备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题31 数形结合之——简单线性规划

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备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题31 数形结合之——简单线性规划

专题31 数形结合之----简单线性规划 ‎【热点聚焦与扩展】‎ ‎ 从考纲和考题中看,该部分内容难度不大,重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题,或在目标函数的最值已知的条件下确定参数的值,命题形式以选择、填空为主,但也有解答题以应用题的形式出现.本专题重点说明利用数形结合法解答此类问题.‎ ‎(一)简单线性规划问题 ‎1、相关术语:‎ ‎(1)线性约束条件:关于变量的一次不等式(或方程)组 ‎(2)可行解:满足线性约束条件的解 ‎(3)可行域:所有可行解组成的集合 ‎(4)目标函数:关于的函数解析式 ‎(5)最优解:是目标函数取得最大值或最小值的可行解 ‎2、如何在直角坐标系中作出可行域:‎ ‎(1)先作出围成可行域的直线,利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点(比如坐标轴上的点),以便快速做出直线 ‎(2)如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧:一条曲线(或直线)将平面分成若干区域,则在同一区域的点,所满足不等式的不等号方向相同,所以可用特殊值法,利用特殊点判断其是否符合不等式,如果符合,则该特殊点所在区域均符合该不等式,具体来说有以下三种情况:‎ ‎① 竖直线或水平线:可通过点的横(纵)坐标直接进行判断 ‎② 一般直线:可代入点进行判断,若符合不等式,则原点所在区域即为不等式表示区域,否则则为另一半区域.例如:不等式,代入符合不等式,则所表示区域为直线的右下方 ‎③ 过原点的直线:无法代入,可代入坐标轴上的特殊点予以解决,或者利用象限进行判断.例如::直线穿过一、三象限,二、四象限分居直线两侧.考虑第四象限的点,所以必有,所以第四象限所在区域含在表示的区域之中.‎ ‎(3)在作可行域时要注意边界是否能够取到:对于约束条件(或 20‎ ‎)边界不能取值时,在图像中边界用虚线表示;对于约束条件(或)边界能取值时,在图像中边界用实线表示 ‎3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤 ‎(1)根据约束条件,在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域 ‎(2)确定目标函数在式子中的几何意义,常见的几何意义有:(设为常数)‎ ‎① 线性表达式——与纵截距相关:例如,则有,从而的取值与动直线的纵截距相关,要注意的符号,若,则的最大值与纵截距最大值相关;若,则的最大值与纵截距最小值相关.‎ ‎② 分式——与斜率相关(分式):例如:可理解为是可行域中的点与定点连线的斜率.‎ ‎③ 含平方和——与距离相关:例如:可理解为是可行域中的点与定点距离的平方.‎ ‎(3)根据的意义寻找最优解,以及的范围(或最值)‎ ‎4、线性目标函数影响最优解选取的要素:当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时,目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取.‎ ‎(1)在斜率符号相同的情况下:越大,则直线越“陡”‎ ‎(2)在作图和平移直线的过程中,图像不必过于精确,但斜率符号相同的直线之间,陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致,这样才能保证最优解选取的准确 ‎(3)当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时,有可能达到最值的最优解有无数多个(位于可行域的边界上)‎ ‎(4)当目标函数的斜率含参时,涉及到最优解选取的分类讨论,讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点.‎ ‎(二)非常规线性规划问题解答策略 第一依然要借助可行域及其图形;第二,要确定参数的作用,让含参数的图形运动起来寻找规律;第三,要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言,并进行精确计算.‎ ‎【经典例题】‎ 20‎ 例1. 【2017课标II,理5】设,满足约束条件,则的最小值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 例2. 【2017课标3,理13】若,满足约束条件,则的最小值为__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 20‎ ‎【名师点睛】求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.‎ 例3. 【2019年5月2019届高三第三次全国大联考】已知实数,满足约束条件,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,易知表示可行域内的点到点的距离的平方,所以.故选A.‎ 20‎ 例4.【2019年5月2019届高三第三次全国大联考】已知实数满足约束条件,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 例5.【2019届宁夏银川市第二中学二模】设不等式组所表示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x-4y-9=0对称.对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B,|AB|的最小值等于(  )‎ A. B. 4 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:根据已知的约束条件,画出满足约束条件的可行域Ω1,根据对称的性质,不难得到:当A点距对称轴的距离最近时,|AB|有最小值.‎ 详解:‎ 20‎ 故选B.‎ 点睛:本题是常规的线性规划问题,线性规划问题常出现的形式有:①直线型,转化成斜截式比较截距,要注意前面的系数为负时,截距越大,值越小;②分式型,其几何意义是已知点与未知点的斜率;③平方型,其几何意义是距离,尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方;④绝对值型,转化后其几何意义是点到直线的距离.‎ 例6.【2019届云南省曲靖市第一中学4月监测(七)】若不等式,表示的平面区域为三角形且其面积等于,则的最小值为( )‎ A. -2 B. C. -3 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:先做出不等式组对应的平面区域,求出三角形的各顶点坐标,利用三角形的面积公式确定值,再利用平移目标函数直线确定最优解.‎ 详解:作出不等式组表示的平面区域(如图所示),‎ 20‎ 由图象,得当直线过点时,‎ 取得最小值为.故选A.‎ 例7.【2019届湖南师范大学附属中学高三月考六】已知满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一,则实数的值为( )‎ A. 或-1 B. 2或 C. -2或1 D. 2或-1‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线的斜率的变换,从而求出的值.‎ 详解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示,‎ 20‎ 则直线与直线平行,此时;‎ 综上或,故选C.‎ 例8.【2019届百校联盟TOP20四月联考】已知,若存在点,使得,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:作出不等式组表示的可行域,利用图象的直观性建立的不等式组,即可求出的取值范围.‎ 详解:作出不等式组表示的可行域,如图,‎ 要使可行域存在,必有,若可行域存在点,使得,‎ 则可行域内含有直线上的点,只需边界点在直线上方,‎ 20‎ 且在直线下方,解不等式,解得 故选:C 例9.【2019届山西省孝义市一模】已知不等式组表示的平面区域为,若函数的图象上存在区域上的点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 由可解得,即B(2,﹣1)此时有﹣1=|2﹣1|+m,解得m=﹣2;‎ 由可解得,即B(1,1)此时有1=|1﹣1|+m,解得m=1;‎ 故实数m的取值范围为[﹣2,1],‎ 故答案为[﹣2,1].‎ 故选C.‎ 20‎ 例10.【2019届北京市海淀区二模】两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生,利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表:‎ 小区 小区 往返车费 ‎3元 ‎5元 服务老人的人数 ‎5人 ‎3人 根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且小区参加献爱心活动的同学比小区的同学至少多1人,则接受服务的老人最多有____人.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:设两区参加活动同学的人数分别为,受到服务的老人人数为,‎ 找出约束条件与目标函数,准确地描画可行域,平移直线可求得满足题设的最优解.‎ 详解:‎ 当时,取得最大值为,‎ 即接受服务的老人最多有人,故答案为.‎ ‎【精选精练】‎ 20‎ ‎1.【2019届辽宁省丹东市模拟二】若点满足不等式组,则的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:将不等式组的可行域表示在平面直角坐标系中,进而利用,即,转化为区域内的点和定点连线的斜率即可.‎ 详解:‎ 故选A.‎ ‎2.【2019届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】设点满足约束条件,且,则这样的点共有( )个 A. 12 B. 11 C. 10 D. 9‎ 20‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:由约束条件画出可行域,根据可行域,利用,可逐一写出满足条件的点,从而可得结果.‎ 详解:‎ 画出表示的可行域,由图可知,满足,得,‎ 共有,,‎ 共个,故选A.‎ ‎3.【2019届陕西省咸阳市三模】已知实数,满足给,中间插入5个数,这7个数构成以为首项,为末项的等差数列,则这7个数和的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:实数x,y满足,如图所示,画出可行域△ABC.给x,y中间插入5个数,这7个数构成以x为首项,y为末项的等差数列,则这7个数和=,令x+y=t,则y=﹣x+t.利用线性规划 20‎ 因此这7个数和=的最大值为,‎ 故答案为:D ‎4.【2019届相阳教育“黉门云”高考模拟】已知,满足约束条件,若的最小值为1,则=( )‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值,即.故选C.‎ 20‎ ‎5.【2019届第三次全国大联考】已知不等式组表示的平面区域为,若以原点为圆心的圆与无公共点,则圆的半径的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,‎ 可知当圆的半径小于原点到直线的距离或大于时,圆与无公共点,而原点到直线的距离为,,故圆的半径的取值范围为.‎ ‎6.【2019届浙江省宁波市5月模拟】已知实数,满足不等式组,则的最大值为( )‎ 20‎ A. 0 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎|x﹣y|的几何意义:表示区域内的点到直线x﹣y=0的距离的倍,‎ 由图可知点A(4,0)到直线x-y=0距离最大,所以|x﹣y|的最大值为 故答案为:C.‎ 点睛:本题解题的关键是发现|x-y|的几何意义,|x-y|它表示区域内的点到直线x﹣y=0的距离的倍,利用数形结合分析解答,可以提高解题效率.所以在今后的解题过程中,看到|ax+by|要联想到点到直线的距离公式.‎ ‎7.【2019届广东省佛山市检测二】已知,设满足约束条件,且的最小值为-4,则 ( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C 20‎ 故选C.‎ ‎8.【2019届安徽省“皖南八校”第三次(4月)联考】已知函数,若满足,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:由已知条件可得,函数是定义在上的奇函数,从而将题中的条件转化为关于的二元一次不等式组,画出相应的可行域,之后结合目标函数的几何意义,确定最优解的位置,从而求得范围.‎ 20‎ 最小值,在点处取得最大值,而边界值取不到,故答案是,故选C.‎ ‎9.【2019届高考全程训练】某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品,要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,搭载每件产品有关数据如表:‎ 因素 产品 产品 备注 研制成本、搭载费用之和/万元 ‎ ‎20‎ ‎30‎ 计划最大投资 金额300万元产品质量/千克 ‎10‎ ‎5‎ 最大搭载 质量110千克预计收益/万元 ‎80‎ ‎60‎ ‎——‎ 则使总预计收益达到最大时, 两种产品的搭载件数分别为(  )‎ A. 9,4 B. 8,5 C. 9,5 D. 8,4‎ ‎【答案】A 由解得,故M(9,4).‎ 20‎ 所以目标函数的最大值为zmax=80×9+60×4=960,此时搭载产品A有9件,产品B有4件.‎ 故选A.‎ ‎10.【2019届第二次全国大联考】若满足不等式组,则目标函数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ,‎ 令,并作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,‎ ‎11.【2019届辽宁省丹东市测试二】设实数,满足约束条件,则的取值范围为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:画出不等式组表示的可行域,将变形为,然后平移直线确定取最小和最大值时的最优解,进而可得所求范围.‎ 详解:画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示).‎ 20‎ ‎12.【2019届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】若实数,满足,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:画出可行域,设,化为,平移直线,由可行域可得的取值范围,从而可得的取值范围.‎ 详解:‎ 设,化为,‎ 画出,表示的可行域,平移直线,如图,‎ 20‎ 故答案为.‎ 20‎
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