上海市嘉定区高考数学一模试卷理科Word版含解析

上海市嘉定区高考数学一模试卷理科Word版含解析

‎2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．‎ ‎1．=　　　　　　．‎ ‎2．设集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B=　　　　　　．‎ ‎3．若函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a=　　　　　　．‎ ‎4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是　　　　　　．‎ ‎5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为　　　　　　（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎6．若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为　　　　　　．‎ ‎7．已知，则cos（30°+2α）=　　　　　　．‎ ‎8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是　　　　　　．‎ ‎9．过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为　　　　　　．‎ ‎10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是　　　　　　．‎ ‎11．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为　　　　　　．‎ ‎12．已知n∈N*，若，则n=　　　　　　．‎ ‎13．对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为取整函数．若，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则=　　　　　　．‎ ‎14．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎16．下列四个命题：‎ ‎①任意两条直线都可以确定一个平面；‎ ‎②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；‎ ‎③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；‎ ‎④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．‎ 其中错误命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎17．已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎18．已知数列{an}的通项公式为，则数列{an}（　　）‎ A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 ‎　‎ 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．‎ ‎（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；‎ ‎（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由．‎ ‎20．已知x∈R，设，，记函数．‎ ‎（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；‎ ‎（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，，求△ABC的面积S的最大值．‎ ‎21．设函数f（x）=k•ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．‎ ‎（1）求常数k的值；‎ ‎（2）若，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．‎ ‎（1）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．‎ ‎（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．‎ ‎23．设复数zn=xn+i•yn，其中xnyn∈R，n∈N*，i为虚数单位，zn+1=（1+i）•zn，z1=3+4i，复数zn在复平面上对应的点为Zn．‎ ‎（1）求复数z2，z3，z4的值；‎ ‎（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求数列{xn•yn}的前102项之和．‎ ‎　‎ ‎2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．‎ ‎1．=　　．‎ ‎【考点】极限及其运算．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】分式的分子分母同时除以n2，利用极限的性质能求出结果．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极限性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．设集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B=　{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用；集合．‎ ‎【分析】化简集合A、B，再计算A∩B．‎ ‎【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}={x|x＜0或x＞2，x∈R}，‎ ‎={x|﹣1≤x＜1，x∈R}，‎ ‎∴A∩B={x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．‎ 故答案为：{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎3．若函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a=　　．‎ ‎【考点】反函数．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】利用互为反函数的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），‎ ‎∴3=a﹣1，‎ 解得a=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是　2　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】由一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，先求出m=10，由此能求出这组数据的方差．‎ ‎【解答】解：∵一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，‎ ‎∴，解得m=10，‎ ‎∴这组数据的方差S2= [（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为　arccos　（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角．‎ ‎【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM与B1C所成的角．‎ ‎【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，‎ 则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），‎ ‎=（0，1，2），=（﹣2，0，2），‎ 设异面直线AM与B1C所成的角为θ，‎ cosθ===．‎ ‎∴θ=．‎ ‎∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎6．若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为　　．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【专题】数形结合；综合法；立体几何．‎ ‎【分析】根据底面周长计算底面半径，根据侧面积计算母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算体积．‎ ‎【解答】解：∵圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r=1，设圆锥母线为l，则πrl=2π，∴l=2，‎ ‎∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V=πr2h=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．已知，则cos（30°+2α）=　　．‎ ‎【考点】二阶矩阵；三角函数的化简求值．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．‎ ‎【分析】由二阶行列式展开式得到cos（75°﹣α）=，再由诱导公式得cos（30°+2α）=cos[180°﹣2（75°﹣α）]，由此利用二倍角公式能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴cos75°cosα+sin75°sinα=cos（75°﹣α）=，‎ cos（30°+2α）=cos[180°﹣2（75°﹣α）]‎ ‎=﹣cos[2（75°﹣α）]‎ ‎=﹣[2cos2（75°﹣α）﹣1]‎ ‎=﹣[2×﹣1]‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开式、诱导公式、倍角公式的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是　　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2016时，不满足条件k≤2015，退出循环，输出S的值，从而得解．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 k=1，S=0‎ 满足条件k≤2015，S=，k=2‎ 满足条件k≤2015，S=+，k=3‎ ‎…‎ 满足条件k≤2015，S=++…+，k=2015‎ 满足条件k≤2015，S=++…++，k=2016‎ 不满足条件k≤2015，退出循环，输出S的值．‎ 由于S=++…++=1﹣﹣…+=1﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，用裂项法求S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎9．过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为　﹣　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【专题】分类讨论；转化思想；综合法；直线与圆．‎ ‎【分析】先判断a≠0，可得要求的直线的方程为 y﹣2=（x﹣1），即 x﹣ay+2a﹣1=0，再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2，求得a的值．‎ ‎【解答】解：当a=0时，直线ax﹣y+1=0，即直线y=1，根据所求直线与该直线垂直，且过点P（1，2），‎ 故有所求的直线为x=1，此时，不满足所求直线与圆x2+y2=4相切，故a≠0．‎ 故要求的直线的斜率为，要求的直线的方程为 y﹣2=（x﹣1），即 x﹣ay+2a﹣1=0．‎ 再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2，可得=2，求得a=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】利用列举法求出所有的传球方法共有多少种，找出第3次球恰好传回给甲的情况，由此能求出经过3次传球后，球仍在甲手中的概率．‎ ‎【解答】解：用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法 所有传球方法共有：‎ 甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；‎ 甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；‎ 则共有8种传球方法．‎ 第3次球恰好传回给甲的有两种情况，‎ ‎∴经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是p=． ‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎11．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为　3　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】应用题；数形结合；向量法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】先建立坐标系，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设P（0，b）（0≤b≤1），根据向量的坐标运算和模的计算得到， =≥3，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：如图，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，‎ 则A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（2，0）‎ 设P（0，b）（0≤b≤1）‎ 则=（1，1﹣b），=（2，﹣b），‎ ‎∴+=（3，1﹣2b），‎ ‎∴=≥3，当且仅当b=时取等号，‎ ‎∴的最小值为3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎12．已知n∈N*，若，则n=　4　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；二项式定理．‎ ‎【分析】由题意可得•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n=40•2，即（1+2）n﹣1=80，由此求得n的值．‎ ‎【解答】解：∵n∈N*，若，‎ 则•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n=40•2，‎ 即（1+2）n﹣1=80，∴n=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为取整函数．若，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则=　100　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】转化思想；分类法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】=，n∈N*，当n=1，2，…，9时，an=0；当n=10，11，12，…，19时，an=1；…，即可得出S2009．‎ ‎【解答】解： =，n∈N*，‎ 当n=1，2，…，9时，an=0；‎ 当n=10，11，12，…，19时，an=1；…，‎ ‎∴S2009=0+1×10+2×10+…+199×10+200×10‎ ‎=10×=201000，‎ 则=100．‎ 故答案为：100．‎ ‎【点评】本题考查了取整函数、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是　（1，+∞）　．‎ ‎【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由题意便知方程组至少有两个解，从而可得到至少有两个解，从而有k=1+|x|＞1，这样即求出k的取值范围．‎ ‎【解答】解：根据题意知方程至少有两个不同实数根；‎ 即至少有两个实数根；‎ ‎∴；‎ ‎∴k=1+|x|＞1；‎ ‎∴实数k的取值范围为（1，+∞）．‎ 故答案为：（1，+∞）．‎ ‎【点评】考查对一个函数在定义域上封闭的理解，清楚函数y=x的定义域和值域相同．‎ ‎　‎ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若φ=时，y=sin（x+φ）=cosx 为偶函数；‎ 若y=sin（x+φ）为偶函数，则φ=+kπ，k∈Z；‎ ‎∴“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的必要不充分条件，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键，难度不大．‎ ‎　‎ ‎16．下列四个命题：‎ ‎①任意两条直线都可以确定一个平面；‎ ‎②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；‎ ‎③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；‎ ‎④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．‎ 其中错误命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】两条异面直线不能确定一个平面；若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交；若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面；若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外．‎ ‎【解答】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；‎ 在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，‎ 若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；‎ 在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，‎ 如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；‎ 在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．‎ ‎　‎ ‎17．已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】画出图形，可根据条件设，并可得出圆M的半径，从而得出圆M的方程为，这样令x=0便可求出y，即求出A，B点的坐标，根据A，B点的坐标便可得出|AB|．‎ ‎【解答】解：如图，圆心M在抛物线y2=4x上；‎ ‎∴设，r=；‎ ‎∴圆M的方程为：；‎ 令x=0，；‎ ‎∴；‎ ‎∴y=y0±2；‎ ‎∴|AB|=y0+2﹣（y0﹣2）=4．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】考查抛物线上的点和抛物线方程的关系，圆的半径和圆心，以及圆的标准方程，直线和圆的交点的求法，坐标轴上的两点的距离．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}的通项公式为，则数列{an}（　　）‎ A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，内层是指数函数，由指数函数的性质可以求出t的大致范围，在求出的范围内分析二次函数的最值情况．‎ ‎【解答】解：‎ 令，则t是区间（0，1]内的值，而=，‎ 所以当n=1，即t=1时，an取最大值，使最接近的n的值为数列{an}中的最小项，‎ 所以该数列既有最大项又有最小项．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了换元法，解答此题的关键是由外层二次函数的最值情况断定n的取值，从而说明使数列取得最大项和最小项的n都存在，属易错题．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．‎ ‎（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；‎ ‎（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【专题】转化思想；数形结合法；立体几何．‎ ‎【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，且点F在线段AD上，用tanα表示出DF、AF，求出容器内溶液的体积，列出不等式求出溶液不会溢出时α的最大值；‎ ‎（2）当α=60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，则点F在线段AB上，溶液纵截面为Rt△CBF，由此能求出倒出的溶液量，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，画出图形，如图a所示，‎ 过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，‎ 在Rt△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα，‎ 且点F在线段AD上，AF=30﹣20tanα，‎ 此时容器内能容纳的溶液量为：‎ S梯形ABCF•20=•20‎ ‎=（30﹣20tanα+30）•20•10‎ ‎=2000（6﹣2tanα）（cm3）；‎ 而容器中原有溶液量为20×20×20=8000（cm3），‎ 令2000（6﹣2tanα）≥8000，‎ 解得tanα≤1，‎ 所以α≤45°，‎ 即α的最大角为45°时，溶液不会溢出；‎ ‎（2）如图b所示，当α=60°时，‎ 过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，‎ 在Rt△CBF中，BC=30cm，∠BCF=30°，BF=10cm，‎ ‎∴点F在线段AB上，故溶液纵截面为Rt△CBF，‎ ‎∵S△ABF=BC•BF=150cm2，‎ 容器内溶液量为150×20=300cm3，‎ 倒出的溶液量为（8000﹣3000）cm3＜3000cm3，‎ ‎∴不能实现要求．‎ ‎【点评】本题考查了棱柱的体积在生产生活中的实际应用问题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是综合性题目．‎ ‎　‎ ‎20．已知x∈R，设，，记函数．‎ ‎（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；‎ ‎（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，，求△ABC的面积S的最大值．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；向量法；综合法；解三角形．‎ ‎【分析】（1）先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f（x）=，再根据正弦函数的性质即可求出答案；‎ ‎（2）先求出C的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出ab≤3，根据三角形的面积公式即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）=． ‎ 当f（x）取最小值时，，，k∈Z，‎ 所以，所求x的取值集合是． ‎ ‎（2）由f（C）=2，得，‎ 因为0＜C＜π，所以，‎ 所以，． ‎ 在△ABC中，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ 得3=a2+b2﹣ab≥ab，即ab≤3，‎ 所以△ABC的面积，‎ 因此△ABC的面积S的最大值为．‎ ‎【点评】本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式和两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=k•ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．‎ ‎（1）求常数k的值；‎ ‎（2）若，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．‎ ‎【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）方法一、由奇函数的性质：f（0）=0，解方程可得k=1，检验成立；方法二、运用奇函数的定义，由恒等式的性质即可得到k=1；‎ ‎（2）求得a=3，即有g（x）=32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x），令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，可得，h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得m的值．‎ ‎【解答】（1）解法一：函数f（x）=k•ax﹣a﹣x的定义域为R，‎ f（x）是奇函数，所以f（0）=k﹣1=0，即有k=1． ‎ 当k=1时，f（x）=ax﹣a﹣x，f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），‎ 则f（x）是奇函数，故所求k的值为1；‎ 解法二：函数f（x）=k•ax﹣a﹣x的定义域为R，‎ 由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），‎ 即k•a﹣x﹣ax=a﹣x﹣k•ax，（k﹣1）（ax+a﹣x）=0，‎ 因为ax+a﹣x＞0，所以，k=1． ‎ ‎（2）由，得，解得a=3或（舍）． ‎ 所以g（x）=32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x），‎ 令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，，‎ g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，‎ 当时，则当时，，‎ 解得； ‎ 当时，则当t=m时，，m=±2（舍去）．‎ 综上，．‎ ‎【点评】本题考查奇函数的定义和性质的运用，考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和二次韩寒说的对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．‎ ‎（1）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．‎ ‎（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线距离公式能求出动点P的轨迹C的方程．‎ ‎（2）设N（x，y），利用两点间距离公式能求出m．‎ ‎（3）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由点A、B在椭圆C上，得，由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值． ‎ 法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，点A、B在椭圆C上，得．由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值． ‎ 法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，点A、B在椭圆C上，得．由此利用行列式性质及椭圆的对称性，能求出四边形ABA1B1的面积为定值．‎ ‎【解答】解：（1）设P（x，y），‎ ‎∵动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为，‎ ‎∴由题意，，…‎ 化简得3x2+4y2=12，…‎ ‎∴动点P的轨迹C的方程为． …‎ ‎（2）设N（x，y），‎ 则=，﹣2≤x≤2． …‎ ‎①当0＜4m≤2，即时，当x=4m时，|MN|2取最小值3（1﹣m2）=1，‎ 解得，，此时，故舍去． …‎ ‎②当4m＞2，即时，当x=2时，|MN|2取最小值m2﹣4m+4=1，‎ 解得m=1，或m=3（舍）． …‎ 综上，m=1．‎ ‎（3）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则由，得，，，‎ ‎∵点A、B在椭圆C上，∴，，‎ ‎∴=，化简得． …‎ ‎①当x1=x2时，则四边形ABA1B1为矩形，y2=﹣y1，则，‎ 由，得，解得，，‎ S=|AB|•|A1B|=4|x1||y1|=． …‎ ‎②当x1≠x2时，直线AB的方向向量为，‎ 直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2=0，‎ 原点O到直线AB的距离为 ‎∴△AOB的面积，‎ 根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，…‎ ‎∴‎ ‎=，∴．‎ ‎∴四边形ABA1B1的面积为定值． …‎ 解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），‎ 由，得，…‎ ‎∵点A、B在椭圆C上，所以，，‎ ‎∴=，化简得． …‎ 直线OA的方程为y1x﹣x1y=0，点B到直线OA的距离，‎ ‎△ABA1的面积，…‎ 根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|，…‎ ‎∴‎ ‎=，∴．‎ ‎∴四边形ABA1B1的面积为定值． …‎ 解法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2）‎ 由，得，…‎ ‎∵点A、B在椭圆C上，所以，，‎ ‎∴=，化简得． …‎ ‎△ABA1的面积=|x1y2﹣x2y1|，…‎ 根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|，…‎ ‎∴‎ ‎=，∴．‎ ‎∴四边形ABA1B1的面积为定值． …‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查四边形面积是否为定值的求法与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、椭圆的对称性的合理运用．‎ ‎　‎ ‎23．设复数zn=xn+i•yn，其中xnyn∈R，n∈N*，i为虚数单位，zn+1=（1+i）•zn，z1=3+4i，复数zn在复平面上对应的点为Zn．‎ ‎（1）求复数z2，z3，z4的值；‎ ‎（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求数列{xn•yn}的前102项之和．‎ ‎【考点】数列的求和；复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【专题】计算题；规律型；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件之间求解z2，z3，z4．‎ ‎（2）求出，利用复数的幂运算，求解即可．‎ ‎（3）通过，推出xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，得到xn+4yn+4=16xnyn，然后求解数列的和即可．‎ ‎【解答】本题，第1小题，第2小题，第3小题．‎ 解：（1）z2=（1+i）（3+4i）=﹣1+7i，z3=﹣8+6i，z4=﹣14﹣2i．…‎ ‎（算错一个扣，即算对一个得，算对两个得3分）‎ ‎（2）若∥，则存在实数λ，使得，故zn=λ•z1，‎ 即（xn，yn）=λ（x1，y1），…‎ 又zn+1=（1+i）zn，故，即（1+i）n﹣1=λ为实数，…‎ 故n﹣1为4的倍数，即n﹣1=4k，n=4k+1，k∈N． …‎ ‎（3）因为，故xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，…‎ 所以xn+4yn+4=16xnyn，…‎ 又x1y1=12，x2y2=﹣7，x3y3=﹣48，x4y4=28，‎ x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100‎ ‎=（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）‎ ‎=，…‎ 而，，…‎ 所以数列{xnyn}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102．…‎ ‎【点评】本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力．‎ ‎　‎