高考数学专题辅导解析几何直线与圆锥曲线

高考数学专题辅导解析几何直线与圆锥曲线

高考数学专题复习 直线 圆锥曲线 平面向量 一 能力培养 ‎1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力 二 问题探讨 问题1设坐标原点为O,抛物线与过焦点的直线交于A,B两点,求的值.‎ 问题2已知直线L与椭圆交于P,Q不同两点,记OP,OQ的斜率分别为 ‎,,如果,求PQ连线的中点M的轨迹方程.‎ 问题3给定抛物线C:,F是C的焦点,过点F的直线与C相交于A,B两点.‎ ‎(I)设的斜率为1,求与夹角的大小;‎ ‎(II)设,若,求在轴上截距的变化范围.‎ 问题4求同时满足下列三个条件的曲线C的方程:‎ ①是椭圆或双曲线; ②原点O和直线分别为焦点及相应准线;‎ ③被直线垂直平分的弦AB的长为.‎ 三 习题探 选择题 ‎1已知椭圆的离心率,则实数的值为 A,3 B,3或 C, D,或 ‎2一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心的轨迹为 A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线 ‎3已知双曲线的顶点为与(2,5),它的一条渐近线与直线平行,则双曲 线的准线方程是 A, B, C, D,‎ ‎4抛物线上的点P到直线有最短的距离,则P的坐标是 A,(0,0) B, C, D,‎ ‎5已知点F,直线:,点B是上的动点.若过B垂直于轴的直线与线段 BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是 A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线 填空题 ‎6椭圆上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离 为,则此椭圆的方程为 .‎ ‎7与方程的图形关于对称的图形的方程是 .‎ ‎8设P是抛物线上的动点,点A的坐标为,点M在直线PA上,‎ 且分所成的比为2:1,则点M的轨迹方程是 .‎ ‎9设椭圆与双曲线有共同的焦点,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍,‎ ‎ 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 .‎ 解答题 ‎10已知点H,点P在轴上,点Q在轴的正半轴上,点M在直线PQ上,‎ 且满足,.‎ ‎(I)当点P在轴上移动时,求点M的轨迹C;‎ ‎(II)过点T作直线与轨迹C交于A,B两点,若在轴上存在一点E,‎ 使得是等边三角形,求的值.‎ ‎11已知双曲线C:,点B,F分别是双曲线C的右顶点和右焦点,‎ O为坐标原点.点A在轴正半轴上,且满足成等比数列,过点F作双曲 线C在第一,第三象限的渐近线的垂线,垂足为P.‎ ‎(I)求证:; (II)设,直线与双曲线C的左,右两分 支分别相交于点D,E,求的值.‎ ‎12已知双曲线的两个焦点分别为,,其中又是抛物线的焦点,点A,‎ ‎ B在双曲线上.‎ ‎(I)求点的轨迹方程; (II)是否存在直线与点的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数的值,若不存在,请说明理由.‎ 四 参考答案 问题1解:(1)当直线AB轴时,在中,令,有,则 ‎,得.‎ ‎(2)当直线AB与轴不互相垂直时,设AB的方程为:‎ 由,消去,整理得,显然.‎ 设,则,得 ‎=+=+‎ ‎ =‎ ‎ ==.‎ 综(1),(2)所述,有.‎ y p Q o 问题2解:设点P,Q,M的坐标分别为,‎ x 由条件知 ① ②‎ ‎, ③ ④‎ ①+②得 即,将③,④代入得,‎ 于是点M的轨迹方程为.‎ 问题3解:(I)C的焦点为F(1,0),直线的斜率为1,所以的方程为,‎ 把它代入,整理得 设A,B则有.‎ ‎+1=.‎ ‎,‎ 所以与夹角的大小为.‎ ‎(II)由题设得,即.‎ 得,又,有,可解得,由题意知,‎ 得B或,又F(1,0),得直线的方程为 或,‎ 当时,在轴上的截距为或,由,可知 在[4,9]上是递减的,于是,,‎ 所以直线在轴上的截距为[].‎ 问题4解:设M为曲线C上任一点,曲线C的离心率为,由条件①,②得 ‎,化简得: (i)‎ 设弦AB所在的直线方程为 (ii)‎ ‎(ii)代入(i)整理后得: (iii),‎ 可知不合题意,有,‎ 设弦AB的端点坐标为A,B,AB的中点P.则,是方程(iii)的两根.‎ ‎,‎ ‎,,又中点P在直线上,‎ 有+=0,解得,即AB的方程为,方程(iii)为 ‎,它的,得.‎ ‎,‎ 由,得 即,得,将它代入(i)得.‎ 所求的曲线C的方程为双曲线方程:.‎ ‎1焦点在轴得;焦点在轴得,选B.‎ ‎2设圆心O(0,0),,为动圆的圆心,则,选C.‎ ‎3知双曲线的中心为(2,2),由变形得,于是所求双曲线方程为 ‎,它的准线为,即,选A.‎ ‎4设直线与相切,联立整理得,‎ 由,得,这时得切点(,1),选B.‎ ‎5由知点M的轨迹是抛物线,选D.‎ ‎6可得,消去,整理得,有或(舍去),得,‎ ‎,所以所求的椭圆方程为.‎ ‎7设点P是所求曲线上任一点,它关于对称的点在上,‎ 有,即.‎ ‎8设点P,M,有,,得,‎ 而,于是得点M的轨迹方程是.‎ ‎9由条件可得或,设P代入可知交点的轨迹是两个圆.‎ ‎10解:(I) 设点M,由,得P 由,得所以.又点Q在轴的正半轴上,得.‎ 所以,动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.‎ ‎(II)设直线:,其中,代入,整理得 ①‎ 设A,B,,‎ ‎=,有AB的中点为,‎ AB的垂直平分线方程为,令,,有E 由为正三角形,E到直线AB的距离为,知.‎ 由,解得,所以.‎ ‎11(I)证明:直线的方程为:‎ 由,得P,又成等差数列,‎ 得A(,0),有,‎ 于是,,因此.‎ ‎(II)由,得,:‎ 由,消去,整理得 ①‎ 设D,E,由已知有,且,是方程①的两个根.‎ ‎,,,解得或.‎ 又,得=,因此.‎ ‎12解:(I),,设则 ‎,去掉绝对值号有两种情况,分别得的轨迹 方程为和()‎ ‎(II)直线:,:,D(1,4),椭圆Q:‎ ①若过点或D,由,D两点既在直线上,又在椭圆Q上,但不在的轨迹上,‎ 知与的轨迹只有一个公共点,不合题意.‎ ②若不过,D两点().则与必有一个公共点E,且点E不在椭圆Q上,‎ 所以要使与的轨迹有且只有两个公共点,必须使与Q有且只有一个公共点,‎ 把代入椭圆的方程并整理得 由,得.‎