（浙江专版）2020年高考数学一轮复习解三角形及其应用举例 4

（浙江专版）2020年高考数学一轮复习解三角形及其应用举例 4

第07节 解三角形及其应用举例 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.【2018年全国卷II理】1．海上两小岛到海洋观察站的距离都是，小岛在观察站的北偏东，小岛在观察站的南偏东，则与的距离是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎2．一船沿北偏西方向航行，正东有两个灯塔A,B, 海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东，另一灯塔在船的南偏东，则这艘船的速度是每小时 （ ）‎ A. 5海里 B. 海里 C. 10海里 D. 海里 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图所示,∠COA=135°,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15°,∠OAC=30°，AB=10，∴AC=10.‎ ‎△AOC中,由正弦定理可得，‎ 16‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴这艘船的速度是每小时海里，‎ 本题选择D选项.‎ ‎3．如图，有一长为的斜坡，它的倾斜角为，现要将倾斜角改为，则坡底要加长（　　）‎ A. 0.5‎‎ B. ‎1 ‎C. 1.5 D. 32‎ ‎【答案】B ‎【解析】设坡顶为A，A到地面的垂足为D，坡底为B，改造后的坡底为C，根据题意要求得BC的长度，如图 ‎∵∠ABD=，∠C=，‎ ‎∴∠BAC=.‎ ‎∴AB=BC，‎ ‎∴BC=1，‎ 即坡底要加长‎1km.‎ 故选B.‎ ‎4．如图，在海岸线上相距千米的A、C两地分别测得小岛B在A的北偏西方向，在C的北偏西方向，且，则BC之间的距离是 ‎ 16‎ A. 千米 B. 30千米 C. 千米 D. 12千米 ‎【答案】D ‎【解析】依题意得，AC=，sinA=sin(+α)=cosα=． sinB=sin(-2α)=cos2α=2cos2α-1=， 在ΔABC中，由正弦定理得， =12． 则C与B的距离是‎12km．‎ ‎6.如图，在三角形ABC中，点 在 边上，， ， ,则的值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，根据条件知为等边三角形，则，，由余弦定理，得，即，由正弦定理，得，则，故正确答案为D.‎ ‎7．【山东省青岛市2018年春季高考二模】如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为 16‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎8.【2018届湖北省稳派教育第二次联考】如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足 A． B． ‎ C． D． 0‎ ‎【答案】D 16‎ ‎9.【2018届广西二模】我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积公式”为.若，，则用“三斜求积公式”求得的（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由 可得，‎ 由 可得，‎ 整理计算有：，‎ 结合三角形面积公式可得： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎10.【2018届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】已知锐角的内角为，，，点为上的一点，，，，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：中，由余弦定理可得，中，由正弦定理得，‎ 16‎ 根据极限位置，可得当时，，‎ 当时，，从而可得的取值范围.‎ 详解：中，由余弦定理可得，‎ ‎ ，，‎ 中，由正弦定理得，，‎ 得，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 为锐角三角形，‎ ‎，‎ 的取值范围为，故选A.‎ 二、填空题：本大题共7小题，共36分．‎ ‎11.【2018届安徽省示范高中（皖江八校）5月联考】如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地，去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈(丈尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为__________尺．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据题意画出图形，列出等式关系，联立即可求解.‎ 详解：如图，已知（尺），（尺）， ， ‎ ‎∴，解得，‎ 因此，解得 ，‎ 故折断后的竹干高为尺.‎ 16‎ ‎12.【2018届吉林省吉大附中四模】为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎13.如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔68海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为__________海里/小时.‎ ‎【答案】‎ 16‎ ‎【解析】‎ 如图,在△MNO中，由正弦定理可得，‎ ‎，‎ 则这艘船的航行速度 (海里/小时).‎ ‎14.【2018届贵州省凯里市第一中学《黄金卷》三】如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观察点， 测得山顶的仰角分别为， ，且该两点间的距离是米，则此山的竖直高度为__________米（用含， ， 的式子表达）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图在中有，则．‎ 在中， ，则 16‎ 故高度： ．‎ 故答案为： ‎ ‎15．【2018年衡水金卷调研卷三】某港口停泊两艘船，大船从港口出发，沿东偏北60°方向行驶2.5小时后，小船开始向正东方向行驶，小船出发1.5小时后，大船接到命令，需要把一箱货物转到小船上，便折向驶向小船，期间，小船行进方向不变，从大船折向开始，到与小船相遇，最少需要的时间是__________小时．‎ ‎【答案】3.5‎ ‎【解析】‎ 设港口为O，小船行驶1.5小时到达B，此时大船行驶到A，大船折向按方向行驶，大船与小船同时到达C点时，用时最少.‎ 设从A到C，大船行驶时间为t，则OA=， .由余弦定理得，即 ‎∴，解得 即最少需要3.5小时.‎ ‎16. 如图，一栋建筑物的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________ m.‎ ‎【答案】60‎ 16‎ ‎【解析】设AE⊥CD，垂足为E，则 在△AMC中, ，‎ 由正弦定理得： ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故答案为60.‎ ‎17.【2018届四川省绵阳市三诊】如图，在中， ， ， 的垂直平分线与分别交于两点，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：连接，因为是中垂线，所以.在中，由正弦定理得到与角的关系.在直角三角形中， ，两者结合可得的大小，从而在中利用正弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得 .‎ ‎.‎ 16‎ 详解：由题设，有，所以，故.‎ 又，‎ 所以，而，故，‎ 因此为等腰直角三角形，所以.‎ 在中， ，所以，故，‎ 在中， .‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18.【河北省邯郸市2017-2018学年高二下期末】如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.‎ ‎（1）求该军舰艇的速度.‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）‎14海里/小时；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）由题设可以得到的长，在中利用余弦定理可以得到的长，从而得到舰艇的速度；‎ ‎（2）在中利用正弦定理可得的值.‎ 详解：(1)依题意知，，，‎ 在中， 由余弦定理得 ‎，‎ 16‎ 解得，所以该军舰艇的速度为海里/小时．‎ ‎(2)在中，由正弦定理，得，即．‎ ‎19. 如图，是两个小区所在地，到一条公路的垂直距离分别为，两端之间的距离为.‎ ‎（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对的张角与对的张角相等，试确定点的位置；‎ ‎（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对所张角最大，试确定点的位置.‎ ‎【答案】（1）4；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用张角相等的相似性即可确定点P的位置；‎ ‎(2)由题意得到三角函数，换元之后结合对勾函数的性质可得当时满足题意.‎ 试题解析：‎ ‎（1）张角相等，∴，∴‎ ‎(2)设，∴，‎ ‎∴，， ，设，，，，‎ ‎∴ ，，‎ 当且仅当时，等号成立，此时，即 ‎20.如图，在某海滨城市附近的海面上正形成台风。据气象部门检测，目前台风中心位于城市的南偏东方向的海面处，并以的速度向北偏西方向移动.如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为，并以的速度不断增大.几小时后该城市开始受到台风侵袭（精确到）？‎ 16‎ ‎【答案】4.1小时．‎ 解：根据题意可设小时后台风中心到达点，‎ 该城市开始受到台风侵袭，如图中，，‎ ‎，，，‎ 由余弦定理得，‎ ‎ ，‎ 化简得，‎ 解得.‎ 答：大约4.1小时后该城市开始受到台风的侵袭。‎ ‎21.【2018届江苏南京溧水高级中学期初模拟】如图，在海岸线一侧处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了两个报名点，满足中任意两点间的距离为.公司拟按以下思路运作：先将两处游客分别乘车集中到之间的中转点处(点异于两点)，然后乘同一艘轮游轮前往岛．据统计，每批游客处需发车2辆， 处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费元，游轮每千米耗费元．（其中是正常数）设∠，每批游客从各自报名点到岛所需运输成本为元．‎ 16‎ ‎(1) 写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；‎ ‎(2) 问：中转点距离处多远时， 最小？‎ ‎【答案】(1) ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）在中，求出相关的角，利用正弦定理，求出，表示出所需运输成本为元关于的函数表达式；（2）利用函数表达式，求出函数的导数，通过导数的符号，判断单调性求解函数的最值.‎ 试题解析：(1) 由题知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α.‎ 由正弦定理知， ‎ 即CD＝， AD＝， ‎ 所以S＝4aAD＋8aBD＋12aCD＝ (12CD－4AD＋80)a ‎＝a＋‎80a ＝a＋‎60a ‎ 16‎ ‎22.【2018届上海市徐汇区二模】如图，某快递小哥从地出发，沿小路以平均速度为20公里小时送快件到处，已知公里，，是等腰三角形，．‎ ‎（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？‎ ‎（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车的平均速度为‎60公里小时，问，汽车能否先到达处？‎ ‎【答案】(1)快递小哥不能在50分钟内将快件送到处． ‎ ‎(2)汽车能先到达处．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意结合图形，根据正弦定理可得，，求得的长，又，可求出快递小哥从地到地的路程，再计算小哥到达地的时间，从而问题可得解；‎ ‎（2）由题意，可根据余弦定理分别算出与的长，计算汽车行驰的路程，从而求出汽车到达地所用的时间，计算其与步小哥所用时间相差是否有15分钟，从而问题可得解.‎ 16‎ ‎（2）在中，由，‎ 得（公里），‎ 在中，，由，‎ 得（公里），- ‎ 由（分钟）‎ 知，汽车能先到达处．‎ 16‎