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第一讲 函数的图象与性质
真题试做►———————————————————
1．(2013·高考江西卷)函数y＝ln(1－x)的定义域为( )
A．(0，1) B．[0，1)
C．(0，1] D．[0，1]
2．(2013·高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|
3．(2013·高考四川卷)函数y＝的图象大致是( )
4．(2013·高考湖南卷)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
考情分析►———————————————————
高考对函数图象和性质的考查多以选择题、填空题的形式出现，若是解答题，多与导数结合命题，试题难度较大．对函数图象性质的考查多考查函数的定义域、函数的周期性、奇偶性以及单调性的结合，而对图象的考查，一是识图；二是用图，即利用图象来解决问题．
考点一 函数及其表示
(1)给定函数解析式求定义域及值域；
(2)给出分段函数表达式结合函数的性质求值，分段函数问题是近几年高考的一个热点．
(1)(2013·高考安徽卷)函数y＝ln(1＋)＋的定义域为________；
(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
【思路点拨】 (1)列出函数有意义的限制条件，解不等式组．
(2)解题的关键是考虑f(1－a)和f(1＋a)需要代入解析式的哪一段，进而需讨论1－a和1＋a与1的大小关系，即a与0的大小关系，构造关于a的方程求解．
(1)根据具体函数y＝f(x)求定义域时，只要构建使解析式有意义的不等式(组)求解即可．
(2)根据抽象函数求定义域时：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
(3)求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
强化训练1 (1)在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a
0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
新定义型试题的解题技巧——
函数中的新定义问题
“创新是一个民族进步的灵魂、是一个国家兴旺发达的不竭动力”；在这个充满挑战的年代里，创新也是机遇；做学生、迎高考，关注试题创新是应该的也是必须的；君不见年年高考有新题、岁岁选拔有新招．也正是“新题”、“新招”才将考生分出了三、六、九等；在命题中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，从定义型、多样型、发散型、研究型、探索型、开放型入手设计试题是近年命题创新的整体趋势，因此必须引起我们的重视，但对于考生来说，有些题目存在一定难度，解决此类问题要依据题目所给条件或提供的信息，结合所学知识选择合适方法求解．
(2013·高考江西卷节选)已知函数f(x)＝a，a为常数且a>0.
(1)证明：函数f(x)的图象关于直线x＝对称；
(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围．
(1)要证f(x)的图象关于直线x＝对称，只需证明f(＋x)＝f(－x)．
(2)二阶周期点的定义给出了两个条件：一是x0满足f(f(x0))＝x0；二是f(x0)≠x0，求解时关键表示出f(f(x))，由于f(x)＝，再表示f(f(x))时，应确定2ax及2a－2ax的范围，从而对a要分类讨论．
【解】 (1)证明：因为f＝a(1－2|x|)，
f＝a(1－2|x|)，有f＝f，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)当0时，
有f(f(x))＝
所以f(f(x))＝x有四个解：0，，，.
又f(0)＝0，f＝，f≠，f≠，
故只有，是f(x)的二阶周期点．
综上所述，所求a的取值范围为a>.
跟踪训练 (2013·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)对于定义在区间D上的函数
f(x)，若满足对∀x1，x2∈D且 x10，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.
4．【解析】选B.∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
又g(x)是偶函数，
∴g(－1)＝g(1)．
∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2.①
又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4.②
由①②，得g(1)＝3.
_典例展示·解密高考_
【例1】【解析】(1)要使函数有意义，需
即即解得00时，f(1－a)＝f(1＋a)⇔2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a⇔a＝－(舍去)，所以a＝－.
【答案】(1)(0，1] (2)－
[强化训练1]【解析】(1)由题意知f(x)＝.当x∈[－2，1]时，f(x)∈[－4，－1]；当x∈(1，2]时，f(x)∈(－1，6]，∴当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－4，6]．
(2)当a>0时，由f(1－a)≥f(1＋a)得：
(2－2a)＋a≥－1－a－2a，解得a≥－.所以a>0；
当a<0时，由f(1－a)≥f(1＋a)得：
－1＋a－2a≥2＋2a＋a，解得a≤－，
综上可知a的取值范围为(－∞，－]∪(0，＋∞)．
【答案】(1)[－4，6] (2)(－∞，－]∪(0，＋∞)
【例2】【解析】(1)
g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝ln x与g(x)＝(x－2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．
(2)依题意得，当0≤x≤π时，f(x)＝2x－2sin x；当π0，于是f(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝当x>0时，由x2－4x>x得x>5；当x<0时，由－x2－4x>x得－5
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