高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解
高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解
一、选择题
1．(文)(2010·黑龙江哈三中)直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a>0)没有公共点，则a的取值范围是( )
A．(0，－1) B．(－1，＋1)
C．(－－1，＋1) D．(0，＋1)
[答案] A
[解析] 圆的方程x2＋(y－a)2＝a2，由题意知圆心(0，a)到直线x＋y－1＝0距离大于a，即>a，解得－1－
0，∴00，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的一条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P，若M为FP的中点，则|OM|－|MT|等于( )
A．b－a B．a－b
C. D．a＋b
[答案] A
[解析] 如图，F′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF|－|PF′|＝2a.又M为PF的中点，∴|MF|－|OM|＝a，即|OM|＝|MF|－a.
又直线PF与圆相切，
∴|FT|＝＝b，
∴|OM|－|MT|＝|MF|－a－(|MF|－|FT|)＝|FT|－a＝b－a，故选A.
8．(文)(2010·广东茂名)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤2＝，故选A.
(理)(2010·泰安质检)如果直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M、N两点，且M、N关于直线x＋y＝0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是( )
A. B.
C．1 D．2
[答案] A
[解析] ∵直线y＝kx＋1与圆的两交点M、N关于直线x＋y＝0对称，∴圆心在直线x＋y＝0上，且两直线y＝kx＋1与x＋y＝0垂直，∴，
∴，∴不等式组化为，表示的平面区域如图，故其面积S＝|OA|·yB＝.
9．(文)若动圆C与圆C1：(x＋2)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－2)2＋y2＝4内切，则动圆C的圆心的轨迹是( )
A．两个椭圆
B．一个椭圆及双曲线的一支
C．两双曲线的各一支
D．双曲线的一支
[答案] D
[解析] 设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得
|C1C|＝r＋1，|C2C|＝r－2，
∴|C1C|－|C2C|＝3，
故C点的轨迹为双曲线的一支．
(理)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( )
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
[答案] B
[解析] 以A为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系，则A(10t,10t)，B(40,0)．
当满足下列条件时，B城市处于危险区内，即(10t－40)2＋(10t)2≤302，解得－≤t≤＋，
故选B.
10．(2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则直线ax－by＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由题意知，圆心C(1,2)到直线ax－by＝0距离d<1，∴<1，化简得3b－4a<0，如图，满足直线与圆相交的点(a，b)落在图中阴影部分，E，∵S矩形ABCD＝2，S梯形OABE＝＝，
由几何概型知，所求概率P＝＝.
二、填空题
11．(2010·四川广元市质检)已知直线l：x－2y－5＝0与圆O：x2＋y2＝50相交于A、B两点，则△AOB的面积为______．
[答案] 15
[解析] 圆心(0,0)到直线l距离d＝，圆半径R＝5，∴弦长|AB|＝2＝6，
∴S△AOB＝|AB|·d＝×6×＝15.
12．(文)(2010·天津南开区模拟)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线OA、OB，A、B为切点，则线段AB的长为________．
[答案] 4
[解析] 圆(x－3)2＋(y－4)2＝5的圆心C(3,4)，半径为r＝，|CO|＝5，∴切线长|OA|＝2，
由|OA|·|CA|＝|OC|·d，得d＝2，
∴弦长|AB|＝2d＝4.
(理)(2010·甘肃质检)若直线2x－y＋c＝0按向量a＝(1，－1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则c的值为________．
[答案] 8或－2
[解析] 设直线2x－y＋c＝0上点P(x0，y0)，按a平移后移到点P′(x，y)，则，∴代入直线2x－y＋c＝0中得2x－y－3＋c＝0，此时直线与圆x2＋y2＝5相切，
∴＝，∴c＝8或－2.
13．(2010·湖南文)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________；圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．
[答案] －1 x2＋(y－1)2＝1
[解析] 过P、Q两点的直线的斜率kPQ＝＝＝1，
∴线段PQ的垂直平分线l的斜率为－1，线段PQ的中点坐标为，∴PQ的垂直平分线l的方程为y－＝－，即y＝－x＋3，设圆心(2,3)关于直线l：y＝－x＋3的对称点为(a，b)，则
，解得，
故所求的圆的方程为x2＋(y－1)2＝1.
14．(2010·江苏，9)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
[答案] (－13,13)
[解析] 由题意知，圆心O(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d<1，∴<1，∴－13b>0)，则有
2a＝|AC|＋|BC|＝＋＝4>2，
∴a＝2，b2＝a2－c2＝4－2＝2，
椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)假设满足条件的直线l存在，由条件可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为：y＝kx＋2(k≠0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立方程，消去y并整理得
(1＋2k2)x2＋8kx＋4＝0
∴x1＋x2＝－，x1x2＝
若以弦MN为直径的圆恰好过原点，则⊥，
∴x1x2＋y1y2＝0，
∴(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，
∴－＋4＝0，即＝0，
解得k＝±
检验知k值满足判别式Δ>0
∴直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2.
(理)(2010·哈三中)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝16.
(1)由动点P引圆C的两条切线PA、PB，若直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，且满足k1＋k2＋k1·k2＝－1，求动点P的轨迹方程；
(2)另作直线l：kx－y－k＝0，若直线l与圆C交于Q、R两点，且直线l与直线l1：x＋2y＋4＝0的交点为M，线段QR的中点为N，若A(1,0)，求证：|AM|·|AN|为定值．
[解析] (1)由k1＋k2＋k1·k2＝－1得，(k1＋1)(k2＋1)＝0，
∴k1＝－1或k2＝－1.设切线方程为x＋y＝m，则由圆心到直线距离公式得：m＝－7±4，
∴P点轨迹方程为：x＋y－7±4＝0；
(2)由得M
由消去y得(k2＋1)x2－(2k2＋8k＋6)x＋k2＋8k＋9＝0此方程两根即Q、R两点的横坐标，由根与系数的关系及中点坐标公式可得xN＝，代入y＝k(x－1)得yN＝，
即N，
又A(1,0)则由两点间距离公式可得：
|AM|·|AN|＝10为定值．
17．(文)已知定直线l：x＝－1，定点F(1,0)，⊙P经过 F且与l相切.
(1)求P点的轨迹C的方程.
(2)是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由.
[解析] (1)由题设知点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等．
∴点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线
∴点P的轨迹C的方程为：y2＝4x
(2)设AB的方程为x＝my＋n，代入抛物线方程整理得：y2－4my－4n＝0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴y1y2＋x1x2＝0.即y1y2＋·＝0.
∴y1y2＝－16，∴－4n＝－16，n＝4.
∴直线AB：x＝my＋4恒过存在M(4,0)点．
(理)设点F，动圆P经过点F且和直线y＝－相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线w.
(1)求曲线w的方程；
(2)过点F作互相垂直的直线l1、l2，分别交曲线w于A、C和B、D两个点，求四边形ABCD面积的最小值．
[解析] (1)由抛物线的定义知点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，＝，即p＝3，∴w：x2＝6y.
(2)设AC：y＝kx＋，
由⇒x2－6kx－9＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，易求|AC|＝6(k2＋1)，
∵l1与l2互相垂直，
∴以－换k得|BD|＝6，
SABCD＝|AC||BD|
＝×6(k2＋1)×6
＝18≥18(2＋2)＝72，
当k＝±1时取等号，
∴四边形ABCD面积的最小值为72.
