高考理科数学创新题专题页含详解

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‎2019届高考数学创新题专题 ‎1、已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、函数f(x)=a+bx +c (a0) 的图象关于直线x=－对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程 m[f(x)]+nf(x) +p=0的解集都不可能是 （ ）‎ A. B . C . D. ‎ ‎3、对数列，如果及，使成立，其中，则称为阶递归数列．给出下列三个结论：‎ ① 若是等比数列，则为阶递归数列；‎ ② 若是等差数列，则为阶递归数列；‎ ③ 若数列的通项公式为，则为阶递归数列．‎ 其中，正确结论的个数是（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎4、如图，半径为2的⊙与直线相切于点，射线 从出发绕点逆时针方向旋转到，旋转过程中，交 ‎⊙于点，设为，弓 形 的面积为，‎ 那么的图象大致是（ ） ‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ S O x ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ S O x ‎2‎ ‎2‎ S O x ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ S O A B C D ‎5、在空间直角坐标系中，对其中任何一向量，定义范数，它满足以下性质： ，当且仅当为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数 ‎，‎ ‎（注：此处点乘号为普通的乘号）。（3）。‎ 在平面直角坐标系中，有向量，下面给出的几个表达式中，可能表示向量的范数的是____（把所有正确答案的序号都填上）‎ ‎ （1） （2） （3） （4）‎ A C B D P ‎6、如图，已知平面，、是上的两个点，、在平面内，且，，在平 面上有一个动点，使得，则 体积的最大值是（ ） ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7、已知线段AB上有10个确定的点（包括端点A与B）．现对这些点进行往返标数（从A→B →A→B→…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）．如图：在点A上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n的点称为点n），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2019都被标记到点上．则点2019上的所有标数中，最小的是 ．‎ ‎8、有连续的自然数1、2、3、…、n，去掉其中一个数后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n的最小值是 ‎ ‎9、从1到k这k个整数中最少应选m个数才能保证选出的m个数中必存在三个不同的数可构成一个三角形的三边长。(1)若k=10，则m= （2）若k=2019，则m= ‎ ‎10、由19条水平直线与19条竖直直线组成的的围棋棋盘中任选一个矩形，‎ ‎（1）有 种不同的选法；（2）所得矩形为正方形的概率为 ‎ ‎11、下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上 的点M，如图1；将线段围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个 圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为，如图3.图3中直 线与x轴交于点，则m的象就是n，记作.‎ ‎(ⅰ)方程的解是 ;‎ ‎(ⅱ)下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)‎ ‎①； ②是奇函数;‎ ‎③在定义域上单调递增; ④的图象关于点 对称．‎ ‎12、是抛物线的焦点，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，设，则： ①若且，则的值为；‎ ②（用和表示）. ‎ ‎13、若正整数，称为N的一个“分解积”，‎ （1） 当N分别等于6,7,8时，它们的 “分解积”的最大值分别为 ‎ （2） 当N=‎3m+1 （）时，它的 “分解积”的最大值为 ‎ ‎14、若或，则称为和的一个位排列．对于，将排列记为；将排列记为；依此类推，直至．对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做和的相关值，记作．例如，则， ．若，则称为最佳排列． （Ⅰ）写出所有的最佳排列 ； （Ⅱ）若某个是正整数为最佳排列，则排列中的个数 ．‎ ‎15、对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合. 已知，.（1）用列举法写出集合= ；（2）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，当取最小值时集合X的可能情况有 种。‎ ‎16、若对于正整数,表示的最大奇数因数，例如，.设． ‎ ‎（1）则= （2） ‎ ‎17、若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点()在函数的图像上，其中n 为正整数．‎ ‎（Ⅰ）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为，即 ，求数列的通项及关于的表达式；‎ ‎（Ⅲ）记 ，求数列的前项和，并求使的的最小值．‎ ‎18、已知函数，为函数的导函数．‎ ‎（Ⅰ）若数列满足，且，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，．（ⅰ）是否存在实数b，使得数列是等差数列？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）若b>0，求证：．‎ ‎19、直线相交于点.直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列，‎ ‎…，点的横坐标构成数列 ‎（1）当时，求点的坐标并猜出点的坐标(不用证明)；‎ ‎（2）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（3）比较的大小.‎ ‎20、在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列．‎ ‎（I）求点的坐标；‎ ‎（II）设抛物线列,中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线 的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：；‎ ‎（III）设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式．‎ ‎21、已知数列满足，且当时，，令．‎ ‎（Ⅰ）写出的所有可能的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由．‎ ‎22、将正整数2019表示成个正整数之和.记.‎ ‎（I）当时，取何值时有最大值.‎ ‎（II）当时，分别取何值时，取得最大值，并说明理由.‎ ‎（III）设对任意的1≤≤5且||≤2,当取何值时，S取得最小值，并说明理由.‎ ‎2019届高考数学创新题专题 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ D D D D ‎(1)(4)‎ C ‎5、解析：知当且仅当为零向量时，=0 因此可以排除(2),(3). ‎ ‎ 现在探索一下（1）是否满足性质（3） 这是显然成立的，所以（1）满足性质（3）‎ 又（1）显然满足性质（2）；所以（1）能表示X的范数 同理可以知道（4）也可以表示所以经过验证后可以知道正确的是（1）（4）‎ ‎7、 3‎ ‎8、30 ‎ ‎9、 (1)若k=10，则m= 6 （2）若k=2019，则m= 17 ‎ ‎10（1）有 29241 种不同的选法；（2）所得矩形为正方形的概率为 ‎11、‎ 解析：(i) 则; ‎ ‎(ii) 当时，∠ACM=,此时故 ①错 的定义域为不关于原点对称 ②错 显然随着m的增大,n也增大;所以在定义域上单调递增 ③对 又整个过程是对称的,所以 ④对 ‎12、① ； ‎ ‎②或 ‎13、（1） 9；12；18 ‎ ‎（2）‎ ‎14、解：（Ⅰ）最佳排列为，，，，，． ‎ ‎（Ⅱ） 或，得 因为 ，‎ 所以 与每个有个对应位置数码相同，有个对应位置数码不 同，因此有，‎ 以上各式求和得， ． ‎ 另一方面，还可以这样求和：设中有个，个，则．‎ 所以 解得或 ‎ 所以排列中的个数是或． ‎ ‎15、解：（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）根据题意可知：对于集合，①若且，则；②若且，则.所以 要使的值最小，‎ ‎ 2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.所以 当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时， 最小值4， X的可能情况有16种 ‎ ‎16、解：‎ 不难发现对， 有． ‎ ‎ 所以当时，‎ 于是，．‎ 所以 ，‎ ‎． 又，满足上式， 所以对，．‎ ‎17、解：（I）因为 ‎ 所以数列是“平方递推数列” . ---2分 ‎ 由以上结论， 所以数列为首项是公比为2的等比数列. ‎ ‎ （II）， . ‎ ‎（III） . . ‎ ‎18、解：（Ⅰ）因为 ， 所以 ．‎ 所以 ，所以 ，且， ‎ 所以数列是首项为2，公比为的等比数列． ‎ 所以 ， 即． ……4分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数，使数列为等差数列，则必有，‎ 且，，．‎ 所以 ，解得 或．‎ 当时，，，所以数列为等差数列；‎ 当时，，，，，显然不是等差数列．‎ 所以，当时，数列为等差数列． ……9分 ‎（ⅱ），，则；‎ 所以 ；所以 ．‎ 因为 ，所以 ；‎ 所以 ．‎ ‎19、解：(1),可猜得. ‎ ‎ （2）设点的坐标是，由已知条件得 点的坐标分别是：‎ 由在直线上，得 ‎ 所以 即 ‎ 所以数列 是首项为公比为的等比数列.‎ 由题设知 ‎ 从而 ‎ ‎（3）由得点的坐标为（1，1）.‎ 所以 ‎ ‎（i）当时，,‎ 而此时 ‎ ‎（ii）当时，.‎ 而此时 ‎ ‎20、解：（I） ‎ ‎（II）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为： 把代入上式，得，‎ 的方程为：. ‎ 当时， ‎ ‎（III），‎ T中最大数. ‎ 设公差为，则，由此得 ‎21、解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：‎ ‎（1）此时；（2）此时；‎ ‎（3）此时；（4）此时；‎ ‎（5）此时；（6）此时；‎ ‎ 所以，的所有可能的值为：，，，，． ……4分 ‎（Ⅱ）由，‎ ‎ 可设，则或（，），‎ 因为，所以 ‎ ‎ 因为，所以，且为奇数，是由 ‎ 个1和个构成的数列．‎ ‎ 所以 则当的前项取，后项取时最大，‎ 此时．‎ 证明如下：‎ 假设的前项中恰有项取，则 的后项中恰有项取，其中，‎ 所以 ‎ 所以的最大值为． …9分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果的前项中恰有项取，的后项中恰有项取，则，若，则，因为是奇数，所以是奇数，而是偶数，因此不存在数列，使得． ……13分 ‎22、解：（I）根据均值不等式，当x1=x2=1006时，S有最大值10062. --2分 ‎（II）当x1=x2=x3 =402，x4=x5=403时，S取得最大值. -4分 由x1+x2+x3 +x4+x5=2019，取得最大值时，必有|xi-xj|≤1（ 1≤i

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