三年文科立体几何高考题汇编

三年文科立体几何高考题汇编

2015-2017 全国高考文科立体几何题汇编 2017(二)6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面 将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90 B.63 C.42 D.36 2017(二)18.(12 分)如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD, ∠ BAD=∠ABC=90°。（1）证明：直线 BC∥平面 PAD; （1） 若△PAD 面积为 2 ，求四棱锥 P-ABCD 的体积。 2017(一)6．如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这 四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是 A． B． C． D． 2017(一)18．（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 ． （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， ，且四棱锥 P-ABCD 的体积为 ，求该四棱锥的侧面积． π π π π 1 2 7 90BAP CDP∠ = ∠ =  90APD∠ =  8 3 2017(三)9．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 （ ）A． B． C． D． 2017(三)19．（12 分）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD．若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE⊥EC，求四面体 ABCE 与 四面体 ACDE 的体积比． 2017(天津)（11）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体 积为 . 2017(天津)（17）（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， . （I）求异面直线 与 所成角的余弦值；（II）求证： 平面 ； （II）求直线 与平面 所成角的正弦值. 2017(北京)（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 π 3π 4 π 2 π 4 P ABCD− AD ⊥ PDC AD BC∥ PD PB⊥ 1AD = 3BC = 4CD = 2PD = AP BC PD ⊥ PBC AB PBC （A）60 （B）30 （C）20 （D）10 2017(北京)（18）（本小题 14 分） 如图，在三棱锥 P–ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点． （Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面 BDE⊥平面 PAC； （Ⅲ）当 PA∥平面 BDE 时，求三棱锥 E–BCD 的体积． 2016(二)(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A）20π（B）24π（C）28π（D）32π 2016(二)(7)（19）（本小题满分 12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD， CD 上，AE=CF，EF 交 BD 于点 H，将 沿 EF 折到 的位置. （I）证明： ； （II）(II)若 ,求五棱锥 体积. DEF 'D EF 'AC HD⊥ 55, 6, , ' 2 24AB AC AE OD= = = = ' ABCEFD − 2016(三)（10）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的 表面积为 （A） （B） （C）90 （D）81 2016(三)（19）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥地面 ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点， AM=2MD，N 为 PC 的中点. （I）证明 MN∥平面 PAB;（II）求四面体 N-BCM 的体积. 2016(一)（（18）（本小题满分 12 分）如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在 平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连结 PE 并延长交 AB 于点 G. （I）证明：G 是 AB 的中点； （II）（II）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积． 2016（天津）（3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如 图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ） 18 36 5+ 54 18 5+ 2016（天津）(17) (本小题满分 13 分)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED⊥平面 ABCD，EF||AB， AB=2，BC=EF=1，AE= ，DE=3，∠BAD=60º，G 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证：FG||平面 BED；(Ⅱ)求证：平面 BED⊥平面 AED；(Ⅲ)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值. 2015（二）6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部 分体积的比值为 A. B. C. D. 2015（陕西）5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 2015（陕西）18．如图 1，在直角梯形 中， ， 是 的中点， 是 与 的交点，将 沿 折起到图 2 中 的位置，得到四棱锥 . (I)证明： 平面 ；(II)当平面 平面 时，四棱锥 的体积为 ，求 的值. 2017(二）6.【解析】由题意，该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4 的圆柱，故其体积 为 ，故选 B. 2017(二)18 3π 4π 2 4π + 3 4π + ABCD // , ,2AD BC BAD AB BC π∠ = = 1 2 AD a= = E AD O OC BE ABE∆ BE 1A BE∆ 1A BCDE− CD ⊥ 1AOC 1A BE ⊥ BCDE 1A BCDE− 36 2 a 6 8 1 7 1 6 1 5 1 2 21 3 6 3 4 632V π π π= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 所以四棱锥 P-ABCD 的体积 . 2017(一)6.【答案】A【解析】试题分析：由 B，AB∥MQ，则直线 AB∥平面 MNQ；由 C，AB∥MQ，则直 线 AB∥平面 MNQ；由 D，AB∥NQ，则直线 AB∥平面 MNQ．故 A 不满足，选 A． 2017(一)18【答案】（1）证明见解析； （2） ．326 + 2017(三)9【答案】B【解析】如果，画出圆柱的轴截面， ，所以 ，那么圆柱的体积是 2017(三)19．【答案】（1）详见解析；（2）1 【解析】试题分析：（1）取 中点 ，由等腰三角形及等比三角形性质得 ， ，再根 据线面垂直判定定理得 平面 ，即得 AC⊥BD；（2）先由 AE⊥EC，结合平几知识确定 ， 再根据锥体体积公式得，两者体积比为 1:1. ∴ ， 在 中 ， 设 ， 根 据 余 弦 定 理 解得 ，∴点 是 的中点，则 ，∴ . 11, 2AC AB= = 3 2r BC= = 2 2 3 312 4V r hπ π π = = × × =    AC O ODAC ⊥ OBAC ⊥ ⊥AC OBD ECAE = 2== ECAE ABD∆ xDE = DEAD AEDEAD BDAD ABBDADADB ⋅ −+=⋅ −+=∠ 22cos 222222 x x ×× −+= ×× −+= 22 22 2222 )22()22(2 222222 2=x E BD ACEBACED VV −− = 1= − − ACEB ACED V V 2017( 天 津 ) 【 答 案 】 【 解 析 】 设 正 方 体 边 长 为 ， 则 ， 外 接 球 直 径 为 . 2017(天津)（17）【答案】(1) (2) （Ⅲ）过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的 角.因为 PD⊥平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角. 由于 AD//BC，DF//AB，故 BF=AD=1，由已知，得 CF=BC–BF=2.又 AD⊥DC，故 BC⊥DC，在 Rt△DCF 中，可 得 .所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 . 2017(北京)（6【答案】D 9 2 π 2 26 18 3a a= ⇒ = 34 4 27 92 3 3, π π π3 3 8 2R a V R= = = = × = 5 5 5 5 DFP∠ 5sin 5 PDDFP DF ∠ = = 5 5 2017(北京)（18）【答案】详见解析 （II）因为 ， 为 中点，所以 ，由（I）知， ，所以 平面 ， 所以平面 平面 .（III）因为 平面 ，平面 平面 ，所以 . 因为 为 的中点，所以 ， . 由（I）知， 平面 ，所以 平面 .所以三棱锥 的体积 . 2016（二）(7) 【答案】C 2016（二）（19）（本小题满分 12 分） 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） .【解析】试题分析：（Ⅰ）证 再证 （Ⅱ）证明 再 证 平 面 最 后 呢 五 棱 锥 体 积 . 试 题 解 析 ： （ I ） 由 已 知 得 ， 又 由 得 ， 故 由 此 得 ， 所 以 . （II）由 得 由 得 所以 于是 故 由（I）知 ，又 ，所以 平面 于是 又由 ，所以， 平面 AB BC= D AC BD AC⊥ PA BD⊥ BD ⊥ PAC BDE ⊥ PAC PA∥ BDE PAC  BDE DE= PA DE∥ D AC 1 12DE PA= = 2BD DC= = PA ⊥ PAC DE ⊥ PAC E BCD− 1 1 6 3V BD DC DE= ⋅ ⋅ = ' ABCEFD − 69 4 / / .AC EF / / .′AC HD .′ ⊥OD OH ′ ⊥OD .ABC , .⊥ =AC BD AD CD =AE CF =AE CF AD CD / / .AC EF , ′⊥ ⊥EF HD EF HD / / .′AC HD / /EF AC 1 .4 = =OH AE DO AD 5, 6= =AB AC 2 2 4.= = − =DO BO AB AO 1, 3.′= = =OH D H DH 2 2 2 2 2(2 2) 1 9 ,′ ′+ = + = =OD OH D H .′ ⊥OD OH ′⊥AC HD , ′⊥ =AC BD BD HD H ⊥AC ,′BHD .′⊥AC OD ,′ ⊥ =OD OH AC OH O ′ ⊥OD .ABC 又由 得 五边形 的面积 所以五棱锥 体积 2016（三）（10）B 2016（三）（19）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由已知得 ，取 的中点 ，连接 ，由 为 中点知 ， . ......3 分又 ，故 平行且等于 ，四边形 为平行四边形， 于是 .因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （Ⅱ）因为 平面 ， 为 的中点，所以 到平面 的距离为 . 分 取 的中点 ，连结 .由 得 ， . 由 得 到 的距离为 ，故 . 所以四面体 的体积 . .....12 分 2016(一)（（18）【答案】（I）见解析；（II）作图见解析，体积为 . 【解析】试题分析：证明 由 可得 是 的中点. （II）在平面 内，过点 作 的平行线交 于点 ， 即为 在平面 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且 ， 可 得 在 等 腰 直 角 三 角 形 中 ， 可 得 四 面 体 的 体 积 ' ABCEFD − =EF DH AC DO 9 .2 =EF ABCFE 1 1 9 696 8 3 .2 2 2 4 = × × − × × =S 1 69 23 22 2 .3 4 2 = × × =V 23 2 == ADAM BP T TNAT, N PC BCTN // 22 1 == BCTN BCAD// TN AM AMNT ATMN // ⊂AT PAB ⊄MN PAB //MN PAB ⊥PA ABCD N PC N ABCD PA2 1 BC E AE 3== ACAB BCAE ⊥ 522 =−= BEABAE BCAM ∥ M BC 5 52542 1 =××=∆BCMS BCMN − 3 54 23 1 =××= ∆− PASV BCMBCMN 2016（天津）3.【答案】B2016（天津）(17)【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ） （ Ⅱ ） 证 明 ： 在 中 ， ， 由 余 弦 定 理 可 ， 进 而 可 得 ， 即 ，又因为平面 平面 平面 ；平面 平面 ，所以 平面 .又因为 平面 ，所以平面 平面 . （Ⅲ）解：因为 ，所以直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角.过点 作 于点 ，连接 ，又因为平面 平面 ，由（Ⅱ）知 平面 ，所以 直线 与平面 所成角即为 .在 中， ，由余弦定理可得 ，所以 ，因此 ，在 中， ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角 2015（二）6 解析：还原三视图，如图所示，选 D.2015（陕西）5.【答案】 2015（陕西）18【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) . (II)由已知，平面 平面 ，且平面 平面 ，又由(I)知， ，所 D 6a = 1A BE ⊥ BCDE 1A BE  BCDE BE= 1AO BE⊥ 6 5 ABD∆ 060,2,1 =∠== BADABAD 3=BD 090=∠ADB ADBD ⊥ ⊥AED ⊂BDABCD, ABCD AED ADABCD = ⊥BD AED ⊂BD BED ⊥BED AED ABEF // EF BED AB BED A DEAH ⊥ H BH BED EDAED = ⊥AH BED AB BED ABH∠ ADE∆ 6,3,1 === AEDEAD 3 2cos =∠ADE 3 5sin =∠ADE 3 5sin =∠⋅= ADEADAH AHBRt∆ 6 5sin ==∠ AB AHABH AB BED 6 5 以 平面 ，即 是四棱锥 的高，易求得平行四边形 面积 ，从而四棱锥 的为 ，由 ，得 . (II)由已知，平面 平面 ，且平面 平面 又由(I)知， ，所以 平面 ，即 是四棱锥 的高，由图 1 可知， ，平行四边形 面积 ，从而四棱锥 的为 ，由 ，得 . 1AO ⊥ BCDE 1AO 1A BCDE− BCDE 2S BC AB a= ⋅ = 1A BCDE− 3 1 1 2 3 6V S AO a= × × = 32 36 26 a = 6a = 1A BE ⊥ BCDE 1A BE  BCDE BE= 1AO BE⊥ 1AO ⊥ BCDE 1AO 1A BCDE− 1 2 2 2 2AO AB a= = BCDE 2S BC AB a= ⋅ = 1A BCDE− 2 3 1 1 1 2 2 3 3 2 6V S AO a a a= × × = × × = 32 36 26 a = 6a =