历年四川卷数学高考题部分

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历年四川卷数学高考题部分

‎(2012•四川)如图,动点M到两定点A(﹣1,0)、B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,设动点M的轨迹为C.‎ ‎(Ⅰ)求轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设出点M(x,y),分类讨论,根据∠MBA=2∠MAB,利用正切函数公式,建立方程化简即可得到点M的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0(x>1)联立,消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①,利用①有两根且均在(1,+∞)内 可知,m>1,m≠2设Q,R的坐标,求出xR,xQ,利用,即可确定的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设M的坐标为(x,y),显然有x>0,且y≠0‎ 当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3)‎ 当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=,‎ 化简可得3x2﹣y2﹣3=0‎ 而点(2,±3)在曲线3x2﹣y2﹣3=0上 综上可知,轨迹C的方程为3x2﹣y2﹣3=0(x>1);‎ ‎(Ⅱ)直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0(x>1)联立,消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①‎ ‎∴①有两根且均在(1,+∞)内 设f(x)=x2﹣4mx+m2+3,∴,∴m>1,m≠2‎ 设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),‎ ‎∵|PQ|<|PR|,∴xR=2m+,xQ=2m﹣,‎ ‎∴==‎ ‎∵m>1,且m≠2‎ ‎∴,且 ‎∴,且 ‎∴的取值范围是(1,7)∪(7,7+4)‎ ‎(2015•新课标II)设向量,不平行,向量λ+与+2平行,则实数λ=  .‎ ‎【分析】利用向量平行即共线的条件,得到向量λ+与+2之间的关系,利用向量相等解答.‎ ‎【解答】解:因为向量,不平行,向量λ+与+2平行,所以λ+=μ(+2),‎ 所以,解得;‎ 故答案为:.‎ ‎(2013•四川)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是   .‎ ‎【分析】由偶函数性质得:f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可变为f(|x+2|)<5,代入已知表达式可表示出不等式,先解出|x+2|的范围,再求x范围即可.‎ ‎【解答】解:因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),‎ 则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,‎ 即|x+2|2﹣4|x+2|<5,(|x+2|+1)(|x+2|﹣5)<0,‎ 所以|x+2|<5,‎ 解得﹣7<x<3,‎ 所以不等式f(x+2)<5的解集是(﹣7,3).‎ 故答案为:(﹣7,3).‎ ‎(2015•新课标II)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=(  )‎ A.0 B.2 C.4 D.14‎ ‎【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的a,b的值,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由a=14,b=18,a<b,‎ 则b变为18﹣14=4,‎ 由a>b,则a变为14﹣4=10,‎ 由a>b,则a变为10﹣4=6,‎ 由a>b,则a变为6﹣4=2,‎ 由a<b,则b变为4﹣2=2,‎ 由a=b=2,‎ 则输出的a=2.‎ 故选:B.‎ ‎(2015•四川.15)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1、x2,设m=,n=.现有如下命题:‎ ‎①对于任意不相等的实数x1、x2,都有m>0;‎ ‎②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2,都有n>0;‎ ‎③对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=n;‎ ‎④对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=﹣n.‎ 其中的真命题有   (写出所有真命题的序号).‎ ‎【分析】运用指数函数的单调性,即可判断①;由二次函数的单调性,即可判断②;‎ 通过函数h(x)=x2+ax﹣2x,求出导数判断单调性,即可判断③;‎ 通过函数h(x)=x2+ax+2x,求出导数判断单调性,即可判断④.‎ ‎【解答】解:对于①,由于2>1,由指数函数的单调性可得f(x)在R上递增,即有m>0,则①正确;‎ 对于②,由二次函数的单调性可得g(x)在(﹣∞,﹣)递减,在(﹣,+∞)递增,则n>0不恒成立,‎ 则②错误;‎ 对于③,由m=n,可得f(x1)﹣f(x2)=g(x1)﹣g(x2),即为g(x1)﹣f(x1)=g(x2)﹣f(x2),‎ 考查函数h(x)=x2+ax﹣2x,h′(x)=2x+a﹣2xln2,‎ 当a→﹣∞,h′(x)小于0,h(x)单调递减,则③错误;‎ 对于④,由m=﹣n,可得f(x1)﹣f(x2)=﹣[g(x1)﹣g(x2)],考查函数h(x)=x2+ax+2x,‎ h′(x)=2x+a+2xln2,对于任意的a,h′(x)不恒大于0或小于0,则④正确.‎ 故答案为:①④.‎ ‎(2013•四川)已知函数,其中a是实数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的点,且x1<x2.‎ ‎(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2﹣x1的最小值;‎ ‎(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(I)利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出;‎ ‎(II)利用导数的几何意义即可得到切线的斜率,因为切线互相垂直,可得,即(2x1+2)(2x2+2)=﹣1.可得,再利用基本不等式的性质即可得出;‎ ‎(III)当x1<x2<0或0<x1<x2时,∵,故不成立,∴x1<0<x2.分别写出切线的方程,根据两条直线重合的充要条件即可得出,再利用导数即可得出..‎ ‎【解答】解:(I)当x<0时,f(x)=(x+1)2+a,‎ ‎∴f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减,在[﹣1,0)上单调递增;‎ 当x>0时,f(x)=lnx,在(0,+∞)单调递增.‎ ‎(II)∵x1<x2<0,∴f(x)=x2+2x+a,∴f′(x)=2x+2,‎ ‎∴函数f(x)在点A,B处的切线的斜率分别为f′(x1),f′(x2),‎ ‎∵函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,‎ ‎∴,‎ ‎∴(2x1+2)(2x2+2)=﹣1.‎ ‎∴2x1+2<0,2x2+2>0,‎ ‎∴=1,当且仅当﹣(2x1+2)=2x2+2=1,即,时等号成立.‎ ‎∴函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2﹣x1的最小值为1.‎ ‎(III)当x1<x2<0或0<x1<x2时,∵,故不成立,∴x1<0<x2.‎ 当x1<0时,函数f(x)在点A(x1,f(x1)),处的切线方程为 ‎,即.‎ 当x2>0时,函数f(x)在点B(x2,f(x2))处的切线方程为,即.‎ 函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合的充要条件是,‎ 由①及x1<0<x2可得﹣1<x1<0,‎ 由①②得=.‎ ‎∵函数,y=﹣ln(2x1+2)在区间(﹣1,0)上单调递减,‎ ‎∴a(x1)=在(﹣1,0)上单调递减,且x1→﹣1时,ln(2x1+2)→﹣∞,即﹣ln(2x1+2)→+∞,也即a(x1)→+∞.‎ x1→0,a(x1)→﹣1﹣ln2.‎ ‎∴a的取值范围是(﹣1﹣ln2,+∞).‎ ‎(2015•新课标II)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )‎ A. ‎(﹣∞,﹣1)∪(0,1) ‎ B. ‎(﹣1,0)∪(1,+∞) ‎ C. ‎(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) ‎ D. ‎(0,1)∪(1,+∞)‎ ‎【分析】由已知当x>0时总有xf′(x)﹣f(x)<0成立,可判断函数g(x)=为减函数,由已知f(x)是定义在R上的奇函数,可证明g(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,根据函数g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性,模拟g(x)的图象,而不等式f(x)>0等价于x•g(x)>0,数形结合解不等式组即可.‎ ‎【解答】解:设g(x)=,则g(x)的导数为:g′(x)=,‎ ‎∵当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立,‎ 即当x>0时,g′(x)恒小于0,‎ ‎∴当x>0时,函数g(x)=为减函数,‎ 又∵g(﹣x)====g(x),‎ ‎∴函数g(x)为定义域上的偶函数 又∵g(﹣1)==0,‎ ‎∴函数g(x)的图象性质类似如图:‎ 数形结合可得,不等式f(x)>0⇔x•g(x)>0‎ ‎⇔或,‎ ‎⇔0<x<1或x<﹣1.‎ 故选:A.‎ ‎(2015•新课标II)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.‎ ‎(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;‎ ‎(2)若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.‎ ‎【分析】(1)联立直线方程和椭圆方程,求出对应的直线斜率即可得到结论.‎ ‎(2)四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM,建立方程关系即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)设直线l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),‎ 将y=kx+b代入9x2+y2=m2(m>0),得(k2+9)x2+2kbx+b2﹣m2=0,‎ 则判别式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,‎ 则x1+x2=,则xM==,yM=kxM+b=,‎ 于是直线OM的斜率kOM==,‎ 即kOM•k=﹣9,‎ ‎∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.‎ ‎(2)四边形OAPB能为平行四边形.‎ ‎∵直线l过点(,m),‎ ‎∴由判别式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,‎ 即k2m2>9b2﹣9m2,‎ ‎∵b=m﹣m,‎ ‎∴k2m2>9(m﹣m)2﹣9m2,‎ 即k2>k2﹣6k,‎ 则k>0,‎ ‎∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3,‎ 由(1)知OM的方程为y=x,‎ 设P的横坐标为xP,‎ 由得,即xP=,‎ 将点(,m)的坐标代入l的方程得b=,‎ 即l的方程为y=kx+,‎ 将y=x,代入y=kx+,‎ 得kx+=x 解得xM=,‎ 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM,‎ 于是=2×,‎ 解得k1=4﹣或k2=4+,‎ ‎∵ki>0,ki≠3,i=1,2,‎ ‎∴当l的斜率为4﹣或4+时,四边形OAPB能为平行四边形.‎ ‎(2011•四川)椭圆有两顶点A(﹣1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.‎ ‎(Ⅰ)当|CD|=时,求直线l的方程;‎ ‎(Ⅱ)当点P异于A、B两点时,求证:为定值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据椭圆有两顶点A(﹣1,0)、B(1,0),焦点F(0,1),可知椭圆的焦点在y轴上,b=1,c=1,可以求得椭圆的方程,联立直线和椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程;‎ ‎(Ⅱ)根据过其焦点F(0,1)的直线l的方程可求出点P的坐标,该直线与椭圆交于C、D两点,和直线AC与直线BD交于点Q,求出直线AC与直线BD的方程,解该方程组即可求得点Q的坐标,代入即可证明结论.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆的焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为(a>b>0),‎ 由已知得b=1,c=1,所以a=,‎ 椭圆的方程为,‎ 当直线l与x轴垂直时与题意不符,‎ 设直线l的方程为y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2),‎ 将直线l的方程代入椭圆的方程化简得(k2+2)x2+2kx﹣1=0,‎ 则x1+x2=﹣,x1•x2=﹣,‎ ‎∴|CD|==‎ ‎==,‎ 解得k=.‎ ‎∴直线l的方程为y=x+1;‎ ‎(Ⅱ)证明:当直线l与x轴垂直时与题意不符,‎ 设直线l的方程为y=kx+1,(k≠0,k≠±1),C(x1,y1),D(x2,y2),‎ ‎∴P点的坐标为(﹣,0),‎ 由(Ⅰ)知x1+x2=﹣,x1•x2=﹣,‎ 且直线AC的方程为y=,且直线BD的方程为y=,‎ 将两直线联立,消去y得,‎ ‎∵﹣1<x1,x2<1,∴与异号,‎ ‎=‎ ‎=,‎ y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1==﹣,‎ ‎∴与y1y2异号,与同号,‎ ‎∴=,解得x=﹣k,‎ 故Q点坐标为(﹣k,y0),‎ ‎=(﹣,0)•(﹣k,y0)=1,‎ 故为定值.‎ ‎(2015•新课标II)设函数f(x)=emx+x2﹣mx.‎ ‎(1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;‎ ‎(2)若对于任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求m的取值范围.‎ ‎【分析】(1)利用f′(x)≥0说明函数为增函数,利用f′(x)≤0说明函数为减函数.注意参数m的讨论;‎ ‎(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在[﹣1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,则恒成立问题转化为最大值和最小值问题.从而求得m的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)证明:f′(x)=m(emx﹣1)+2x.‎ 若m≥0,则当x∈(﹣∞,0)时,emx﹣1≤0,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,emx﹣1≥0,f′(x)>0.‎ 若m<0,则当x∈(﹣∞,0)时,emx﹣1>0,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,emx﹣1<0,f′(x)>0.‎ 所以,f(x)在(﹣∞,0)时单调递减,在(0,+∞)单调递增.‎ ‎(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在[﹣1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.‎ 所以对于任意x1,x2∈[﹣1,1],|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1的充要条件是 即 设函数g(t)=et﹣t﹣e+1,则g′(t)=et﹣1.‎ 当t<0时,g′(t)<0;当t>0时,g′(t)>0.故g(t)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.‎ 又g(1)=0,g(﹣1)=e﹣1+2﹣e<0,故当t∈[﹣1,1]时,g(t)≤0.‎ 当m∈[﹣1,1]时,g(m)≤0,g(﹣m)≤0,即合式成立;‎ 当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即em﹣m>e﹣1.‎ 当m<﹣1时,g(﹣m)>0,即e﹣m+m>e﹣1.‎ 综上,m的取值范围是[﹣1,1]‎ ‎(2015•新课标II)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α≤π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标;‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.‎ ‎【分析】(I)由曲线C2:ρ=2sinθ,化为ρ2=2ρsinθ,把代入可得直角坐标方程.同理由C3:ρ=2cosθ.可得直角坐标方程,联立解出可得C2与C3交点的直角坐标.‎ ‎(2)由曲线C1的参数方程,消去参数t,化为普通方程:y=xtanα,其中0≤α≤π,其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0),利用|AB|=即可得出.‎ ‎【解答】解:(I)由曲线C2:ρ=2sinθ,化为ρ2=2ρsinθ,‎ ‎∴x2+y2=2y.‎ 同理由C3:ρ=2cosθ.可得直角坐标方程:,‎ 联立,‎ 解得,,‎ ‎∴C2与C3交点的直角坐标为(0,0),.‎ ‎(2)曲线C1:(t为参数,t≠0),化为普通方程:y=xtanα,其中0≤α≤π,其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0),‎ ‎∵A,B都在C1上,‎ ‎∴A(2sinα,α),B.‎ ‎∴|AB|==4,‎ 当时,|AB|取得最大值4.‎ ‎(2015•新课标II)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为  .‎ ‎【分析】首先画出平面区域,然后将目标函数变形为直线的斜截式,求在y轴的截距最大值.‎ ‎【解答】解:不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线经过D点时,z最大,‎ 由得D(1,),‎ 所以z=x+y的最大值为1+;‎ 故答案为:.‎ ‎(2015•新课标II)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(  )‎ A.B.C.D.‎ ‎【解答】解:当0≤x≤时,BP=tanx,AP==,‎ 此时f(x)=+tanx,0≤x≤,此时单调递增,‎ 当P在CD边上运动时,≤x≤且x≠时,‎ 如图所示,tan∠POB=tan(π﹣∠POQ)=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣,‎ ‎∴OQ=﹣,‎ ‎∴PD=AO﹣OQ=1+,PC=BO+OQ=1﹣,‎ ‎∴PA+PB=,‎ 当x=时,PA+PB=2,‎ 当P在AD边上运动时,≤x≤π,PA+PB=﹣tanx,‎ 由对称性可知函数f(x)关于x=对称,‎ 且f()>f(),且轨迹为非线型,‎ 排除A,C,D,‎ 故选:B.‎ ‎(2015•新课标II)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=﹣1,an+1=SnSn+1,则Sn=  .‎ ‎【分析】通过an+1=Sn+1﹣Sn=SnSn+1,并变形可得数列{}是以首项和公差均为﹣1的等差数列,进而可得结论.‎ ‎【解答】解:∵an+1=SnSn+1,‎ ‎∴an+1=Sn+1﹣Sn=SnSn+1,‎ ‎∴=﹣=1,‎ 即﹣=﹣1,‎ 又a1=﹣1,即==﹣1,‎ ‎∴数列{}是以首项和公差均为﹣1的等差数列,‎ ‎∴=﹣1﹣1(n﹣1)=﹣n,‎ ‎∴Sn=﹣,‎ 故答案为:﹣.‎ ‎(2013•四川)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是(  )‎ A.B.C.D.‎ ‎【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,由题意可得0≤x≤4,0≤y≤4,要满足条件须|x﹣y|≤2,作出其对应的平面区域,由几何概型可得答案.‎ ‎【解答】解:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,‎ 由题意可得0≤x≤4,0≤y≤4,‎ 它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒,则|x﹣y|≤2,‎ 由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比,‎ 由图可知所求的概率为:=‎ 故选C
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