高考数学理科模拟试卷一
2018 年高考数学(理科)模拟试卷(一)
(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟)
第Ⅰ卷(选择题 满分 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．(2016 年四川)设集合 A＝{x|1≤x≤5}，Z 为整数集，则集合 A∩Z 中元素的个数是
( )
A．6 B. 5 C．4 D．3
2．(2016 年山东)若复数 z 满足 2z＋z＝3－2i, 其中 i 为虚数单位，则 z＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
3．(2015 年北京)某四棱锥的三视图如图 M11，该四棱锥最长棱的棱长为( )
图 M11
A．1 B. 2 C. 3 D．2
4．曲线 y＝x3－2x＋4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )
A.π
6 B.π
3 C.π
4 D.π
2
5．设 x∈R，[x]表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝
n 同时成立，则正整数 n 的最大值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
6．(2016 年北京)执行如图 M12 所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为
( )
图 M12
A．1 B．2 C．3 D．4
7．某市重点中学奥数培训班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成
绩的茎叶图如图 M13，其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，
则 m＋n 的值是( )
图 M13
A．10 B．11 C．12 D．13
8．(2015 年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料．已知分别生产 1
吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分
别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
项目 甲 乙 原料限额
A/吨 3 2 12
B/吨 1 2 8
A.12 万元 B．16 万元
C．17 万元 D．18 万元
9．(2016 年新课标Ⅲ)定义“规范 01 数列”{an}如下：{an}共有 2m 项，其中 m 项为 0，
m 项为 1，且对任意 k≤2m，a1，a2，…，ak 中 0 的个数不少于 1 的个数．若 m＝4，则不同
的“规范 01 数列”共有( )
A．18 个 B．16 个 C．14 个 D．12 个
10．(2016 年天津)已知函数 f(x)＝sin2ωx
2 ＋1
2sin ωx－1
2(ω>0)，x∈R.若 f(x)在区间(π，2π)
内没有零点，则 ω 的取值范围是( )
A.(0，1
8 ] B.(0，1
4 ]∪[5
8，1 )
C.(0，5
8 ] D.(0，1
8 ]∪[1
4，5
8 ]
11．四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为正方形，PA⊥底面 ABCD，AB＝2，若该四棱锥的
所有顶点都在体积为243π
16 的同一球面上，则 PA＝( )
A．3 B.7
2
C．2 3 D.9
2
12．已知 F 为抛物线 y2＝x 的焦点，点 A、B 在该抛物线上且位于 x 轴两侧，若OA
→
·OB
→
＝
6(O 为坐标原点)，则△ABO 与△AOF 面积之和的最小值为( )
A．4 B.3 13
2 C.17 2
4 D. 10
第Ⅱ卷(非选择题 满分 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生必须作答．第
22～23 题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．平面向量 a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹
角，则 m＝________.
14．设 F 是双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1 的一个焦点，若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰
为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为__________．
15．(2016 年北京)在(1－2x)6 的展开式中，x2 的系数为________．(用数字作答)
16．在区间[0，π]上随机地取一个数 x，则事件“sin x≤1
2”发生的概率为________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 12 分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且 a1＝
b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设 cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和．
18．(本小题满分 12 分)(2014 年大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设
备的概率分别为 0.6，0.5，0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；
(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求 X 的数学期望．
19．(本小题满分 12 分)(2016 年四川)如图 M14，在四棱锥 PABCD 中，AD∥BC，∠ADC
＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝1
2AD，E 为边 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°.
(1)在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM∥平面 PBE，并说明理由；
(2)若二面角 PCDA 的大小为 45°，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值．
图 M14
20．(本小题满分 12 分)(2016 年新课标Ⅲ)设函数 f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)证明当 x∈(1，＋∞)时，1
1，证明当 x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.
21．(本小题满分 12 分)(2016 年广东广州综合测试一)已知椭圆 C 的中心在坐标原点，
焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为 F1(－2, 0)，点 B(2， 2)在椭圆 C 上，直线 y＝kx(k≠0)
与椭圆 C 交于 E，F 两点，直线 AE，AF 分别与 y 轴交于点 M，N.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理
由．
请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多
做，则按所做的第一个题目计分．
22．(本小题满分 10 分)选修 44：极坐标与参数方程
已知曲线 C 的参数方程是Error!(θ 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，A、B 的极坐标分别为 A(2，π)、B(2，4π
3 ).
(1)求直线 AB 的直角坐标方程；
(2)设 M 为曲线 C 上的动点，求点 M 到直线 AB 距离的最大值．
23．(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲
已知函数 f(x)＝|x－2|－|2x－a|，a∈R.
(1)当 a＝3 时，解不等式 f(x)>0；
(2)当 x∈(－∞，2)时，f(x)<0 恒成立，求 a 的取值范围．
2018 年高考数学(理科)模拟试卷(一)
1.B 解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为 5.故选 B.
2．B 解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 2z＋z＝3a＋bi＝3－2i，故 a＝1，b＝－2，则
z＝1－2i.故选 B.
3．C 解析：四棱锥的直观图如图 D188：由三视图可知，SC⊥平面 ABCD，SA 是四棱
锥最长的棱，SA＝ SC2＋AC2＝ SC2＋AB2＋BC2＝ 3.故选 C.
图 D188
4．C 解析：f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，所以切线的斜率是 1，倾斜角为π
4.
5．B 解析：因为[x]表示不超过 x 的最大整数．由[t]＝1，得 1≤t<2，由[t 2]＝2，得
2≤t2<3.由[t3]＝3，得 3≤t3<4.由[t4]＝4，得 4≤t4<5.所以 2≤t2< 5.所以 6≤t5<4 5.由[t5]＝
5，得 5≤t5<6，与 6≤t5<4 5矛盾，故正整数 n 的最大值是 4.
6．B 解析：输入 a＝1，则 k＝0，b＝1；
进入循环体，a＝－1
2，否，k＝1，a＝－2，否，k＝2，a＝1，
此时 a＝b＝1，输出 k，则 k＝2.故选 B.
7．C 解析：由题意，得 78＋88＋84＋86＋92＋90＋m＋95
7 ＝88，n＝9.所以 m＋n＝
12.故选 C.
8．D 解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x 吨、y 吨，则利润 z＝3x＋4y.
由题意可得Error!其表示如图 D189 阴影部分区域：
图 D189
当直线 3x＋4y－z＝0 过点 A(2,3)时，z 取得最大值，所以 z max＝3×2＋4×3＝18.故选
D.
9．C 解析：由题意，必有 a1＝0，a8＝1，则具体的排法列表如下：
10.D 解析：f(x)＝1－cos ωx
2 ＋sin ωx
2 －1
2＝ 2
2 sin(ωx－π
4)，f(x)＝0⇒sin(ωx－π
4)＝0，
所以 x＝
kπ＋π
4
ω (π，2π)，(k∈Z)．
因 此 ω (1
8，1
4 )∪ (5
8，5
4 )∪ (9
8，9
4 )∪ … ＝ (1
8，1
4 )∪ (5
8，＋∞)⇒ ω ∈ (0，1
8 ]∪
[1
4，5
8 ].故选 D.
11．B 解析：如图 D190，连接 AC，BD 交于点 E，取 PC 的中点 O，连接 OE，则 OE
∥PA，所以 OE⊥底面 ABCD，则 O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即 O 为球心，1
2PC＝
1
2 PA2＋AC2＝1
2 PA2＋8，所以由球的体积可得 4
3π(1
2 PA2＋8)3＝243π
16 ，解得 PA＝7
2.故选
B.
图 D190
12．B 解析：设直线 AB 的方程为 x＝ty＋m，点 A(x 1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 与 x
轴的交点为 M(m,0)，
将直线方程与抛物线方程联立，可得 y2－ty－m＝0，根据韦达定理有 y1·y2＝－m，因为
OA
→
·OB
→
＝6，所以 x1·x2＋y1·y2＝6，从而(y1·y2)2＋y1·y2－6＝0，因为点 A，B 位于 x 轴的两侧，
所以 y1·y2＝－3，故 m＝3，不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y1>0，又 F(1
4，0 )，所以 S△ABO＋S
△AFO＝1
2×3×(y1－y2)＋1
2×1
4y1＝13
8 y1＋ 9
2y1≥2 13
8 ·y1·9
2· 1
y1＝3 13
2 ，当且仅当13y1
8 ＝ 9
2y1，即 y1
＝6 13
13 时取等号，故其最小值为3 13
2 .故选 B.
13．2 解析：a＝(1,2)，b＝(4,2)，则 c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝ 5，|b|＝2 5，
a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.∵c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，∴ c·a
|c|·|a|＝ c·b
|c|·|b|.∴5m＋8
5
＝
8m＋20
2 5 .解得 m＝2.
14. 5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设 F(c,0)，虚轴端点为(0，b)，从而可知点(－
c,2b)在双曲线上，有c2
a2－4b2
b2 ＝1，则 e2＝5，e＝ 5.
15．60 解析：根据二项展开的通项公式 Tr＋1＝Cr6·(－2)rxr 可知，x2 的系数为 C26(－2)2＝
60，故填 60.
16.1
3 解析：由正弦函数的图象与性质知，当 x∈[0，π
6 ]∪[5π
6 ，π]时，sin x≤1
2.
所以所求概率为
(π
6－0 )＋(π－5π
6 )
π ＝1
3.
17．解：(1)设{an}的公比为 q，{bn}的公差为 d，由题意知 q>0.由已知，有Error!消去
d，得 q4－2q2－8＝0.解得 q＝2，d＝2.
所以{an}的通项公式为 an＝2n－1，n∈N*，
{bn}的通项公式为 bn＝2n－1，n∈N*.
(2)由(1)有 cn＝(2n－1)2n－1，设{cn}的前 n 项和为 Sn，
则 Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，
2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n.
两式相减，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3.
所以 Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.
18．解：记 A1 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备，i＝0,1,2.
B 表示事件：甲需使用设备．
C 表示事件：丁需使用设备．
D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备．
(1)因为 P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝Ci2×0.52，i＝0,1,2，
所以 P(D)＝P(A1·B·C＋A 2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A 2·B)＋P(A2·B·C)
＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.
(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4，其分布列为
P(X＝0)＝P(B·A0·C)
＝P(B)P(A0)P(C)
＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)
＝0.06，
P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)
＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)
＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，
P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A 2)P(B)P(C)
＝0.52×0.6×0.4＝0.06，
P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)
＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，
所以 E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)
＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.
19．解：(1)在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行．
延长 AB，DC，相交于点 M(M∈平面 PAB)，点 M 即为所求的一个点．理由如下：
由已知，BC∥ED，且 BC＝ED，
所以四边形 BCDE 是平行四边形．
所以 CD∥EB.
从而 CM∥EB.
又 EB⊂平面 PBE，CM 平面 PBE，
所以 CM∥平面 PBE.
(说明：延长 AP 至点 N，使得 AP＝PN，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)
(2)方法一，由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，
所以 CD⊥平面 PAD.
从而 CD⊥PD.
所以∠PDA 是二面角 PCDA 的平面角．
所以∠PDA＝45°.
设 BC＝1，则在 Rt△PAD 中，PA＝AD＝2.
如图 D191，过点 A 作 AH⊥CE，交 CE 的延长线于点 H，连接 PH.
易知 PA⊥平面 ABCD，
从而 PA⊥CE.
于是 CE⊥平面 PAH.
所以平面 PCE⊥平面 PAH.
过 A 作 AQ⊥PH 于 Q，则 AQ⊥平面 PCE.
所以∠APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角．
在 Rt△AEH 中，∠AEH＝45°，AE＝1，
所以 AH＝ 2
2 .
在 Rt△PAH 中，PH＝ PA2＋AH2＝3 2
2 ，
所以 sin∠APH＝AH
PH＝1
3.
图 D191 图 D192
方法二，由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，
所以 CD⊥平面 PAD.
于是 CD⊥PD.
从而∠PDA 是二面角 PCDA 的平面角．
所以∠PDA＝45°.
由 PA⊥AB，可得 PA⊥平面 ABCD.
设 BC＝1，则在 Rt△PAD 中，PA＝AD＝2.
作 Ay⊥AD，以 A 为原点，以AD
→
，AP
→
的方向分别为 x 轴，z 轴的正方向，建立如图 D192
所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，
所以PE
→
＝(1,0，－2)，EC
→
＝(1,1,0)，AP
→
＝(0,0,2)
设平面 PCE 的法向量为 n＝(x，y，z)，
由Error! 得Error!
设 x＝2，解得 n＝(2，－2,1)．
设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 α，
则 sin α＝
|n·AP
→
|
|n|·|AP
→
|
＝ 2
2 × 22＋(－2)2＋12
＝1
3 .
所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为1
3.
20．解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1
x－1，令 f′(x)＝0，解得 x＝1.
当 00，f(x)单调递增；
当 x>1 时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
(2)由(1)知，f(x)在 x＝1 处取得最大值，最大值为 f(1)＝0.
所以当 x≠1 时，ln x1，设 g(x)＝1＋(c－1)x－cx，
则 g′(x)＝c－1－cxln c.
令 g′(x)＝0，解得 x0＝
ln c－1
ln c
ln c .
当 x0，g(x)单调递增；
当 x>x0 时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
由(2)知，10.
所以 x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.
21．解：(1)设椭圆 C 的方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，
因为椭圆的左焦点为 F1(－2,0)，所以 a2－b2＝4.①
因为点 B(2， 2)在椭圆 C 上，所以 4
a2＋ 2
b2＝1.②
由①②，解得 a＝2 2，b＝2.
所以椭圆 C 的方程为x2
8＋y2
4＝1.
(2)因为椭圆 C 的左顶点为 A，则点 A 的坐标为(－2 2，0)．
因为直线 y＝kx(k≠0)与椭圆x2
8＋y2
4＝1 交于两点 E，F，
设点 E(x0，y0)(不妨设 x0>0)，则点 F(－x0，－y0)．
联立方程组Error!消去 y，得 x2＝ 8
1＋2k2.
所以 x0＝ 2 2
1＋2k2，则 y0＝ 2 2k
1＋2k2.
所以直线 AE 的方程为 y＝ k
1＋ 1＋2k2(x＋2 2)．
因为直线 AE，AF 分别与 y 轴交于点 M，N，
令 x＝0 得 y＝ 2 2k
1＋ 1＋2k2，即点 M(0， 2 2k
1＋ 1＋2k2).
同理可得点 N(0， 2 2k
1－ 1＋2k2).
所以|MN|＝| 2 2k
1＋ 1＋2k2
－ 2 2k
1－ 1＋2k2|＝2 2(1＋2k2)
|k| .
设 MN 的中点为 P，则点 P 的坐标为 P(0，－ 2
k ).
则以 MN 为直径的圆的方程为 x2＋(y＋ 2
k )2＝( 2(1＋2k2)
|k| )2，即 x2＋y2＋2 2
k y＝4.
令 y＝0，得 x2＝4，即 x＝2 或 x＝－2.
故以 MN 为直径的圆经过两定点 P1(2,0)，P2(－2,0)，
22．解：(1)将 A、B 化为直角坐标为 A(2cos π，2sin π)，B(2cos 4π
3 ，2sin 4π
3 )，即 A，B
的直角坐标分别为 A(－2,0)，B(－1，－ 3)，
kAB＝
－ 3－0
－1＋2 ＝－ 3，
∴直线 AB 的方程为 y－0＝－ 3(x＋2)，
即直线 AB 的方程为 3x＋y＋2 3＝0.
(2)设 M(2cos θ，sin θ)，它到直线 AB 的距离
d＝|2 3cos θ＋sin θ＋2 3|
2 ＝| 13sin(θ＋φ)＋2 3|
2 ，
∴dmax＝ 13＋2 3
2 .
23．解：(1)当 a＝3 时，f(x)>0，即|x－2|－|2x－3|>0，
等价于Error!或Error!或Error!
解得 12－x， ①
即 2x－a>2－x，或 2x－aa 或(x＋2)max
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