 1－P4(0)＝1－C0 4(1 4 )0(3 4 )4＝1－ 81 256 ＝175 256 . 解法二：至少有一道题答对的概率为分为 4 类情形： P4(1)＝C1 4(1 4 )1(3 4 )3＝108 256 ，P4(2)＝C2 4(1 4 )2(3 4 )2＝ 27 128 ，P4(3)＝C3 4(1 4 )3(3 4 )1＝ 12 256 ，P4(4)＝C4 4(1 4 )4(3 4 )0＝ 1 256 . 所以至少答对一道的概率为 P4(1)＋P4(2)＋P4(3)＋P4(4)＝108 256 ＋ 54 256 ＋ 12 256 ＋ 1 256 ＝175 256 . 【点评】 本题主要考查独立重复试验及对立事件、互斥事件的综合运算.从第(Ⅱ)小题 的两种解法可以看到，当正确解答分类情况较多时，还是计算其对立事件的概率来的快. 题型二 求离散型随机变量的分布列、期望与方差 此考点主要考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集处理 信息的能力.主要题型：（1）离散型随机变量分布列的判断；（2）求离散型随机变量的分 布列、期望与方差应用；（3）根据离散型随机变量的分布列求概率；（4）根离散型随机 变量分布列、期望与方差性质的求参数. 【例 4】 (08·湖北理)袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号 的有 n 个(n＝1，2，3，4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.(Ⅰ)求ξ的分布列，期 望和方差；(Ⅱ)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求 a，b 的值. 【分析】 第(Ⅰ)小题根据等可能事件的概率计算公式可求ξ取 0、1、2、3、4 时的概 率，从而得分布列；第(Ⅱ)小题根据离散型随机变量的期望与方差建立方程组可解决. 【解】 （Ⅰ）ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 ∴Eξ＝0×1 2 ＋1× 1 20 ＋2× 1 10 ＋3× 3 20 ＋4×1 5 ＝1.5. Dξ＝(0－1.5)2×1 2 ＋(1－1.5)2× 1 20 ＋(2－1.5)2× 1 10 ＋(3－1.5)2× 3 20 ＋(4－1.5)2×1 5 ＝2.75. （Ⅱ）由 Dη＝a2Dξ，Eη＝aEξ＋b，得 a2×2.75＝11 1.5a＋b＝1 ，解得 a＝2 b＝－2或 a＝－2 b＝4 . 【点评】（1）求离散型随机变量的分布列有三个步骤：①明确随机变量 X 取哪些值；② 计算随机变量 X 取每一个值时的概率；③将结果用二维表格形式给出.计算概率时注意 结合排列与结合知识. （2）而解决与分布列、期望与方差及应用等问题，一般利用它们相关的性质就可以求解 或通过建立方程来解决来解决. 【例 5】 （08 全国Ⅱ高考）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10000 元的赔偿金．假定在一年 度内有 10000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年 度内至少支付赔偿金 10000 元的概率为 1－0.999104 .(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概 率 p；(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元，为保证盈利的期 望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 【分析】 第（Ⅰ）小题利用对立事件，并通过比较系数即可求得投保人在一年度内出 险的概率 p；第（Ⅱ）小题首先求投保的 10000 人中出险的人数ξ的期望，再利用期望 的线性关系的性质求取盈利期望 Eη的值. 【解】 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p， 记投保的 10000 人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)． （Ⅰ）记 A 表示事件：保险公司为该险种至少支付 10000 元赔偿金，则￣A 发生当且仅当ξ＝0， P(A)＝1－P(￣A )＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104 又 P(A)＝1－0.999104 ，故 p＝0.001． （Ⅱ）该险种总收入为 10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 10000ξ＋50000， 盈利 η＝10000a－(10000ξ＋50000)， 盈利的期望为 Eη＝10000a－10000Eξ－50000， 由ξ～B(104，103)知，Eξ＝104×103， Eη＝104a－104Eξ－5×104＝104a－104×104×103－5×104. Eη≥0104a－104×104×103－5×104≥0a≥15(元). 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元． 【点评】 本题主要考查二项分布的期望计算及性质的应用.二项分布的期望与方差的计 算一般不利用求解离散型随机变量 X 的期望与方差的方法求解，因计算较为繁琐，而是 根据其自身的期望与方差的计算公式，常可使问题得到快速的解决. 【例 6】 （08·江西高考）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出 两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔 产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑 桔产量为上一年产量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5.若实施方案二，预计当年 可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、1.0 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5；第二年 可以使柑桔产量为上一年产量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6.实施每种方案，第 二年与第一年相互独立。令ξi(i＝1，2)表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的 倍数．（Ⅰ）写出ξ1、ξ2 的分布列；（Ⅱ）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量 的概率更大？（Ⅲ）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可 带来效益 10 万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益 15 万元；柑桔 产量超过灾前产量，预计可带来效益 20 万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？ 【分析】 第(Ⅰ)小题将首先根据两年后增长倍数确定ξ1、ξ2 的取值，同时由相应的概 率积可即可得分布列；第(Ⅱ)小题根据分布列将满足条件的数据相加即可比较得结果； 第(Ⅲ)小题根据第(Ⅰ)小题的分布列确定关于两个方案带来的效益ηi(i＝1、2)的分布列， 再通过计算期望进行比较. 2 【解】（Ⅰ）ξ1 的所有取值为 0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，ξ2 的所有取值为 0.8、0.96、 1.0、1.2、1.44.∴ξ1、ξ2 的分布列分别为： ξ1 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 ξ2 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 （Ⅱ）令 A、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件， P(A)＝0.15＋0.15＝0.3，P(B)＝0.24＋0.08＝0.32, 可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大. （Ⅲ）令η1 表示方案i 所带来的效益，则 η1 10 15 20 P 0.35 0.35 0.3 η2 10 15 20 P 0.5 0.18 0.32 所以 Eη1＝10×0.35＋15×0.35＋20×0.3＝14.75， Eη2＝10×0.35＋15×0.18＋20×0.32＝14.75， 可见，方案一所带来的平均效益更大. 【点评】 本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，以及根据期望进行比较方案 优劣.此题比较有新意，表现在一个分布列的建立须根据前一个分布列的数据，解答此题 的易错之处：由于本题涉及到的数据较多，交叉性也较强，因此容易把对应的数据搞错. 题型三 抽样方法的识别与计算 此考点在高考中常常结合应用问题考查构照抽样模型，搜集数据，处理材料等研究性学 习的能力，主要考查题型：(1)根据所要解决的问题确定需要采用的何种抽样方法；(2) 根据各类抽象方法的具体特点求相关的数据. 【例 7】 (08·陕西)某林场有树苗 30000 棵，其中松树苗 4000 棵．为调查树苗的生长情 况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本，则样本中松树苗的数量为( ) A．30 B．25 C．20 D．15 【分析】 利用分层抽样的特点，按比较进行计算即可. 【解】 设样本中松树苗的数量为 x ，则 150 30000 ＝ x 4000 ，解得 x＝20. 点评：确定抽样方法必须根据各种抽样方法的特点来判断：总体中的个体数较少时，宜 用简单随机抽样；总体由差异明显的几部分组成时，宜用分层抽样.而关于抽样方法的计 算主要集中在分层抽样上，一般按比例进行计算. 题型四 总体分布的估计 此考点在高考中常常是结合一些实际问题考查频率分布 表与频率分布直方图，同时考查识图、用图的能力.主要 题型：（1）根据表或图中数据求解限制条件下的个体频 数与频率、参数等相关的数据；（2）频率分布表与频率 分布表或直方图的完善. 【例 8】 (08·广东)为了调查某厂工人生产某种产品的能力， 随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45，55]，[55，65]， [65，75]，[75，85]，85，95)，由此得到频率分布直方图如图 3，则这 20 名工人中一天 生产该产品数量在55，75)，的人数是________. 【分析】 利用频率分布直方图的表示的概率意义及相关数据进行计算即可. 【解】 20×(0.040×10＋0.025×10)＝13. 点评：解答此类问题主要有三条途径：①利用所有分组对应的频率之和为 1；②利用公 式：频率＝条形图的面积＝纵坐标×横坐标，或利用公式频数＝样本容量×频率；③利用 频率分布图中相关数据；④利用频率分布表绘制频率分布直方图. 【专题训练】 一、选择题 1．在抽查某产品的尺寸过程中，将其中尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个体数在该组上的 频率为 m ，该组上的直方图的高为 h ，则|a－b|等于（ ） A．hm B．h m C．m h D．与 m，n 无关 2．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点数为 b，向量→m ＝(a，b)，→n ＝（1，－2），则向量→m与向量→n 垂直的概率是（ ） A．1 6 B． 1 12 C．1 9 D． 1 18 3．中有 40 个小球，其中红色球 16 个、蓝色球 12 个，白色球 8 个，黄色球 4 个，从中随机抽取 10 个球 信号源 作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 Ａ．C1 4C2 8C 3 12C 4 16 C10 40 Ｂ．C2 4C1 8C 3 12C 4 16 C10 40 Ｃ．C2 4C1 8C 1 12C 4 16 C10 40 Ｄ．C1 4C3 8C 4 12C 2 16 C10 40 4．某校有高级教师 26 人，中级教师 104 人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按 分层抽样从该校的所有教师中抽取 56 人进行调查，已知从其他教师中共抽取了 16 人，则该校共有教 师人为( ) A．81 B．152 C．182 D．202 5．设某种动物由出生算起活到 10 岁的概率为 0.9，活到 15 岁的概率为 0.6，现有一个 10 岁的这种动物， 它能活到 15 岁的概率是( ) A．3 5 B． 3 10 C．2 3 D．27 50 6．从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张，则所取 3 张中至少有 2 张价格相 同的概率为( ) A．1 4 B． 79 120 C．3 4 D．23 24 6．2009 年的 2 月有 28 天，1 月，3 月，5 月，7 月，8 月，10 月，12 月均有 31 天，其余月均有 30 天， 若从 12 个月中随机抽取 3 个月，恰有一个月有 30 天的概率是（ ） A． 7 22 B． 28 55 C． 21 55 D． 1 2 7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1、2、3、…、18 的 18 名火炬手．若从中任选 3 人，则选出 的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为（ ） A． 1 51 B． 1 68 C． 1 306 D． 1 408 8．某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为 10， 方差为 2，则｜x－y｜的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c（a，b。，c∈(0， 1)），已知他投篮一次得分的期望为 2，则2 a ＋ 1 3b 的最小值为( ) A．32 3 B．28 3 C．14 3 D．16 3 10．右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在 同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收 到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三 组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把 所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接 收器能同时接收到信号的概率是 A． 4 45 B． 1 36 C． 4 15 D． 8 15 11．已知随机变量 X 分布列如下表(n∈N*)： X 1 2 … n－1 n P 1 1·2 1 2·3 … 1 (n－1)n x 则表中 x 为( ) A． 1 n(n＋1) B． 1 (n－1)(n－2) C．1 n D． 1 n＋1 12．已经一组函数 y＝2sin(ωx＋)(ω＞0，0＜≤2π)，其中 在集合｛2、3、4｝中任取一个数，在集合{ 3 ，  2 ，2 3 ，π，4 3 ，5 3 ，2π}中任取一个数.从这些函数中任意抽取两个，其图象能经过相同的平移后得到函数 y＝2sinωx 的图象的概率是 ( ) A． 8 21 B．1 3 C． 4 105 D． 1 30 二、填空题 13．已知数据 x1，x2，x3，…，xn 的平均数为 a，则数据 3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，…，3xn＋2 的平均数是_____. 14．某校高中研究性学习小组对本地区 2006 年至 2008 年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快 餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信 息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒． 15．一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c（a、b、c∈(0， 1)），已知他投篮一次得分的数学期望为 2（不计其它得分情况），则 ab 的最大值为________． 16．在样本的频率分布直方图中，共有 4 个小长方形，这 4 个小长方形的面积由小到大构成等差数列{an}， 已知 12 2aa  ，且样本容量为 400，则小长方形面积最大的一组的频数为________． 三、解答题 17．某次有奖竞猜活动中，主持人准备了 A`、B 两个相互独立问题，并且宣布：观众答对问题 A 可获奖金 a 元，答对问题 B 可获奖金 2a 元，先答哪个问题由观众选择，只有第一个问题答对才能再答第 2 个问 题，否则终止答题。若你被选为幸运观众，且假设你答对问题 A、B 的概率分别为1 2 ，1 3 .问你觉得应先 回答哪个问题才能使你获得奖金的期望最大？说明理由。 18．将两颗骰子先后各抛一次，a，b 表示抛甲、乙两颗骰子所得的点数.(Ⅰ)若点(a，b)落在不等式组 x＞0 y＞0 x＋y≤4 表示的平面区域内的事件记为 A，求事件 A 的概率；(Ⅱ)若点(a，b)落在直线 x＋y＝m 上，且 使此事件的概率最大，求 m 的值. 19．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有 2 人，会跳舞的有 5 人，现从中选 2 人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且 P(ξ＞0)＝ 7 10 ．(Ⅰ)求文娱队的人数；(Ⅱ)写出ξ的概 率分布列并计算 Eξ． 20．某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有 A、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标 与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为 5 12 ，至少一项技术指标达标的概率为11 12 ．按质 量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品. （Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？ （Ⅱ）任意依次抽出 5 个零件进行检测，求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少？ （Ⅲ）任意依次抽取该种零件 4 个，设ξ表示其中合格品的个数，求 Eξ与 Dξ. 21．某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次测试的概率 分别是4 5 和3 4 .假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲工人连续 3 个月参加技能测试至少 1 次未通过的概率； (Ⅱ)求甲、乙两人各连续 3 个月参加技能测试，甲工人恰好通过 2 次且乙工人恰好通过 1 次的概率； (Ⅲ)工厂规定：工人连续 2 次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加 4 次测试后被撤销上 岗资格的概率. 22．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约. 乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是1 2 ，且面 试是否合格互不影响.求：（Ⅰ）至少有 1 人面试合格的概率；（Ⅱ）签约人数 的分布列和数学期望. 【针对训练】参考答案 一、选择题 1．C 【解析】频率分布的直方图中频率 组距 ＝高度，∴|a－b|＝m h . 2．B 【解析】掷骰子是独立事件，∵→m·→n ＝a－2b＝0，所以 a＝2b，a＝2，4，6，b=1，2，3，所求概 率为 1 12 . 3．A 【解析】依题意，各层次数量之比为 4︰3︰2︰1，即红球抽 4 个，蓝球抽 3 个，白球抽 2 个，黄 球抽一个. 4．C 【解析】设总共有 x 人教师，由于抽样采用的是系统抽样，所以每一层次抽到的概率是相等的，所 以可得x－26－104 x ＝16 56 ，解得 x＝182. 5．C 【解析】设事件 A：从 0 到 10 岁，事件 B：10 岁到 15 岁，A 与 B 互斥，C：0 到 15 岁，所以 P(C) ＝P(A)·P(B)，∴P（B）＝0.6 0.9 ＝2 3 . 6．C 【解析】可从对立面考虑，即三张价格均不相同，则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为 P＝ 1－C1 5C1 3C1 2 C 3 10 ＝3 4. 6．B 【解析】 3 个月中恰有 1 个月有 30 天的情况有两种：①两个月 31 天，1 个月 30 天；②31 天， 30 天，28 天，各有 1 个月，故所求概率 2 1 1 1 1 7 4 7 4 1 3 12 28 55 C C C C CP C   . 7．B 【解析】古典概型问题，基本事件总数为 C 3 18＝18×17×16 3×2×1 ＝17×16×3，能组成以 3 为公差的等差数列 有(1，4，7)、（2，5，8）、…、（12，15，18）共 12 组，因此概率 P＝ 12 17×16×3 ＝ 1 68 . 8．D 【解析】由题意可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不 要直接求出 x、y，只要求出｜x－y｜，设 x＝10＋t，y＝10－t，｜x－y｜＝2|t|＝4. 9．D 解析：由题 3a＋2b＝2，其中 0＜a＜2 3 ，0＜b＜1，所以2 a ＋ 1 3b ＝3a＋2b 2 ·(2 a ＋ 1 3b)＝3＋1 3 ＋2b a ＋ a 2b≥10 3 ＋ 2＝16 3 .(当且仅当 a＝2b＝1 2 时取等)． 10．D 【解析】将六个接线点随机地平均分成三组，共有C2 6C2 4C2 2 A3 3 ＝15 种结果，五个接收器能同时接收到 信号必须全部在同一个串联线路中，有 C1 4·C1 2·C1 1＝8 种结果，这五个接收器能同时接收到信号的概率是 8 15 . 11．C 【解析】根据分布列的性质：x＝1－[P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝n－1)]＝1－[ 1 1·2 ＋ 1 2·3 ＋…＋ 1 (n－1)n ] ＝＝1－[(1－1 2 )＋(1 2 －1 3 )＋…＋( 1 n－1 －1 n )]＝1 n . ∵n∈N*，∴表格中概率 P(X)均为非负，满足分布列的第一条性质：Pi≥0，i＝1，2,…,n. 12．C 【解析】这一组函数共有 3×9＝21 个，从中任意抽取个共有 2 21 210C ＝ 种不同的方法，其中从这些 函数中任意抽取两个，向右平移 6 个单位得到函数 y＝2sinωx 的图象有三种情形，则有 C2 3＝3 种取法； 向右平移 3 个单位得到函数 y＝2sinωx 的图象也有三种情形，则有 C2 3＝3 种取法；向右平移 2 个单位得 到函数 y＝2sinωx 的图象有两种情形，则有 C2 2＝1 种取法；向右平移2 3 个单位得到函数 y＝2sinωx 的图 象也有两种情形，则有 C2 2＝1 种取法；故所求概率是3＋3＋1＋1 210 ＝ 4 105. 二、填空题 13．3a＋2 【解析】∵1 n n i=1 xi＝a，∴1 n n i=1 (3xi＋2)＝1 n[n i=1 (3xi)＋n i=1 2]＝1 n[3n i=1 xi＋2n＝3·1 n n i=1 xi＋2＝3a＋2. 14．85 【解析】每年平均销售盒饭为1 3(30×1＋45×2＋90×1.5)＝85(万盒). 15．1 6 【解析】由已知得 3a＋2b＋0×c＝0，即 3a＋2b＝2，∴ab＝1 6 ·3a·2b≤1 6 (3a＋2b 2 )＝1 6 . 16．160 【解析】：直方图中，所有矩形面积之和为 1，等差数列公差为 a1，等差数列各项和为 10a1＝1， 所以 a1＝0.1，最大的矩形为 0.4，频数为 400*0.4＝160 三、解答题 17．【解】设先答 A、B 所得奖金分别为ξ和η，则 P(ξ＝0)＝1－1 2 ＝1 2 ，P(ξ＝a)＝1 2(1－1 3)＝1 3 ，P(ξ＝3a)＝1 2×1 3 ＝1 6 ，∴Eξ＝5 6a. P(η＝0)＝1－1 3 ＝2 3 ，P(ξ＝2a)＝1 3(1－1 2)＝1 6 ，P(ξ＝3a)＝1 3×1 2 ＝1 6 ，∴Eη＝5 6a. 由此知，先答哪题获奖金的期望一样大. 18．【解】(Ⅰ)x＋y＝4 上有 3 个点，x＋y＝3 上有 2 个点，x＋y＝2 上有 1 个点，事件总数为 36， 故事件 A 的概率为 6 36 ＝1 6. (Ⅱ)当点 P(a，b)落在直线 x＋y＝m 上，所以 a＋b＝m， 当 a＋b＝2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 时，点 P(a，b)的个数分别为 1、2、3、4、5、6、5、 4、3、2、1， 所以当 a＋b＝7 时事件的概率最大为1 6 ，所以 m＝7. 19．【解】设既会唱歌又会跳舞的有 x 人，则文娱队中共有(7－x)人，那么只会一项的人数是(7－2x)人． (Ⅰ)∵P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝ 7 10 ， ∴P(ξ＝0)＝ 3 10 ，即C 2 72x C2 7x ＝ 3 10 ，∴(7－2x)(6－2x) (7－x)(6－x) ＝ 3 10 ，解得 x＝2， 故文娱队共有 5 人． (Ⅱ) 的概率分布列为 ξ 0 1 2 P 3 10 3 5 1 10 P(ξ＝1)＝C1 2C1 3 C2 5 ＝3 5 ，P(ξ＝2)＝C2 2 C2 5 ＝ 1 10 ， ∴Eξ＝0× 3 10 ＋1×3 5 ＋2× 1 10 ＝4 5 ． 20．【解】(Ⅰ)设 A、B 两项技术指标达标的概率分别为 P1、P2 由题意得： P1·(1－P2)＋P2·(1－P1)＝ 5 12 1－(1－P1)(1－P2)＝11 12 ，解得 P1＝3 4 ，P2＝2 3 或 P1＝2 3 ，P2＝3 4 ， ∴P＝P1P2＝1 2 ，即一个零件经过检测为合格品的概率为1 2 . (Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检查，其中至多 3 个零件是合格品的概率为 1－C4 5(1 2 )4－C5 5(1 2 )5＝13 16 (Ⅲ)依题意知ξ～B(4，1 2 )，Eξ＝4×1 2 ＝2，Dξ＝4×1 2 ×1 2 ＝1. 21．【解】(Ⅰ)记“甲工人连续 3 个月参加技能测试，至少有 1 次未通过”为事件 A1， P(A1)＝1－￣A1＝1－(4 5 )3＝ 61 125 . (Ⅱ)记“连续 3 个月参加技能测试，甲工人恰好通过 2 次”为事件 A2，“连续 3 个月参加技能测试，乙工 人恰好通过 1 次”为事件 B1，则 P(A2)＝C2 3(4 5 )2(1－4 5 )＝ 48 125 ，P(B1)＝C2 3(4 5 )2(1－4 5 )＝C1 3·3 4 ·(1－3 4 )2＝ 9 64 . ∴P(A2B1)＝P(A2)·P(B1)＝ 48 125 × 9 64 ＝ 27 500 两人各连续 3 月参加技能测试，甲工人恰好 2 次通过且乙工人恰好 1 次通过的概率为 27 500 . (Ⅲ)记“乙恰好测试 4 次后，被撤销上网资格”为事件 A3， P(A2)＝(3 4 )2·(1 4 )2＋1 4 ·3 4 ·(1 4 )2＝ 3 64 . 22．【解】用 A，B，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A，B，C 相互独立， 且 P（A）＝P（B）＝P（C）＝1 2. （Ⅰ）至少有 1 人面试合格的概率是 1－P(￣A ￣B ￣C )＝1－P(￣A )P(￣B )P(￣C )＝1－(1 2)3＝7 8. （Ⅱ）  的可能取值为 0，1，2，3. ( 0) ( ) ( ) ( )P P ABC P ABC P ABC     ＝ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C  ＝ 3 2 31 1 1 3( ) ( ) ( ) .2 2 2 8    ( 1) ( ) ( ) ( )P P ABC P ABC P ABC     ＝ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C  = 3 3 31 1 1 3( ) ( ) ( ) .2 2 2 8    1( 2) ( ) ( ) ( ) ( ) .8P P ABC P A P B P C     1( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) .8P P ABC P A P B P C     所以， ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 3 8 3 8 1 8 1 8 ξ的期望 3 3 1 10 1 2 3 1.8 8 8 8E         