课程八发挥评价的激励作用处理好日常教学和高考的关系

课程八发挥评价的激励作用处理好日常教学和高考的关系

课程八： 发挥评价的激励作用，处理好日常教学和高考的关系 第一讲 ‎ 主持人 ：各位老师大家好，欢迎各位老师继续参加我们高中数学新课程的国家级远程培训。我们这一讲的主题是，如何发挥评价的激励作用，处理好日常教学和高考的关系。我先来介绍一下参加我们这次讨论的几位嘉宾。我身边这位是北京市著名数学特级教师薛文叙老师，这边这位是首都师范大学附属育新毛英老师，也是市级骨干教师。这边这位是首都师范大学的教授，博士生导师王尚志老师。欢迎大家来参加我们的讨论，我想这个讨论的主题词是评价。我们先想听听王老师，评价在我们高中新课程中有什么样的分类，有些什么样的意义。‎ 王尚志 ：我们选择评价，也是老师最熟悉的，我们最常说的事就是高考是指挥棒，所谓指挥棒就是指挥我们往这往那，我想评价主要的意思主要是告诉我们学生什么是对的，什么是好的，什么是不对的什么是需要改进的。所以我觉得对评价我们存在着一定的误解，我们常常容易把评价等同于考试。我想考试应该是评价的重要组成部分，除了考试之外，在我们日常教学中，评价是贯穿在我们教学的每个环节，包括听课，学生没有听懂，或者还不太理解，我们该怎么办？。学生有一些习惯不好，我们该怎么办？学生有一些习惯很好的，我们该怎么办？做作业我们应该怎么办。我们当然还有一些小测试，我们老师还采取了很多个别谈话，我们学生碰到了问题来找你，你总要有一些表示等等。我觉得评价贯穿在我们教学中每个环节。因此我们挑选了一个很积极的关健词，就是激励机制。我觉得学生跟我一块念书，我应该让学生兴奋起来，愿意学，我觉得这个都是我们激励的一个结果。我想我们每个都是从学生过来的，我们都记住了老师给我们留下印象非常深刻的某些事情，而这些事情实际都是老师评价的功能体现，我个人有这种感觉。当时我念书的时候，我的班主任和数学分析老师，曾经在我的作业里，提多很过的东西，甚至成为我们同学中的一些经典。比如在我的作业里批过杀鸡焉用宰牛刀等类似的评语，都成为学术经常传的一些玩笑式的东西，但是在我们整个学习的印象中都留下了非常深刻的印象。我觉得比我们所谓考试卷子留下的东西要多得多。所以我们希望我们的老师，把评价这样一个武器充分地利用起来，在我们考试中，也在日常各个教学环节中起到激励作用，让我们的学生更自信，更有兴趣搞好我们的学习，提升它的学习能力。‎ 主持人： 王老师给我们描述了一下评价，我们过去做评价的时候，我们印象比较深的是筛选，是一个尺度的表示，什么地方不行，我们也强化了这样的一个视角，所以我们老觉得在印象里，给你谁一谁二谁三，把这个规矩建立。其实还有一些是我们关注不够的，关注学生差异，比如说英语中阅读和书写，口语和听力，其实是有差异的，差异也是告诉你什么是强项，什么还可以，当然你特别强调激励作用，激励作用是让学生一直能学下去的动力，应该一直在我们的老师交流的过程中不断地给学生续这样的东西，这个需要我们在整个过程中来做。二位老师都是特别有经验的一线老师，特别想听听薛老师给我们带来评价的故事，在这个故事里我们探讨怎么去思想，怎么给评价激励的氛围。‎ 薛文叙： 我想比如其实老师应该对同学非常关心，特别是注意听，比如学立体几何，学生特别困难，就我的学生来说，有一个孩子有个总结，说我把几何体看成透明的，我觉得这句话说的特别好。然后我就在班上说，你看，他把几何体看成透明的，以后有用的线段、有用的面就可以看的特别清楚，就用了。而有一些东西，没有用的，干扰的东西，就视而不见，所以这样处理几何，我觉得是非常妙的一个想法。而且把它的经验推广到其他同学中就比较好。所以我想老师如果善于发现同学好的地方，而且其实把这些东西总结出来，就时候还可以在班上推广，可能比你老师用自己的方法效果会比较好。‎ 主持人： 您这个例子也启发了我，我也教过一群基础相对比较差的一个班，是由体育生和文艺生组成的班，我教这个班的时候，有一次我留的作业，发现欧拉公式，但是我没有说出来是什么公式，我说你们要数点线面的关系，结果有一个女孩就发现了，他发现的不是面加点减线等于二这个公式，他发现了跟他完全等价公式，然后教给我以后，我发现真不错，我上课在黑板上写了，这个孩子叫倪为平，我就写倪为平定理，高兴的不得了，下课了我让他去查书，好几百年前欧拉就发现了这个公式，我说不一样，你是独立发现的。这个孩子从此以后特别喜欢读书，喜欢到什么程度呢？后来做一个课题叫三角形的三边成等差数列，求证tan( A/2)*tan(C/2)=1/3，我们把这个题擦了，让他带着小组去做，后来她发现了17个性能，这个孩子最后特有进步,一直这样做，最后上了一个非常好的大学。他最后反过来说，说老师你知道我的动因是什么呢，你写成把我的名字命名成定理的时候，我就下决心我一定要学好这个数学。在这个故事我特别感动，其实我做的时候没有想这么多，但是像您说的，关注学生，特别是给学生提供自信心的时候，他也许能比我们想像的更好。‎ 王尚志： 薛老师举的例子，我也听过类似的老师跟我讲的，也非常像。学生说长方体，你要学会从外往里看，你还要学会从里头往外看，很多图形就关系就变得非常的直观了。那这个老师也是把这个学生鼓励了一番，整个这个班集体都会形成一个氛围，谈他们在动脑筋，把我们学的东西用他们能够理解的一些话，通俗地讲出来，这个对学生的学习面貌改进确实非常好。‎ 薛文叙： 而且孩子的语言，有时候比课本上，老师纯数学的讲解要好的多。‎ 主持人： 毛老师又做班主任，又做老师的，可以谈一下您的看法。‎ 毛英： 有的时候学生的做法也挺有意思的，我们这学期刚学习几何的时候，有这么一个题目，三个平面，把空间分成几个部分，这个涉及到分类的情况，有一天我发现班里，一开始看到我们班有一个女生玩魔方，模仿是一个很好的东西，结果第二天我发现我们一多半人都在玩，所以大家可以通过这个游戏体会出我们刚刚学这个面面的个数的问题，而且游戏中这些东西和学习的插在一起，也许我还要搞一些比赛，这里你怎么提供这么一个面，这里有很多程序，不去背这个法则，你自己琢磨这个特点。这是我们前一阵学生，我看到的。我觉得评价这个问题我想了很多，我们每天都上课，然后学生都要写作业，其实每天学生做作业过程是很丰富的经验，在这里跟数学到底都发生了什么，只有他自己清楚，但是他这个清楚，是我们整个都表述出来，能够留下一点东西，为他日后起到积极的引导作用，我觉得这个是需要老师帮助他的，我们现在新做成的有一个叫三星评测，命题确实有难度，这个需要老师课上精心设计，怎么能够通过你的教学跟这个作业接起来，如果老师做了努力了以后，勉强接起来以后，再怎么能够让他进一步发展，我们就在这方面做了一点的尝试，我们在高一就开始留作业，就是考试做之前看一下时间，真的按照上面练习所要求的记录时间、效率和札记，我说札记你写什么话都行，哪怕我某某题不会，这个题好难啊，我太困难了，这个话都可以写。结果到现在已经是第四个学期了，比修2了，学生写的东西就很明显。我一开始批复，我觉得批复很重要，要求学生得不到你的反馈，他渐渐会失去信心。我一批复，我应该写什么东西，毕竟都是小孩，我就给他们画笑脸，写的好就画两个，写的比较好的画一个，写的特别好的画三个，我写的东西不好，我就画一个愁脸，第二天疯子似的数自己的笑脸，所以这个办法就好。那么这里有很多同学写的东西很让我感动，这是一个女孩子就立体几何写的。她说抽象的实物具体的数，几何是一种艺术和数学的结合，用感性的心热爱几何，用理性的思维解答几何，好的空间感是做立体几何的关键，画图看似简单，其实是几何的根本，所以要认真地画图。我觉得学几何随时把物体看成一个动点，便于理解。表面积体积的公式比较多，要成块，分种类的记录。学习要巩固，要巩固的东西需要积累，需要过程，点和面选择的基础，对于空间几何，我们认为它是空间概念，要彻底摆脱初中所谓的平面，任何证明都要考察我们的逻辑思维和条理性和严谨性，列举需要举一反三，思维要有条理性，否则会一条路走到黑，我拿这个学生的例子，来说明她已经渐渐的脱离开，仅仅是做作业，她已经从做作业当中已经能够抽象出来对数学的一种感受，就是我们这个三维目标，我想这个第三个情感太有价的，我觉得久而久之做下来不仅是一道题，他从这里感受到只是方法思想，只是这道题做的过程当中，他得到了学习方法，对数学的理解，以及再远一点是对学习生活的认识。‎ 王尚志： 我觉得毛老师非常好，把人文精神融在学生的评价中，是学生思考的空间更开阔一些。‎ 主持人： 我觉得毛老师在这个做法里，他通过一个笑脸，两个笑脸，一个愁脸，学生非常容易接受这种评价行为，来引导学生，朝着老师所期待的目标去做。老师期待是学生的努力的一个方向，他不用说的特别清楚，但是这样一做就非常清楚了。这个也是老师把激励作用下表现出一个非常好的方法。我也感觉到，在评价中毛老师这种做法是很有个性的做法，我们在这个过程中，既要发挥老师自己的长项，和老师的语言，画这个画就特别好。我也感觉到，我们在评价的过程中，还要关注学生的个性。有的时候我们看到学生很个性，他很有价值。比如我留一个作业，我让一个学生研究烟囱拐脖，烟囱的原理是用正弦曲线一个周期，两张纸这样折起来。可是我们班有这样的学生，他就不按你的要求，就找一个雪碧的瓶子灌水，灌水放在这里，水瓶面形成一个45度斜放的水平面的这条线，他拿刀把这个线刻上，一剪这个瓶子就折出来了，当时我看到这个作品交上来的时候，作为我的老师要求根本不是这条曲线做的要求，但是我怎么办？后来我想他做这个事情他用了脑子，45度，他知道这个平面节圆度既然生成这个东西，他并不知道。但是我表扬说各种各样的作品都是一种作品，我先表扬他的创意。其实它的作品带剪开，其实给了我们一种曲线更融合的发展，但是怎么和大家融合呢，我想了这样一个引导措施。‎ 第一，再作一个拐脖，是拐两下，中间的接口怎么办，如果用三角函数如果把周期正负改变一半就够了。如果用灌水做的就必须得想这个角度应该是什么样的，第二个任务可以做一个选择，我们做一个方形，反正我是通过这样的要求引导他，让他知道展开的重要性。我也感觉到学生的个性也合我们要求不一致的，但是用任务引领他可能会得到更积极的一面。大家看到他的作品说他真聪明，但是一看到后面的任务，学会用函数图象它的价值可能比这个聪明，或者是更一般的聪明。所以我们要关注，是不是也给学生个性的发展创造一定的空间。‎ 王尚志： 我也想举一个例子，我觉得有时候老师也常常用一些无声的评价来影响学生，我讲一个苏州五中的赵丽老师。她对学生有一个要求，就是希望学生能够及时地改正自己在作业中出现的一些问题，那他采取的办法是什么呢，学生无论是问他的问题，还是作业，还是考试，他都不超过24小时。一进教室就要给学生反馈，你问我问题，我在24小时一定会给你一个不同形式的回答，他坚持了很长时间，通过它的坚持，它的学生就养成了这个习惯，后来我就问他为什么要这样做，你做的道理是什么？后来她就跟我说了，她听过一个心理学的报告。就是孩子产生问题处于一种兴奋状态，如果24小时得不到强化，他这个兴奋就会衰竭。因此他就认为在她的教学中，各个教学环节中，他想把这样的一个道理落实到自己的心目中。那他没有想到他这样一个坚持，就使得它的学生逐渐地养成了一个习惯。因为我们在数学学习不可能什么题都会做，也不可能没有问题；我们对自己的问题总要有一个联想，总要不断地想办法解决。所以我想，赵老师就有这种无形的语言，自身的行动，给学生带了一个好头，使得学生知道，我们在学习的过程要养成这样的习惯，一旦有问题，我就要在24小时之内，当然24小时是一个虚数了，能够争取让我的问题有所进展。‎ 我问过他们学校的领导，就是由于赵老师坚持这样做，他带的班同学的成绩，和实验班的成绩相差无几。所以我们有时候评价做的事情也不一定很多，有时候抓住一两件事情，持之以恒，就会在学生中产生意想不到的结果。所以我想，我们的老师里蕴含很多这样的经验，我们也希望我们的老师，这个跟新课程，旧课程没有什么关系。应该这样的一种评价方式贯穿到我们日常教学的各个环节。‎ 薛文叙： 刚才思明说的那个问题，我觉得给学生的一些问题，如果那个学生没有按照要求去做，我觉得你们已经领会了，你给他提供你去研究的方向和任务，他自己就会发现我这一点不够，有一些老师不完全是这样。就有的时候他不经意地说一些话，可能就忘了学生。我有一个例子，我有一个亲戚，他英语原来学的不错，可是换了一个老师，这个老师跟我是非常要好的朋友，上课的时候就说，你的语言怎么那么怪，说了以后，孩子不再学了。然后他整个高中三年就不念了，你怎么说他都不行。后来再去学日语的时候，老师就说，你的日语可真好，你学日语有天才，其实就是表扬他，高兴极了。我就说老师不经意一句话，其实孩子都特别希望老师鼓励。有时候我们评价，积极的鼓励学生这方面，比如好学生我就想，就是他表现自己的机会多，比如上课，难问题都让好孩子回答，学习困难的学生没有这样的机会。其实也应该给他创造这样的机会。我有过这样的体会，比如每到期末考试的时候，然后在试卷讲评的时候，我就随意地抽取学生，就按照点名册随机地抽，有好学生，也有学习困难的学生，然后让他们去找你在解决这个问题的时候，你碰到什么困难，同学里有什么样好的解法，然后你学到什么，你的解法有什么好的地方，准备，然后讲评卷由他们自己来进行。我就会发现学习困难的学生，现在的孩子跟以前的不一样，特别愿意表现自己，他们上台发言的时候特别的好。而且讲的条条是道，你就会觉得他其实也不是那么笨，你这样给了他以后，他学习慢慢就有兴趣了。所以我想激励给学生尽量多的创造一些条件，而不是打击他，我想可能就比较好。‎ 比如还有一次，我有一个学生，我也是不经意的，平常学习都挺好的，高考的时候，有一次考试数学一下子就考的特别的糟糕，然后他天天看着我，其实我现在有一点后悔，他偶尔失误，没有问题，所以我也没有批评他，也没有表扬他，我根本就没有跟他谈，我想以后高考不会有什么问题，高考完了以后，他考的外语学院，考的挺好。然后他回来就跟我说，老师我考完以后，我就一直观察你，观察你对我的态度变了没有，我观察你对我的态度没有变，所以我觉得我很有信心。其实我是不经意，可是如果我当时觉得他不行，或者怎么样，表现可能马上就不行。所以给孩子更多的鼓励，因为他毕竟是孩子，我想就特别好。‎ 毛英： 我想对这个问题补充一点，也接着我刚才说的问题，就是考试的问题，老师能不能在学生考完试以后，能否做一些，无论是笔谈，还是谈话，有时候笔谈的效果不比谈话的效果差。如果你真的对某些类似的学生，从他写的东西当中感觉到很特别，这次还有其他不是那么简单的事情，就可以有的放矢的在课堂上做一些观察，这样就可以体现到课堂的适用性，实现我们课堂的评价，就能够有针对性了。就是说你觉得这个问题，你讲课当中就有针对性地观察这个学生，这样该去激励他，独力他，可以创造一些好的时机。‎ 我现在有一种感受，从我自己来讲也觉得，我觉得老师确实需要研究这个问题，就是到评价观察，教学这个事情。人学习的类型，人和人真的是很不同，比如说有的人是听觉形，有的是视觉形的，有的人是综合的。所以有的人上课有的学生不听老师的，他就是在思考，他在跳跃，要么他是多投入，要么他超前。所以这个时候你要是不了解他，如果你提问他，他答得不好，有时候我们的表扬有的时候也不能够太泛滥，如果是这样的话，我觉得有一点尴尬。如果我们老师做一些理性的了解，有一些科学性的东西在里面，我觉得这个更好一些。‎ 王尚志： 我觉得毛老师说的合适，并不是我们一味的，但是要有一个积极的态度，我觉得和消极的态度是不一样的。就是你批评他，你也要用积极的态度来批评他，有时候话是由人说的，同样一件事，我最近听课比较多，有的同样说一个问题，学生不会，老师就会采取不同的态度。有的是批评，有的是表扬，甚至有的是宽容。比如有一个很简单的问题，学生没有说对的，脸一下子就红了。老师什么话都没有说，说谁还能没一点错。这个事就扯回去了，这个孩子马上整个后面的听课效果就非常好。如果老师说这么简单的问题你还不会，我想后面这个课程节没法听了。所以有时候，我觉得日常生活中，日常教学中，真的是薛老师说的，一言一行，一举一动，你都要意识到。咱们叫做说者无意，听者有心，会对学生造成一些影响，有的影响是积极的，有一些也可能是一种无形的伤害。所以我们老师要把日常教学中的评价，有这样一个意识，你是在做评价，你就会更好地。我想效果也会更好。‎ 主持人： 我听王老师这话我也在思考。我们比较关注就是老师对学生的评价，在这个过程中，教师是强者，教师对学生的评价代表了社会对学生怎么看，所以学生非常敏感。我在想，其实学生本身是评价的资源，我们在一个集体中，我们学生常常，比如给老师带来信息，还有学生本身的信息，我们应作为评价资源去看待。比如我一直在坚持做学生梳理，我要求学生建一个自己建一个函数图象库，我会发现学生建的各种各样的，有的女孩子非常细心，建一个新的就装进去，逐步增长速度很快，几十个，比如说三次函数， ABC 不同的函数，还有一些新的曲线会放进去。男生说起来，可能是比较懒，但是我发觉他总是抓关键，比如二次函数就一个，三次函数就一个这样的，一个那样的，少。本来我会给他一个评价，后来我觉得给他另外一种方式，大家都去展示，展示完了我们提的任务是对谁谁的函数图象库发表你的意见，说他在好在哪。如果男生看到女生的，他一定会说这个同学观察非常细，会有很多积累，参查阅了很多的资料，这个值得学习。女生看到了男生，她得说优点，她会说这个比我们的信息，他经过了自己的思考，会提炼出更有代表性的，这样的差异思考，我觉得它的好处在于必须要观察别人的优点，这个是我们强调的。同时，那句话，没有说出来的，评价到底要知道每个人的努力方向，我的感觉是如果老师除了对学生评价以外，要努力创造一个氛围，给每个同学在各个成长方面都要有一个向上，向前的坐标系。如果有这样的工作，那每个同学都有这样的进入的方向这样能够达到一个目标。我们作为老师会强调数学，后来我也独立这样，他有英语爱好，有音乐的爱好都可以去努力，但是我告诉他数学是有用的，我这样宽容了以后，他反而会说，老师你告诉我，数学在我们音乐里有什么用，在这样的需求中，我们再跟他交流就有新的平台。所以另外一个主题，我们能不能把学生自己的评价，或者是生生的评价的也看成对学生激发上进的一个产物这样去拓展。‎ 薛文叙： 我觉得评价的方式其实有很多样的，除了老师对学生的关注考试之外，还有很多。比如期末考试的时候，分成几个不同的内容，不同的层次，考试是最后的，让他做了期末的总结，整个对期末考试的章节的总结，这是一个层次，还有你的工作可以按照你的水平，好的同学就可以写的更深刻一些，可以研究一些问题。困难点的学生，就可以对某一个题目就可以写。比如他学的数学归纳法，他就可以写一篇，我这个数学算法为什么这两步必须得要，我想这样他可能就更理解了。有一些好的同学，可能就研究了那些，比如有一些学生，学了一些运算就考虑，三次放开方应该怎么办，函数的图象更广泛，我们应该怎么去解决问题。他自己自学一些问题也可以。还有的同学喜欢学美术，他可以写我的几何的投影和美术的投影联系和区别。化学课都写了很多论文，有一些论文好的就可以帮他投稿。他发表了以后小孩可高兴了，发给他两本杂志，他就拿来说老师你看，送给你一本。我说这是你一一生中第一个作品，你将来还会有很多的作品。所以孩子们可以有不同层次，毕竟每个孩子的水平都不一样。对事实的理解也不一样，所以我们给他更宽的平台，可能对孩子评价就有好处。‎ 王尚志： 我也补充一个故事，这个也是老师告诉我的一个故事。我曾经在很多场合讲过这个故事，这个故事是这样的，这个老师常常会感觉自己比较忙，不大容易和每个学生面对面的交谈，当然我们老师愿意和学生做面对面的交谈，这是非常有效的方式。这个老师面临着一些学习有一些困难的学生，他就觉得这些学生都向他表示愿意改变目前的状态，但是由于 老师要改两个班，有的要教三个班，就顾不过来。当时他跟我说，想一点办法，然后他想我这个班里有几个学习很负责的，我们能不能请他们来帮我一下。然后咱们通常所说的一帮一，然后他就选了五个学习比较负责任的，学习态度也比较好的，和愿意改变自己学生状态的老师就结成对。他当时想，让这些人帮他做什么呢，他最后说做一件事，就是每天让学习好的同学，让学习还有困难的同学，用20分钟左右的时间，把今天学的东西，给这个同学讲一遍，他每天督促，他就讲了没有，讲了没有，那个学生就讲了讲了。这样坚持了五个月。他就很吃惊地发现，这些学习有困难的同学和学习成绩明显有变化。然后他就感觉他认为这些好同学帮助了他，他就觉得对这些同学有一点亏欠，说帮了他花了工夫，然后他想表示表示，他就请了这几个好同学吃了一吨饭，让她吃惊的是，这些同学纷纷跟老师说，最近一段学习感觉比原来不一样，什么不一样？有把握了心里有数了，他就问他们为什么？这些学生就告诉他，每天听人家讲一遍，我必须事先想一遍，然后我听一遍，听完了我总得表达表达我的意思。坚持的两个月以后，我想结果就不一样了，我想不用我们分析这件事，念数学，一个很重要的一个环节，你脑子里得过，你都学了什么，什么东西弄明白，什么东西没弄明白。我想咱们念书都有这个过程，而且咱们都有这个习惯。但是学生没有这个习惯，常常是这样，拿回来就做作业。会的就会，不会得就问，缺乏这么一个很重要的环节。刚才说到互评，我觉得互评不单单是一种，说你对还是不对，我觉得老师要有一些办法，来让学生养成一个好的习惯。我个人感觉，这个老师的做法也许是有历史的，就是帮助学生养成一个好的习惯。反思的习惯，梳理的习惯，每天都做，才能形成习惯，今天不做，明天不做，这个绝对不会习惯。所以老师这样的做法，采取这样的一种的，可能意想不到的效果，我们觉得实际上我们可以开发出更多的行之有效的办法。我们叫他互评也好，叫互动也好，我觉得其实他包含的内涵是很深刻的。当我把这个故事讲给很多教育学家，教育行政的领导，大家都很有感触，说我们的空间是很大的，我们可做的事情是很多的。一旦我们有这个意识，学生是最大的受益者。‎ 主持人： 老师讲完这个故事，我想参与我们这个探讨，哪个老师都会有很多的体会。在我们前几天的课里，我们也看到像毛老师举到苏州的老师对评价的工作，我们也专门找了一个机会，让苏州中学的刘华老师跟苏州五中的罗强老师，就日常教学的评价，开展了一次对话，我们下面看一下他们对话的一个案例。‎ 好，这个案例我们也看过了，我们也发现在日常评价的过程，很多老师都了很多新鲜的经验，在座的那个位老师如果让大家来谈这个故事，哪个老师都能谈一天估计都没有问题，原来我也听过毛老师的故事，毛老师做试卷，做作业，反复让学生一次点评，二次点评，最后变成了师生互动，有很多很感人的故事，毛老师您能否介绍一下。‎ 毛英： 我刚才听王老师说的那个例子，我又想起来，这个评价我们除了互动以外，我们能不能调动一点社会的资源，比如说家长，我也是曾经做过，有时候孩子学音乐，到音乐老师那上课都是先回课，我就想回课这个词我们数学也可以，就是让学生重复上课的内容。然后老师要听不过来了，就回去跟家长说，家长说你跟我说的头头是道，觉得这个办法挺好，我就做这这么一点补充。‎ 薛文叙： 我这个事情说起来话挺长的，最早从01年开始，当时我把我的教学的困惑和专家谈了谈，那个专家说可以告诉他们写写数学日记，我听的特别受启发，我这是第一次听数学日记，后来我回去尝试了一段时间，做不下来。因为日记得天天记，我就日记改为札记，但是札记又觉得针对性不是很强，学生回应不是特别好，因为我们学院学生实习这个东西，考试作用对他一定不是太大，对老师是挺大的。所以我想，如果要效率要好一些，要从分析做起，这个第一时间比较长，就是比较注重。所以从01年，应该说真正作起是从04年开始，这样刚毕业三年。这个过程当中，一开始高一学生也不会做，我就跟他们说怎么怎么做，对他们说这个提纲。然后他们做的东西要我来一看，基本是写检查式的，我就说错误。我说你们还要努力，有很多还是坚持。然后到了高二，他们会渐渐的在发生变化，不是暂时要豆腐块的文字，要检查，就开始写出自己的感受。到了高三的时候这个东西就非常丰富。我们过去也听朋友说过，他有一次高三的考试，有一个涉及到绝对值的问题，他对绝对值认识从一维到二维，到三维，这个对称的问题说的非常的丰富。所以给我的感触非常大，他不仅写这个东西，他还把这个东西变成一个章，叫自己起名，叫感悟数学，感悟生活系列生活一二三，一直到系列之20几个，这是一个个例。现在加入了新课程，我想在进一步系统系地搞一下这个工作，系统系体现在那里呢，我让他们每个人准备一个袋子，我们每个学期我们学校各四次，两次是全区的模考，每个同学有四份资料，而这个资料不像原来的卷子好保存，我让他们修改什么的，改错，然后给他们做两次。第二次改错就写我发给他纸上，因为这个毕竟这个是高一的学生。我这个课题原来我自己也扩展一点，比如原来你为什么错了，错因是什么呢？ 具体怎么改，我这次这个错了，你当时考场是什么情景，他不是数学问题，就是他紧张，或者那天身体状况不太好，所以一定要写当时的情景，然后再去做分析。包括卷子的分数，而且要求上浮分数，我每个同学都是把表格写上实际的分数，我干脆用红笔写上上浮分数。‎ 毛英：‎ ‎ 对，就是真正的水平。还有可以对这次考试，一些习题做一个普查，自己找例题做梳理方法的总结。这个应该累计到现在做了六个，每个人做了六个。因为我们写的都已经开始了，写出来的东西，又开始了。刚一开始就不仅仅是数学的问题，学到很多方面的事情。比如说前一阵这个学生考的很头疼，大早上精神不错，但是一道难题我就想不起来，就向着一定要考好，想的越来越慌张，越来越想不起来，觉得这一次大部分是败在心态上了，我觉得他这个整理就已经有深度了，就不仅仅是数学的问题，是一种学生方法，或者是心理学发生的事情。所以他概括为，是心态和方法都有问题。如果我当时是集中不到问题上，我脑子里老想着考好，根本就不能集中到题上，如果我要是放松可能会考好。我就对他这样的一个回复，当然我的回复还是有待改进，我总结的很具体，然后我了一个境界的境，因为我给学生上课说过六个静，就是从安静，从干净，一直到入境的境，还有境界的境，然后就写了一个境字，我说境字很让人有丰富的想法，有很大的体会，这个话的意思就是你不要光想着境，不要想其他的，你这个解数学题就是集中作题，不要想其他的因素。所以俗话说过程比结果更重要，当然不在乎结果结果是什么，反倒是收获的时间。我觉得我自己在这里也很受益，我觉得这里根本不仅仅是一个和学生批复它的分析。就像我跟他说的，三维教学目标的解法，确实还促进教师的反思，你可以对学生有的放矢去做观察，促进教师的反思，使得教师的实践性知识建立起来，或者说就去更加丰富，另外对一个学生这样说。我为什么这样想呢，每个人我给他留三年，我方方面面都想了，放在他那不会保存那么好，到三年以后，其实我们都知道，每个人在时间的当中，都是明天比今天好，后天比今天好，但是他具体怎么个好法，好在哪里，通过他自己的资料到高三的时候，几何当中是这样的，我对这个问题这么错的，我是写的实验分析。到了高三他又去那么写，他能够看到他的成功轨迹。我觉得这个是纵向的。横向的老师也可以做一些研究，做一些个性的分析，包括教学方法等等。‎ 王尚志： 我觉得毛老师这个给我们很大的启发，我觉得毛老师这个所做法，我个人感受比较深的几点，第一点就是抓住了一个环节，就是考试的一个环节，这个是学生比较关注的。怎么提高我们考试考完了，该怎么着就怎么着了，还是我们利用这个资源，让他们发挥更大的作用。我觉得毛老师就抓住这一个环节，来突破解决这个问题。这个环节我觉得发的比较好，也能引起学生的重视。我觉得第二点，就是毛老师不仅仅是提供了一个我们在数学上对还是不对，怎么纠正错误，他把它提升了一步，有了一个情感的交流，我觉得孩子是需要受关注的，你关注他不仅仅是数学知识的关注，我觉得毛老师做到了情感的交流，我相信孩子看到毛老师这个批语的时候，会对他数学学生产生出不仅仅是在数学本身的理解的深度。‎ 第三件事，我就觉得坚持。其实好的做法多的是，你今天用这个，明天用这个，什么都不好。就是抓住一件事，持之以恒，坚持。我相信一定会有效果。所以我们期待毛老师这样的一个工作坚持下来，我们也愿意协助毛老师，把这样一个好的做法能够不断地完善。这不是太容易做的，就是学生跟你说实话不容易，真是这样。学生蒙你的办法多的是，能够把实话说出来，我觉得这个是老师最大的本事，所以我相信毛老师，持之以恒，一定会在它的班上会看到非常好的结果。所以从总的来说，我们是看日常事情是值得关注的事情，我们不要等到高三再去做很多事情。比如说高三的复习第一个阶段就是知识梳理，你到高三再作知识梳理，所能梳理出来的东西，在学生的脑子里，就很难扎根。所以我们要从高一就开始关注这个问题，高一作一点，高二再一点，第三再做一点。你的结构就大一点。所以我想，从日常做起，把我们的评价工作和我们日常教学每个环节有机地结合起来，我想一定能让我们的学生。‎ 主持人 ：我们这一讲就从日常的教学出发，给出了一些改善评价的想法，老师们都讲了很多故事，我想这些故事都是具体的做法，老师可以从中提炼出我们对学生的关注，对学生发展的关注，相尽各种办法，选择不同的齿轮，造成各种各样有特色，有发展前景的学生，我想这个工作我们大家可以一起来做，那我们这个讲座到这里期待和大家在下一次讲课中见面，谢谢大家。‎ 课程八： 发挥评价的激励作用，处理好日常教学和高考的关系 第二讲 ‎ 张老师：各位老师，大家好，欢迎大家继续参加高中数学新课程的远程培训，我们这一讲要继续上一讲的内容，重点是新课程高考的变化和日程教学的关系。请允许我介绍一下到场的嘉宾，最那边一位是首都 师范大学 博士生导 师王尚志 教授，他也是我们高中课程标准研制工作的主要负责人之一，这边这位是首都师范大学的 张饴慈 教授，我身边这位是北京市石油附中的数学特级教 师薛文叙 老师，她同时也是清华同方研究院和首都师范大学基础教育课程发展中心的研究员，欢迎各位来参加我们的讨论。为了使我们讨论线索更清楚，我们今天的论题有这样几个，一个是先要她们一下高考变化的趋势，还有一个我们要讨论一下就是在高中表现出来的通性通法有哪些。我们还有通过一些例题来具体地表现一下高考和日常教学的关系，怎么处理好这样的关系。最后我们要对这个过程，就是整个评价的变化做一个分析和小结。‎ 下面请 薛文叙 老师帮我们分析一下高考改革的趋势。‎ 薛文叙：高考到现在已经30年了，这30年高考改革在不断地进展，不断地变化，越来越成熟。那么主要就是经过几个阶段，当前这个阶段由于新课标教材的内容变化和新课标理念的深入，所以新课标的高考又进一步发生了一些变化，表现在“循序渐进，平稳过渡，稳中求变，稳中求新”这种原则。体现就是“三基为本，能力立意，有利选拔，注重导向”的命题指导思想。我们觉得其实高考命题是一门科学，所以现在的高考命题就非常一步一步命题越来越好，这个对于我们教学有一个指挥棒的作用，引导我们中学数学教学在这一方面还需要我们一块来研究和讨论。比如说我们前些时候，很多老师在一起来讨论了，我们说应该从几个方面来研究高考呢？因为跟我们平常教学非常有关系的，我们觉得高考应该从这几方面的研究：‎ 第一个高考实际上全面来考察中小学数学的主干知识，也就是课程的主要脉络，因为数学我觉得和别的课不同，数学实际上是一个累积的过程。那么同学学化学的时候是从初三开始，物理是从初二开始，就是五年，我们的数学和语文一样，就从小学一年级，甚至从幼儿园就开始学了，那么有12年的累积，那么这12年积累过程当中，高考主要考察主干知识，主要脉络，对今后发展有用的知识，这是第一个特点。‎ 王尚志：这些主干知识也是我们平常非常熟悉的一些东西，比如说数和数的运算，包括多项式的运算，一直到指数运算，对数运算，运算应该是一个非常重要的主线。比如说对于函数的认识也是一个主线，实际上函数从小学就开始了，对函数的理解和认识，比如说我们要讨论同一个量，用不同度量单位的换算，实际就是一个函数关系。我们还要教给学生几个基本的物理模型，比如说时间速度路程的关系，单价总价数量的关系等等，我们学正比例关系，反比例关系，一直到初中，然后直到高中，我们要学习大量的基本初等函数，理解这些函数基本性质，用不同的角度来认识这些函数，可以看得出函数也是主线。‎ 那么几何也有一个基本的脉络，我们对于几何图形的处理，从综合几何处理方式发展到解析几何的处理方式，再发展到向量结合的处理方式，这样我们不断地提升对于几何，对图形问题的研究能力。那么对于概率统计也是我们的一个主线，我想另外一个需要大家十分关注就是数学的研究，是渗透在这些数学内容中，贯穿在整个课程前前后后。‎ 薛文叙：第二个我们觉得还应该从这个方面来讨论，就是高考特别注重主干知识和数学思想的交融，而这些东西在我们平常教学的时候，其实就应该不断地渗透，不断地培养，让同学不断对数学的本质，数学的思想有一个比较好的理解，这样应付高考就不会有太大的问题，所以我们觉得高考在这方面引导还是非常好。‎ 张饴慈：而且这些数学思想以外，我觉得在这几年高考比较突出的就是归纳思想在现在高考里面出现越来越多了，过去在这方面比较少。‎ 王尚志：比如说概念的得到，结果的引出这些过程实际上都是这些归纳的数学思想，我觉得对学生创新能力的培养是非常重要的。因为我们通常说演绎只是验证一个结果，但是归纳可以发现一些问题，发现一些思路，所以归纳思想在数学研究的过程中是非常重要的一种思想，那么在数学教育中应该也是需要强调的。那么，我们的高考也开始逐渐关注加大对这方面的考察力度。‎ 薛文叙：而且这种思想现在被老师所逐渐的接受，原来数学教学中老师比较强调就是演绎，强调推理，现在就比较更多让同学活动，然后同学得到一些猜想，发现一些结论，然后再用演绎的方法去证明。‎ 王尚志：我们过去一段时间是从定义出发，现在我们要问这个定义的来源是什么，这个定义的背景是什么？为什么要引入这个定义，所以我们逐渐从问题出发，为了解决问题，我们需要引入一些定义，需要说清楚一些问题，我觉得这些都是非常重要的一个趋势。‎ 薛文叙：另外我们觉得高考中特别强调就是数学通性通法，强调数学本质的东西，对一些特殊的技巧，一些花的东西是很避免的，所以是淡化特殊的技巧，这个在我们教学中其实应该更多关注对数学的理解和数学的应用。‎ 张饴慈：我觉得这个也是现在高考越来越好的一个方面，我觉得越来越突出通性通法，强调通性通法，对那些枝微末节，一些特殊技巧的题目是越来越少。‎ 王尚志：当然这也是需要有一个过程。‎ 张饴慈：也不是说完全一点没有，但是我觉得这个趋势是应该看得很清楚的。‎ 王尚志：这里面就面临着这样一个问题，什么是通性通法？为什么这些是通性通法？我想我们在下一个单元里集中来讨论这一个问题，或 许能给 老师一些借鉴。‎ 薛文叙：近几年高考增强了对阅读理解的考察力度，这个可能跟社会发展到现在，很数学新课标的实施，还有对人的一些基本素质的要求，在这方面对读书理解能力的考察力度就增强了，因为数学三种语言要读起来其实还是挺不容易，有没有这个能力，还是挺重要。‎ 王尚志：因为我们在研制标准过程中，曾经做过一个调研，就是我们选的地理学，当时我们查阅了很多的杂志，做了抽样，在地理相关的杂志中，出现数学内容篇幅接近一半以上，也就是说你作为一个地理学家，作为一个地理工作者，你要处理很多的地理问题，尤其是处理现代地理学的问题，特别是依赖三维技术处理地理学的一些问题，那么你没有数学的基础，你没有数学阅读能力，要想去做好这些工作是有一定困难的。所以我觉得阅读的能力，包括语文的阅读，数学的阅读，科学的阅读都是需要我们非常关注的。‎ 比如说我们有一个调查可能不是非常准确，就是目前的中考阅读量是原来中考的一倍，那么高考也在增加，大概增加到60%，所有的篇幅增加在60%以上。增加了阅读理解能力，才能帮助学生真正掌握和理解数学。‎ 薛文叙：另外就是近几年的高考，比较关注学生基本活动经验积累这方面的考察，还有就是关注同学的创新意识，以及应用意识的考察，所以我觉得这一点对于今后学生的发展还是非常好的，对教学的引导也是有很好的作用。‎ 王尚志：关于应用这个问题，我想高考里面出现应用题大概有 严士健 先生，张奠宙 和苏适中 老师，他们向考试中心提出了这么一个建议，希望在高考题里面增加一些应用的内容。我觉得他们提出这样一个建议是有背景的，应该说从上个世纪数学最大的变化，就是数学的应用广泛性，由于计算机的发展，数学几乎渗透到我们科学技术的每一个领域，甚至逐渐发展到渗透到人文社会科学的每一个领域，要大量用到数学，用数学的思维，用数学的模型，用数学的方法去解决很多问题。那么这一种意识，我想在我们现在的高中课程标准里面，就成为了贯穿始终一条主要脉络。我们高考也需要考察这方面的能力，因此这几年在逐渐加大这方面，当然出现一些反复，也有一些不同的认识，我想这是一个趋势。从我们考察国外的考题来说，比如说（PISA）的考题，绝大部分都是（情景题），背景题，考察学生的数学素质，所以我想这一件事情应该受到老师的关注。‎ 张饴慈：这也是一件不太容易做的事情，要一步一步努力来做，现在高考在这方面也是一个非常好的方向，当然还是有一些问题，比如说把应用题等价于概率题，这就不对了，但是我想总的趋势还是越来越好。‎ 王尚志：因为全国各地都开展了一些所谓数学应用的活动，也提供了大量的资源，我想将来的评价，特别是在大学独立招生中，应用的成分也成为他们考试的一个基点，所以我想这些需要老师来关注的。‎ 薛文叙：现在新课标实施的省份越来越多，所以大纲版向新课标版这个过渡过程中，高考就会发生一些变化，比如说数学知识有些内容就是加强了，而有些内容就减弱了。数学思想和数学方法，数学能力这些方面的要求还是都有所变化。比如说像综合几何的证明，就用向量几何来代替了，所以这种变化应该引起我们老师的关注。‎ 王尚志：我们在通性通法可能也要强调这件事情，因为我们现在和将来大部分人在大学里所学的数学，基本是在直角坐标系框架下来处理问题，而在这里面最有力的工具可能是解析几何和向量几何，和其他一些几何方法，将会力度越来越大。所以我们在高中课程也需要做适度的调整。‎ 薛文叙：我们觉得高考有很多很多方面的变化，但是我们当前集中从七方面来研究一下，可能对我们的教学还会有所帮助。‎ 张思明：刚才我们把第一部分，就是高考的变化 薛 老师帮我们梳理了一个线索，我们也看到高考变化的一些关键变化点，当然我们的分析不一定是很全面的，我想每个老师，特别是参与高三复习工作的老师，都会关注这个变化，也会有自己的看法。我想总的变化跟数学发展，数学教育功能的认识，都有相关，我想大家都可以找到自己的想法，但是这些变化会落实在我们平常教学里面，会影响我们学习和高三高考复习，下面我们就想在这些变化中挑一下比较核心的内容，就是我们讨论第二部分，就是高中数学中我们最关心的，核心的，刚才提到的通性通法有哪些在高考题中怎么表现的，我们还是先请 薛文叙 老师给我们做一个介绍。‎ 薛文叙：我觉得数学思想方法其实是数学知识在更高层次的一种抽象和概括，所以高考一定是把数学思想方法和数学知识结合起来进行考察。我们可以举一些例子来说，高考我们认为很多方法，其实数学方法有很多，现在可以说这几个方面可能特别重要，一个是待定系数法，一个是中间变量替换，我们老师有时候常说的是换元法，其实换元法也可以看成是数学的思想方法，还有一个就是消元法，还有一个就是配方，这几个方法对我们教师来讲，在教学中特别重视的方法。‎ 张思明：重要的度量为什么它重要？‎ 王尚志：我谈一点我的看法，请 张 老师补充。我觉得比如说待定系数，为什么是重要的方法，我们谈到待定系数就离不开模型的系数，然后说模型的参变量。那么我觉得现在对于模型的要求和模型的认识越来越清晰，比如说举一个例子来说，在高中概率主要学习是四个基本的模型，一个是古典概型，一个是几何概型，一个是二项分布，一个是超几何分布。我们这四个模型都有参数，一旦确定它是一个古典概型，那么你要做的事情就是这个古典概型基本事件的总数是多少。比如说我们掷一个摋子，六个面朝上，我们把一个面朝上作为基本事件，那么基本事件的总数就是六。如果我们说偶像朝上和奇数朝上，我们就把它可以看作两个基本事件，那么他的总数就是二，所以我们要确定我们解决问题基本事件的总数是多少，这是我们利用古典概型解决问题所需要做的一个非常重要的工作。‎ 比如说指数函数是刻画变化的一个模型，当我们一旦发现这一个具体问题是需要用指数函数来进行解决的，那么我们就需要确定这个指数函数的参数，也就是 的a是谁，a是大于1还是小于1吗，a具体是谁，只有确定了这个a才能帮助解决这些问题，我想其他也是这样，比如一二次函数，实际上要确定的就是 ,abc是谁。所以想这个模型非常重要，那么这种方法就变得很重要了，就是我们如何根据我们所要找到的模型去确定它的参数。‎ 我觉得它的重要性不仅在高中数学中凸显出来，这种方法之所以能成为重要的方法，那么在今后学习中仍然是重要的学习方法，无论我们在学习将来所学习的很多数学课程中，和其他的一些课程，我们都需要用待定系数去确定我们所研究的模型，是哪一个具体的模型。所以我觉得我们看待这个方法的重要性，可能需要更放开一点，这种方法在将来的学习中，在将来应用中，是不是仍然能发挥作用，才能作为一个通性通法的基础。‎ 张饴慈：同样像中间变量替换，这也是一个非常非常基本的方法。这个方法就是把一个复杂的东西分解成几个简单的东西，把一个复杂的映射变成几个简单的映射，每一个都是简单的，把一个很复杂的东西变成一些简单的东西，这是一个非常基本的思想。所以这样的思想对我们解决问题就非常有好处了，用这样的思想把我们学过简单一些函数模型，一些很基本的东西，套在一块变成一个很复杂，很乱的东西，但是你能够清楚它是一些很基本的东西，中间变量实际把一些复杂分成几个简单的东西来做。‎ 王尚志：这同样在大学里面非常重要的，比如在微积分的学习中，在导数学习中，复合函数求导，关键一步就是谁是中间变量。我们在积分过程中，常常要做的无非是，我们所谓换元法就是要确定中间变量，把一个复杂积分变得比较简单，我们在做函数变换也经常要用这种中间变量作为过渡，把一个复杂问题变成简单，所以我觉得这种方法应该也是值得关注的一种基本方法。‎ 张思明：我觉得像老师常说的配方，消元，老师们认识比较清楚，有时候其实可以更广义去理解，比如说三维的问题化到二维的问题里去做，其实有很多时候现在没有研究像二元函数，经常用等势面切一片这样的东西。像方程组，其实初中有把这个内容加进去，但是核心的思想就是转化成我们会做的，更简单的东西来处理。‎ 张饴慈：像消元法这个东西，除了在技术层面上让学生掌握方法以外，实际要想它的思想，实际把三维变二维，二维变一维，高维变低维，就是把复杂的东西往简单东西做，把空间的东西放在平面上，平面的东西放在直线上，这是人类在考虑问题的一个很基本的思想，总是要把复杂的东西变成简单的，然后一步一步来解决，所以从思想意义层面上都非常重要的，所以我想不仅是这种方法操作上要懂得，另外要认识到解决问题的思路。‎ 张思明：但是在老师实践教学过程，老师还会根据自己的教学经验会总结出很多很多，比如说小的，在裂项差分的方法，还有一些很技术层面的方法，也是在我们看待这些方法过程中，是不是请老师提一个建议，很可能做这一道题的时候，就差这一点点东西，怎么把这个关系处理好？‎ 王尚志：我想我们去分析这些问题，当然我们必须拿具体的东西来分析了，还是这几个基本的东西是重点的，那些东西实际上还是蕴含在这里面的。所以我想我们可以拿一些题目来分析。‎ 张饴慈：我举一个例子，就是以前比如三元一次方程组，X+Y=1，Y+Z=2，Z+X=3，你把三个方程同时加起来，来做这个东西，这就属于一种技巧性的东西。这种东西只适合这类的，不适合通性通法。就是在这样的东西基础上，我觉得没有必要在这上面花工夫，而真正消元的思想倒是需要掌握，有些老师总觉得消元太简单，反而不太重视，在技巧上花得太多。‎ 王尚志：就是这种东西只是很小的，你占不了多大便宜。还是掌握那种最基本的东西，我觉得对于将来学生的发展是很重要的，所以我觉得我们需要在这些问题上认真地讨论，所以我们建议老师要把注意力集中在通性通法上，这样帮助学生把这些东西掌握了，我想基本的问题就应该有一个比较好的处理。‎ 张饴慈：比如说有的老师老觉得消元法太简单，没有什么可讲，实际上不是。有的学生这三个方程，这两个一看，X的系数正好相反，一加，把X消掉了。那两个方程Z的系数又相反，又一加，做了两遍以后，还是三未知数，就没有把这个基本思想让学生掌握好。所以最基本的东西一定要把握得非常好。‎ 张思明：我们请 薛文叙 老师谈一些例子。‎ 薛文叙：我觉得你们几个人说得挺好，我觉得中学老师比较容易把方法看成操作层面上考虑得比较多，具体这道题用待定系数法，能求出A和B来，那道题用的是消元法，可是实际上他们蕴含的思想这方面我们考虑得不够，我觉得今后在这方面可以更多来思考一下。‎ 我们就举例子，比如说最简单的，就是08年新课标的广东考题，等差数列 ，求 ，这就属于基本常识的最基本东西的考察，实际上是属于送分的问题，但是这样的问题解决，我觉得实际上思想层面上来讲，就是待定系数法的一种思考。因为我们知道等差数列的基本模型，求（27：11）的公式，就需要（首相）和空差，那么要求这两个未知量的话，就得有等量建立一个关系。所以这个本身是不是就是待定系数法呢？‎ 王尚志：就是相当于等差数列这个模型，受到几个参数的制约，一个就是首项，实际上参数通常说有这么几个，一个是首项，一个是项数，一个所谓通项，一个是前n项和，一个是我们通常所说的公差，实际上最根本的一个是首项，一个是公差，一个是项数，这是最基本的参数。这些参数就导出了前n项和，或者说通项的表达形式，所以我们要明确，我们老说知三求二，但是最基本的参数我们应该清楚。所以你做到什么时候，就能把等差数列固定下来了，所以我觉得这样一个思想实际上是我们所谓待定系数在等差数列表现最核心的东西。‎ 张饴慈：不是光让学生说，这个高考题你会不会做，你要总结一下待定系数法，这个思想让他知道，现在我用什么样的最基本的方法来做这道题的，不是说会做就算完了。‎ 王尚志：其实你仔细想，咱们数列的模型主要就是两个，一个等差数列，一个等比数列，个别的数列等于是等差，等比混合一下，造一下数列。‎ 薛文叙：学生如果知道从模型出发，然后需要待定这几个系数，他这么想我觉得他理解就深了，如果光知道知三求二，可能知几求几到时候可能不是只是死记。‎ 张思明：两个层面，一个是策略层面，一个是技术层面。比如说一用两个参数，要用两个方程来定，这个东西有了就要去掌握方程很具体的东西。但是这个想法都没有，就来回乱撞了，可能是有好多重复，没有效率地学习起来。‎ 张饴慈：另外像知三求二这种东西，只适合等差或者等比数列，但是你知道这些待定系数法在很多问题上都可以用这种方法，对这种方法培训有很大的好处。‎ 薛文叙：比如说我们都拿最基本的题说，比如说今年江苏也是新课标的考题，一条直线是 ，这条直线是曲线 ‎ 的一条切线来求实数b的值。所以等于给了两个模型，一个直线的模型，一个是切线的模型，要由这两个来确定b，肯定要建立关于b的方程。要建立关于b的方程，首先压知道找到切点，而且几个概念得清楚，得知道二分之一是切线的斜率，那么切线斜率的几何意义是什么，你就知道这个模型，然后把它带进来，列一个方程组就可以解决了，所以一些基本题还是考察数学思想方法的。‎ 所以我们觉得复杂的题目可能用得也是很多，比如说今年海南和宁夏的，这道题变成一个超难题，难度是0.096，不到10%学生做对，给的题目就是给了 ，这是老师所常说的平移以后的对钩函数。曲线f(x)在点2，f(x)的切线方程式y=3，第一个问题求f(x)解析式，第二个问题证明曲线的图象是一个中心对称的图形，然后求对称中心，第三个小问题就是曲线任意点的切线和两条直线，一个是X=1，还有一个就是对角线y=x，围成一个三角形，证明这个三角形的面积是一个定值，按说这个提示是一个属于一个常规的题目，第一你得把这个解析式求出来，求出来之后，判断中心对称可以用向量的方法平移判断，也可以直接用中心对称的（条件）来进行证明。然后找出来以后，切线方程知道了，这三角形的面积就好办了，来证明它是一个定值，所以这种题目我觉得不是特别新颖的那种，特别怪的题目，都是大家的常规题，为什么考得不好呢？那么可能原因首先就是这个里面渗透很多数学思想，比如说刚才求这个解析式的时候，它的条件就是f(2)的切线给你了，等于给了两个条件，这两个条件就需要待定通过两个方程，解决的是两个参数的问题，就把f(x)定下来了。‎ 王尚志：第一问应该是最常规的办法，就是拿两个条件确定两个参数，这个方程就定了。‎ 张饴慈：所以就是一个模型函数然后要确定系数，这是非常典型的模型和确定系数的关系。‎ 薛文叙：而且确定之后，函数也挺简单了，变成F加上X减一分之一，刚才你说平移以后的对钩函数，对对钩函数很熟悉，一平移对称中心很容易就找到了，进行验证就可以了。所以说第二问其实应该也可以的。‎ 那么第三问就是来证明这个问题，我觉得关键就在于待定系数法，第一个小问题解决了后面的问题，就奠定了基础。‎ 王尚志：实际上最关键的是第一步，你把这个确定了，然后你又熟悉对钩函数，其他的事情应该都是在通性通法以内应该解决的问题，有 时候 老师平常题目做得太多，太复杂，反而对这些通性的问题没有了办法。‎ 张思明：其实老师在教学中，如果把握不当，老师在思考问题的，首先要找巧的方法，很多学生就是因为这个，所以没有效率，其实还要想最本质的方法，你老想这是一个什么东西，怎么弄出来，学生效率也没有，抓不住大的东西。‎ 张饴慈：另外这种题目，你看着很长很长，实际上你要做起来，要踏踏实实一步一步走，每一步做，你就觉得不是一个很难的题目。一开始就是一个待定系数法，就是一个确定模型，模型解决函数一出来，第二个问题再看，又变成一个不太难的。就是怎么来做这个问题，我觉得还是抓最基本的东西。‎ 薛文叙：比如说这个概率题，江苏也是一个很简单的问题，就是直角坐标系中，横坐标和纵坐标的绝对值，都不大于2的点构成一个区域。然后E是到原点距离不大于一的点构成的区域，D是绝对值不大于二的点构成的区域，随便向D随机投一个点，落入E中的概率。‎ 张饴慈：实际上模型是几何（概写），然后你只要把这个区域定出来。‎ 张思明：我觉得语言的转化要求比较高，学生表达不太熟悉，用距离来描述这个区域。‎ 王尚志：但是这一个判断，首先这是几何概型，我就求大面积，然后求小面积，至少我这个面积是对的。然后我看我求出大面积，我就得分了，然后求出小面积，我也得分了，再一比就是满分了。所以这是一个典型模型的判断，求解的一个题目。‎ 薛文叙：那么比较困难一点的题目，就是比较大的题目，像解析几何里其实待定系数法是最突出的，因为（圆锥）曲线这个模型基本上就定了，尤其是平移和旋转这一部分减弱了，基本上都是标准位置上的圆锥曲线的，所以这个待定系数法使用得更多频繁。像今年海南第20题，学生不知道为什么，总是觉得这样的题目难，这个题变成0.173，也是一个很难的题目。直角坐标系有（37：33），左右焦点F1，F2，F2也是抛物线， 的焦点，就是椭圆的F2焦点和抛物线是共交点。那么点M是C1和C2在第一象限相交的那个焦点，然后点M到F2，到焦点距离是三分之五，第一小问求C1方程。第二小问有一个M点满足的是 ‎ 直线l平行于MN，和C1交于AB两点，和椭圆交于AB两点，那么OA和OB数量的积是零的话，求这条直线的方程。所以实际上给两个模型，一个是直线，一个是椭圆，首先把椭圆求出来之后，椭圆和这条直线相交，利用这样的性质来求这条直线的方程。那么基本的方法就是待定系数，但是能不能待定好，也就是怎么从已知条件发觉等量关系，然后列出相应的关于A和B的方程，然后把参数找出来。第二个问题把这直线中的两个参数又找到，所以这样的问题学生把握起来就比较难，原因在什么？‎ 王尚志：我想除了待定系数在处理这个题要画画图，你要知道你要求的那个直线大概在哪，需要确定那个东西的意义是什么？可能会给你提供很多的思路去找到求解的办法。有时候我们也不能说待定系数就是变成代数的运算去做，因为这是解几何题，解几何题必须要画图，一画图会提供很多的想法，比如说第一象限的点，类似这些你脑子有一些印象，你可以提供你很多横本变形的方向。‎ 张饴慈：我个人有一个不一定很对的想法，我觉得现在最后的题目，基本上待定系数，就是靠直线列几个方程，但是这个方程一般可能比较多，有时候三个，解起来有一定的困难。因为有时候是二次的，有时候甚至要有一些比较好的技巧，如果硬靠这种联立解方程的方法，它就会比较难。我倒觉得难度在这方面做，不一定是一个非常好的事情，只是在解这个方程的难度不一定做得很好，但是基本思想一定要弄清楚。所以我发现很多孩子做这种题目，方程全部列出来的，基本思路都是对的，但是最后做不下去，解不出来，我觉得倒不一定要在这方面难为学生，考这个东西就没有太大的意思，当然我这个想法不一定对。‎ 薛文叙：对运算能力要求还是非常高的。‎ 王尚志：我想这个待定系数作为一个方法，依托是对于模型的理解，因此老师在准备高考的时候，或者在日常教学中要不断强化模型的思想，所以我们在高中学的模型没有太多，比如函数的模型，简单的幂函数没有几个，Y=X，Y=KX，Y=KX+B，Y=X次方，Y等于AX次方加BX加C，Y等于X分之一，Y等于X分之K，然后再难一点就是Y等于X加X分之一的拓展。然后还有Y等于X三方，Y等于X二分之一方，也就是这些，然后指数，对数，三角函数，还有一些简单的分段函数，至少你要有分数函数的意识，我想这是函数的模型。当然还有离散函数，就是等差等比这种模型，你仔细想，概率刚才我们说了，四个基本模型，模型并不是那么太多了，我们至少要让学生把这些基本模型，以及这些基本模型能处理问题的范围解清楚，这个是掌握待定系数最基本的东西。‎ 张思明：首先要判断模型的特征，由哪些东西来决定的，这个教学中要讲清楚。‎ 王尚志：第一是有哪些模型，第二谁来决定这些模型，基本的参数是什么，这些模型能解决哪些问题，这是最基本的东西。那么再处理我们的问题可能会好一些。‎ 张思明：其他的通性通法也举一些例子。‎ 薛文叙：下面就举一个中间变量替换我们举几个例子。一个是今年山东文科的第15题，是填空题，已知 ，那么求 所对应函数值。那么这一道没有给f(x)，给的是复合函数 ，所以必须得首先用换元法，同学都很熟悉的，首先就设一个 ，然后转化一下，把f(x)就找出来了，找出f(x)以后，就数列就把对数的和，就变成了指数的积，我们就可以用一个等差数列求和，这个问题就很容易解决了。所以关键就在于，换元能不能把函数的关系搞清楚了。‎ 张饴慈：实际上中间变量，实际上我们知道了一个映射，比如说 ，还有一个f(x)，我知道他们合成的结果，…，其实这道题目很快把这个函数找出来。‎ 王尚志：我想一定不是抽象的数据，一定要拿具体的东西，你要养一个意识，我看这个具体函数，我怎么来看待它。有时候一定要把最抽象的讲清楚，实际上不是这个意思，我想要结合具体的问题，养成比较敏锐的看法，对这一类问题我觉得是比较好的。‎ 薛文叙：比如说山东第12题，也是文科，有一个函数 ，是一个复合函数，把指数和对数复合起来了，给出a大于0，不等于1，图象如图所示，找出A和B之间所满足的关系。要看图说话，别把符号语言和图形语言结合起来来考虑，但是在考虑之后同学必须得明确，实际上是一个对数函数模型，只不过对数函数里面的自变量是一个复合函数，所以你得有换元的思想，把 ‎ 看成是一个整体，不见得非得写出来，但是得有这种想法，然后看成一个整体结合对数函数的图象就考虑了。这个对数告诉你，0的时候函数只是在负1和0之间，那么你就得知道，对数值什么时候在0和负1之间，这个函数是增函数么对数比到底是什么情况，所以这个问题实际上是一种换元思想在解题过程中的体现，考察的时候其实考察这种方法。‎ 张思明：当然还有一些例子也可以说明，像配方，老师在高考题中比较容易发现这个，因为老师们对这些方案比较熟悉。是不是我们请 薛文叙 老师再为我们介绍一下，就是结合高考题对于我们日常教学里面，怎么来通过关系把高考题反映在日常教学中，怎么来解决好像刚才抓通性通法，处理好过渡，怎么把日常的复习效率提高，能不能给我们提供一些这样的建议和思考？‎ 薛文叙：其实高考题很多时候关键是在你平常的基础，因为数学实际上是累积过程，光靠高三那一年复习，突击一下，大量的作题不能解决问题，是平常对数学的理解，尤其现在的高考越出越科学，是站在学科整体度高度上，考察同学对数学的理解，对数学思想和方法的运用。刚才我们说的模型，比如说高考题中，我们举一个例子，长方体模型在刚一开始学几何的时候，我们特别强调亿建立这个模型，那么这个模型究竟在高考中能不能解决问题，我们就可以举几个例子来看。‎ 第一个例子就是海南宁夏这一道题，难度变成0.214，也是一个难题。就是就是一个几何体中的一条棱长是 ， 在正视图中它的投影是 线段，在侧视图和俯视图中，投影长分别是A和B，来求A+B的最大值，同学们想象不出来这个图是什么样的。如果同学脑子里长方体模型的思想，把这条线放在长方体中。‎ 张思明：把它浓缩到这里面，想象长方体，这个事情就变得非常简单。‎ 薛文叙：一放这个图里面，一下子就可以建立起来关于A和B长方体对角线之间的关系，那就很容易解决了。但是能不能有意识地去做，觉得刚开始几何的学习要很好的建立起来。‎ 再举第二个例子，模型的判断线面位置关系，这是高考经常考的一种题目，其实今年也有很多题，我拿了一个稍微觉得比较难一点的题目，给了三个平面α、β、 ，给了两条不同的直线，M和N，给了四个命题判断真假。比如说有一个命题，M垂直于β，M平行于α，α垂直于β对不对，α垂直于 ，然后α又垂直于β，β垂直于 ，对不对，这样的问题如果同学把定理记住了，然后去想，可能也想象得出来。但是考场上就是一个长方体模型，你都不用画，眼睛观察观察，然后想一想，结合这个模型，我们把这个四个模型图画出来以后，每一个题都在长方形，每一个问题都在长方体中找到，如果命题是错的，我们就可以找到反例，如果这个命题正确的，我们就可以进行证明，或者我们就很容易判断出来，所以这种模型判断线面，位置关系是非常有用的一个模型。‎ 张饴慈：像长方体这样的模型，实际上是向量的思想，就是三个最基本向量基本定理，把这个问题用长方体这个模型来表示，我觉得不仅是通性通法，而且在几何上是一个非常直观，非常好的一个模型，是空间认识位置关系一个非常重要的载体，有意识地把我们的问题转化成长方体的模型，用长方体来表述，这就是一个在教育中要非常重视的问题。很多老师总结了，这个很简单，做一些难题，最基本的东西没有把握住，我觉得不仅对高考是一个损失，而且对整个学生对几何的认识都是一个损失。‎ 王尚志： 薛文叙 老师还有一篇文章将来要系统地介绍一下，因为我们在处理几何问题，还不仅仅是几何问题中，我们不断用到长方体的模型。实际上我们在强化直角坐标系的基本概念，长方体就是直角坐标系的一个具体模型，我觉得这个是在我们日常教学中要不断地强化，所以从必修2，讲立体几何初步的时候，长方体应该成为认识整个学习过程的一个基本模型，反复强调，让学生脑子里印住这个长方体，不断地进行这样的转换，我想在处理像高考题这一类的问题，应该会给大家提供非常好的帮助。‎ 张饴慈：而且既使将来念高等数学，基的作用是一个最根本的东西，有时候不只是三个基，或者更多，这是一个核心的概念问题，像这样的问题都是非常非常基本，表面上看很容易，但是我们一定把它重视，一定要把它学得特别好。‎ 薛文叙：‎ 我这里有一个题正好说明这个问题，就是全国乙卷第16题，难度是0.075，就是一个等边三角形和三个正方形有一个公共边，公共边是A和B，二面角的余弦值是三分之根号三，M和N分别是两个四边形的里面和一个边，还有三角形的一个边上的两个中点，来求EM和AN所成角的余弦值，这个题这么难，原因在哪？其实同学把图画出来以后，如果用综合几何的办法画出来，实际是一个四棱锥，只不过四棱锥那一面没有画，如果都画清楚了以后，就很容易看出来。实际上这就是一个普普通通正四棱锥，这正四棱锥，问题是在正四棱锥里面，相交的侧面上两条直线是一面直线，这两条一面直线去找他们的成角，去做平行线，用综合几何办法去做，就找不着，做不出来，所以很多同学都用这个办法，就解不了，就变成一个难题。‎ 但是如果你要体会是长方体模型的话，其实我以这个高为Z轴，建立起空间坐标系之后，长方体非常熟悉，这个里面各个点的坐标很容易找出来，棱椎的顶点坐标也非常容易找，那中点的坐标一下子就算出来了，通过运算，这个运算也比解析几何的运算能力要求低多了。所以算出来，如果同学理会那个模型体会空间向量的重要性，那么这道题绝不会得这么低的分数，可能跟我们平常这方面的关注，和我们教学中这方面的重视程度，我们理解情况都有关系。‎ 王尚志：在日常教学中，我们用了这么一个例子，就是长方体作为模型，在日常教学中应该怎么关注，所以我想高考和日常教学的关系是非常紧密的，我们在日常教学中不断地积累，才有可能使得长方体变成学生认识几何图形的一个基本模型。如果你想只是靠题目完全这件事情，我觉得是有困难的。‎ 张饴慈：所以我想我们日常教学里，对一些数学最基本的概念，最基本的思想，看似简单，但是非常重要的东西，要一定要扎得非常非常实，而不是靠大量做片子，不停做作题的方法来弄高考。‎ 薛文叙：我们就要注意有些东西减了，比如说反函数，如果看全国高考题，很多省把反函数作为一个难题来考，或者是经常都出，但是新课标里面一个都没有，所以我们教学里面要关注这些。‎ 张思明：要关注标准，要关注变化，这个也是挺重要的。过去的热点不一定新课程的热点，还有一些新增加的内容，我觉得也应该特别关注。‎ 薛文叙：还有算法，框图，这些我想不是复习能解决，得平常教学的时候，让同学明白这个框图的来龙去脉，然后把它搞清楚，可能就好一些。‎ 张思明：也是有老师在对框图的认识，比如说我们要强调框图要真的走，这个老师觉得就不重要，要理解框图，要学会脑子走模拟的过程。‎ 薛文叙：另外我想，还有一个教学应该重视概念教学，其实概念清楚不清楚，对同学数学的理解非常重要。我们举一个例子，像今年天津的高考题，A大于E，常数C使得任意的B区间A到 2A ，都有Y属于B区间A到A方，满足方程以A为底X对数，加上以A为底Y的对数等于X，求A的取值的结合是什么？‎ 第一得明白函数的定义和值域，其实这个方程很多同学满意把它画出来，实际上这个方程体现出X和Y满足反比例关系，就是Y等于X分之A的C次幂，这个概念得清楚，这个函数是一个解函数，那么函数定义在A到 2A 之间的时候，函数值是在A到A方之间，应该A对应的是A方，然后 2A 对应是A，我们就建立了一个关于A和C的一个方程。而且这个等量关系的分析，等于你对概念的理解，所以我们平常教学的时候，我觉得高中数学教学还是应该重视概念的教学。‎ 张思明：我们的分析举了很多例子，当然这个分析我想每个老师都会仁者见仁，智者见智，但是我们从这个分析中看到 薛文叙 老师给我们提供高考题，提供了一个很强的信息，也就是在我们这个分析我们不是仅仅从一道一道具体高考题怎么做去入手，而是往回拉，为了做好这个高考题，为了提高复习效率，为了把平常教学做好，从高考题给我们提供了什么样的思考，那么这个我们也希望这个讲里面最重要的东西。‎ 那么作为整体的考虑，怎么样把这个日常教学和高考的联系考虑清楚，我想要通过更多老师的参与和校本教研来做这个事情。 王 老师对日常教学和高考，您给老师们提点什么样的建议？‎ 王尚志：其实刚才 薛文叙 ‎ 老师都提到了，我们强调这么几点，大家在日常教学中需要强化的东西，也是我们在接触老师过程中感觉到有点不足的地方，其实也不复杂，第一个就是概念教学，我们老师在听了很多课，老师常常不太重视基本概念的教学，更重视作题，我们叫题型教学，所以我们常常看到的课，概念用10分钟左右的时候讲完了，然后下面大量的练习，比如说函数单调性的概念，很多课堂教学大部分都在正题，那么什么是单调性，怎么理解单调性，单调性和其他知识之间内在联系是什么，可能没有引起老师足够的重视，所以第一件事我们想提醒老师是重视概念的教学。‎ 我们在大学 和 老师讨论的时候，我们要帮助学生改变的第一个习惯，就是学会阅读概念，理解数学问题，而不能仅仅靠作题来学习数学，这是第一个建议。第二个建议也是我们反复强调的通性通法，所谓通性通法，我觉得就是那些最基本，最重要的东西，我们要反复地让学生理解，不仅理解方法层面，技术层面，而且还要理解为什么这些东西是我们要关注的东西，比如说刚才我们强调的待定系数的方法，中间变量替换的方法，叫什么大家可以参考，还有消元和配方方法。‎ 我想第三件事，就是我们在日常教学中，尤其是解决问题的过程中，需要把几何和代数结合起来，就是我们通常所说数形结合，在讨论几何问题的时候要画图，在讨论代数的问题，可能画图，在讨论代数问题和几何问题我们要把这两者之间结合起来，可能会更好一些。所以值得关注的东西还很多，我们仅仅是强调了几个 方面供 老师来参考。‎ 张思明：其实 薛文叙 老师为了准备这个事情，是做了很多的调查研究，同时也跟北京市 和各地 老师们做了很多的交流， 薛文叙 老师在这一讲的资源里面还会提供更完整高考分析和这个讲座，对于其他思想方法和日常教学的建议，有更完整的版本，希望老师们进一步地去看，参与我们的讨论。结合这个评价专题，我们也为老师提供了一些思考题，也希望老师们在参与学习讨论的过程中，来思考一下这样的问题。当然我们知道高考在发展变化，我们对评价的工作也在发展变化，在新课程过程中，评价对学生发展的作用会越来越重要，同时我们每一个老师一起来做，我们会有更多的办法想出来，让学生在发展过程中得到更多的激励，同时把日常教学和最后高考和日常的发展结合得更好，我们希望和大家一起朝这个方向努力，那么这一讲就到这里，谢谢大家的参与，再见。‎