特级教师高考数学解题抓住八个环节

特级教师高考数学解题抓住八个环节

高考即将到来，全国考生及家长都在为剩下的几天冲刺而忙碌准备。在这个关键时刻，如何进行科学合理的复习就变的尤其重要。最后这个阶段是该回归课本还是做练习题？最后哪些内容是重点中的重点？该如何的分配自己的复习时间？‎ ‎　　为了帮助高考考生解答上述疑团，新浪高考频道邀请新东方中学特级教师储瑞年老师于做客新浪嘉宾聊天室，就高考数学最后冲刺备考方法、复习内容和考试技巧等内容与广大考生和考生家长进行互动交流。访谈已结束，以下为此次访谈的文字实录。‎ 主持人：各位新浪的网友大家上午好！欢迎大家来到今天的新浪嘉宾聊天室，我是主持人娄雷。您现在关注到的是我们2009年全国高考的最后冲刺辅导周的节目。今天我们共同关注的学科是数学。我们邀请的教师是新东方特级教授储瑞年老师。‎ ‎　　储瑞年：同学们好！‎ ‎　　主持人：应该说我们最后离高考还有10天左右的时间了。不管是文科生、理科生都要考数学，所以数学对我们来说非常地关键。您觉得现在这个阶段数学备考的目标是什么？‎ ‎　　储瑞年：剩下10天左右的时间，我想比较准确的目标应该是如何提高在考场上答题的成功率。因为大家都很少经历过这样的大考试，比较紧张是很自然的。剩下来的时间一定要防止给自己制定一些不太切合实际的目标。比如我听说有的同学想在短短的几天把最后的压轴题突破一下，对从来没有见过的创新性试题有所突破。或者是希望大题目在最短的时间里有明显的提高。我想这些恐怕只能增加自己的思想压力和负担。事实上我们每一个考生都应该有这样的信心，经过将近1年的总复习，又经历了前一段时间参加的模拟考试。大家对数学高考是一个什么样的考试，它提出了什么样的要求，应该如何应对、如何答题、如何想题、如何做题大家都积累了很成功的经验。关键在于，我们能不能在考场上把自己做过的、会做的题目都做对了，不要出现失误。以往很多的同学的经验教训是，谁可以把失误降低到最大的限度谁就是高考的成功者。‎ ‎　　主持人：很多的同学都想在最后的阶段做好事情对自己提高分数有好处，您觉得在接下来的时间内应该做哪些事情。‎ ‎　　储瑞年：‎ 我觉得应该是四个字：梳理、调整。所谓的梳理就是把我们前一段学习过的知识，系统地全面地整理一下，把考卷上所有的题型以及解题方法等都加以必要的梳理。另外我们在模拟考试中发现了自己的缺陷，发现了自己这样、那样的错误，这些教训如何汲取也是我们应该梳理的内容。再比如考卷的结构，经过模拟考试，虽然全国各地的考卷的结构不完全一样，但是各地的模拟考试都是针对本地的正式考卷的结构来进行考试的。所以，通过模拟考试大家对试题的结构应该说是比较清楚的。各种各样的题型都有一定的应对的策略，有一定应对的方法。所以就需要我们去梳理一下，选择题如何应对，填空题又如何应对，六个解答题当中有相对比较容易的，也就是说难度在中等或者在中等偏下的、也有中等难度的、也有高难度的。每一种不同的题我们都要有不同的方法和策略去应对，这都是我们应该在下一阶段去梳理的内容。另外一个是调整，就是调整自己的心态。刚才我们讲了经过我们自己的努力，应该相信自己已经达到了一定的水平，具有一定的实力。应对各种各样常见的问题，也就是说我们平时说的常规性问题，应该不会有很大的困难。即便是在考卷上出现我们从来没有见过的题目。但大家应该相信，这些题一般都不会是难题只要我们仔细地看题、仔细地想、周密地分析和思考，这样的题目我们是同样可以应对的。所以，相信自己的实力这就能够有利于我们调整自己的心态，避免在考场上出现忙乱、慌乱的现象。‎ ‎　主持人：您在节目中说我们在做题的过程中注意成功率，因为成功率对我们大家来说很重要，做对一道题再往下进行一道有利于我们同学们的心态。我们怎么样提高答题的正确率和成功率呢？‎ ‎　　储瑞年：好的。大家已经做过数以千计的数学题目了。我想大家都会体会到，做任何的数学题都要建立八个解题的环节。读题、审题、设计、推理、计算、画图、描述、检验等等。这八个环节说得具体一点，第一，读题一定要仔细。不少同学有这样的经验教训，因为题目没有读得非常仔细，没有把所有题目设计的条件都看清楚，就马上动笔做，结果发现做不下了，再回过头来看，发现有一个条件没有用。这就是不仔细。所以第一个环节一定要读题仔细，这花一定的时间是完全必要的。有的同学老觉得把笔停下了就浪费自己的时间，这个算法是不正确的。所以读题一定要仔细。‎ ‎　　第二个环节是审题，一定要谨慎。我们每一个同学都做了许许多多的题目。但不少同学在考场上曾经出现这样的问题。他读完了题目以后马上就反映说，这道题就是自己非常熟悉的某种题型，而自己对这样的题型采取的操作步骤非常地熟悉，马上分析了以后就着手做。但实际上往往审题的时候没有注意到卷面上出现的这个题跟你所熟悉的并不是同样的。如果审题错了，这样的题做对的可能性很小。‎ ‎　　第三个环节是设计。因为高考的数学试题，除了前一两个题目都有一定程度的综合性。所谓的综合性就是涉及的知识面比较宽，涉及的知识点比较多。而各部分知识之间的关系，有的比较明显有的比较隐蔽。面对这种条件比较复杂，因果关系不是非常明显的题目，我们怎样从总体上去把握住？然后，根据对题目的整体分析来设计自己思维和解题的步骤，这样就能够避免有的同学经常出现的，还没有完全整体想好就开始做，做着就做不下去了，再调整的时候会感觉到很困难，甚至出现很慌乱的现象。所以，尤其是对综合性很强的题目，怎样进行整体的思考和设计，这个环节非常重要。‎ ‎　　接下来数学做题是必须要做推理的。因为数学它有一个非常鲜明的特点就是严密的逻辑性。换句话说，我们数学做题的每一个步骤都必须做到言必有理、言必有据。所以在我们做题过程中，如何有效地、准确地、严密地进行推理，特别是做解答题。我们阅卷的时候就发现，有的同学因为平时做题做多了，他觉得某一个条件下一定会有某一个结果，结果就在卷面上写上“显然可以知道什么什么”的话，但实际上你一写上“显然”而字就等于你没有做这样的步骤的推理。解答题是必须按步给分的，你没有推理的过程，这个分就没有了。你明明是想对了的，但没有写出来就丢了不应该丢掉的分数。‎ ‎　　第四条是计算。因为数学题70%以上都是有计算的，计算如何保证准确？这是一个关键的问题。很多同学对计算的准确性有一个误解，认为平时做题出现结算上的错误，就是因为粗心了、慌了。到考场上细心点就不会出错。这是错误的。因为计算能否准确本身就是一个能力。所以我们在计算上应该严格要求自己，凡是在做题中出现计算错误的，一定要仔细分析究竟是什么原因，在什么环节上出现了错误，才导致最后的计算出错。所以计算要准确。‎ ‎　　接下来这个环节就是画图。因为现在大家都非常熟悉，数学思想方法中有一个叫数形结合。因为高中数学本身就是研究数量关系和空间形式，因此数与形两者的结合本身就是数学特点的体现。如何能够看到图形背后所具有的数量关系或者看到数量关系所对应的图形，往往我们在解题的过程中无论是做小题还是做大题常常都要画图。而我们现在看到同学做题的情况就发现，为了节约时间很多同学画的图都是非常非常潦草的。因此这个图无论是从形状的准确性上，还是从它的大小和数量关系上都不足以体现题目所应有的内容。因而这样的图往往起不到应该有的作用。所以我们提倡画图一定要表达题意。‎ ‎　　再接下来的环节就是表述。因为我们做题都是最后要在卷面上写出我们对题目的解题过程的。换句话说，就是要准确地用数学的语言包括文字语言的方式、图形语言的方式以及数学所特有的符号语言的方式去表述我们自己解题过程的每一个步骤。我们以往在阅卷中就发现很多同学为了节约时间，在推理、表述解题步骤的时候，自己心里很清楚前因、后果、因为、所以。但为了节约时间“因为”和“所以”都不写了，这还没有关系。但大家做题的时候常常会出现这样的情况，从条件出发推理走了两步以后，发现不知道怎么走。这就要翻回来考虑一下，为了要得到这样的结论又应该提供什么样的条件。这就是我们通常说的分析法。分析法表述的时候就是应该“要证什么什么”，“只需证什么什么”。但我们阅卷的时候发现有的同学就这几个字不写。写在前面的是结论，写在后面的是条件。如果你把前面的几个字省掉了，那么前面就变成了结论。这就是我们数学阅卷中出现的逻辑混乱，因果关系不明确。这种表述严重地影响你解答题的得分。‎ ‎　　选择填空题，特别是填空题，完全要自己独立地计算，独立地进行推理来得出最后的结果。有的填空题就写必须写出所有的选项。按照这样的要求，如果四个选项少写一个不给分，多写了一个也不给分，也错了一个也不给分，只能是不多不少完全正确这个题才有分。所以很好地看看题目在后面提出的解题要求，然后来决定怎么去表述最后得到的结果。所以无论是小题、无论是大题怎样正确地表述也是一个非常重要的环节。‎ ‎　　最后一个就是检验。很多同学都觉得这好像是无需多说的，因为这样大的考试不可能做完以后不去检查。但是我常常问同学，你们做完了题目怎么检查的呢？多数同学给我的回答是再算一遍。很多同学都有过这样的经验教训，再算一遍原来错的再算一遍还是错。这就是说我们得到了一个题目的答案以后，能不能不顺着原来走的路子去检查我们解题的过程？而通过一些其他的途径，比如我们把得到的答案带回去检验一下，可不可以？我们能不能一边做数字的计算和推理，另一边我们自己画图用图形来检验检验？这些都需要我们同学自己总结自己的经验，检验好这个环节。所以做任何的数学题这八个环节，任何一个环节出现问题都有可能影响我们的成功率。为了保证我们的成功率，每一个环节的每一个细节我们都应该在后一个阶段进行梳理的时候把它理清楚。 ‎ 主持人：储老师您能举几个例子，把上面我们说的这些怎么样一一地落实呢？‎ ‎　　储瑞年：我想举几个我觉得比较典型的题目。大家看一下这道题。‎ ‎ ‎ 例题1‎ ‎　　让回答这三个高的比值等于多少？大家马上就可以判定这是一道立体几何的题目。但马上就会又发现，题目虽然是一个立体几何涉及到几何图形的问题，但题目没有给图。这就意味着我们在解决这道题的时候是有两个环节是必不可少的。第一就是如何画出符合题意的图形，第二，如何着手进行计算。‎ ‎　　大家注意看，这道题涉及到的几何题是一个组合题。它里面包括了三个几何题。一个四棱锥、一个三棱锥还有一个三棱柱。我们很自然地考虑怎么样画这个图是先画一个三棱柱去分解，还是先画三棱锥、三棱柱组合成一个呢？这不是大家所熟悉的直三棱柱和正三棱柱。一般的三棱柱不是我们所熟悉的。所以我们马上想到的，我们首先切入的不是画这个三棱柱。反过来根据题目的叙述，四棱锥是非常熟悉的，因为它的底面是正方形，毫无疑问是一个正四棱锥，这样的正四棱锥我们是非常熟悉的，画图起来非常地顺手。而且当我们画出符合题目的四棱锥以后，你已经得到了五个顶点，而最后要拼接成一个三棱柱一共需要六个顶点，那么只缺一个顶点，只要我们把第六个顶点确定好以后，就可以画出来了。我们让它和底面的边长相等，这时候找到的顶点是第六个。再一连大家马上就发现了，的的确确拼上去的三棱锥，因为画上去的片断我们根据平行四边形的计算我们可以发现，会完全符合题意。不仅如此，我们画完图以后，三个高其中有两个高是重合在一起的。‎ ‎　　大家看图，有一条线既是三棱锥的高，又同时是三棱柱的高。这样的三个数字之比有两个是一样的，完全吻合，这样我们的分析就是对的。这样马上面临一个计算的问题。仔细看题的时候发现，题目并没有提供数据。一个已知的几何量都没有给出，而给出的都是棱与棱之间的相等关系。所以，接下来我们要完成这样一个比值的计算是不是很自然就选择一个设参随后又消参的设计。谁当仁不让很自然成为解决这个问题计算当中的参数呢？因为题目说的最终的一句话是所有棱长都相等，因此我们就选定棱长为参数a。这样就很快地完成了，这三棱长都有a来表述，再一比就可以结束了。‎ ‎　　回过头来看，这道题是立体几何的计算题。通过我们的读题和审题，我们最后的设计抓住了两个关键的环节，一个是怎样画图一个是怎样计算。而计算中间又要考虑如何从已知去进行推理的过程。这是一个我觉得很典型的例子。‎ ‎　　大家再看一个例子。 ‎ 例题2‎ ‎　　大家马上会发现，题目是要求不等式的求解问题。但由于题目中所涉及的函数并没有给出解析的函数。换句话说，我们通常把这种函数称之为抽象函数。接下来就问，当已读题审题中间已经确认这道题涉及的是抽象函数的时候，你怎样设计解题的过程。大家都有经验抽象就难，具体就容易。因而，化难为易在这道题的策略具体就表现为化抽象为具体。而如何又实现化抽象为具体呢？有两种选择，一种是选择给出一个具体的函数，也就是设计一个f(x)的解析式，再一个是画函数的图象。‎ ‎　　第一，根据奇函数的对称性是不是在左半部分是同样的走向。‎ ‎　　大家会发现，第一原点对称符合奇函数。第二，都反映是增函数。第三，通过了1、0点，又通过了-1、0点。接下来问的是我们回答的不等式的解集是不是有同样对应的几何意义呢？根据函数不等式的分子，马上就简化为2f(x)/x<0，f(x)是自变量。那么就意味着这个图象上的点其横纵坐标是异号。换句话说，这个应该出现在第二和第四象限。看着图就很快可以找到。我们可以发现在设计中如何正确地运用思维的策略正确地推理和计算。这个题用不了很长的时间很快就可以得到结果，而且保证结果的正确。我觉得这道题也是很典型的例子。‎ ‎　　希望我们接着再看一个题目。‎ 例题3‎ ‎　　这个是我们模拟考试的题。很多同学出了考场告诉我们他是这样思考的。通过读题以后，他发现题目既然告诉的是单位圆的两条弧，因此单位圆是大家非常熟悉的。但因为它不是整个的单位圆，只取两段。所以，很快就可以写出f(x)的解析式。‎ ‎　　但是，把f(x)写出来，把f(-x)的也写出来，一代入到不等式发现，你面对的是结构相当复杂的无理不等式组。换句话说，再按照解无理不等式的程序再换成后面的计算，这个运算量就太大了。这是我们说的，常常在同学解题中出现的典型“小题大作”。这是一道选择题就是我们俗称的小题。如果大家这样处理的话，就面临着烦琐的计算。因此就应该考虑一下审题的时候还注意到什么能够有效地来简化后续的计算呢？ 大家看这个图就会发现，是不是它取了一、三象限的两段图以后，就反映这个函数是奇函数。‎ ‎　　那么我们通过这样的一种分析和审视就发现，利用这个函数图象所提供给我们的信息，我们进行了这样一个简单的推理之后不是上来就着手解不等式而是先原点。接着再考虑能不能充分地利用图形也就是大家所讲的图象法很快得到这个题目的答案呢？我们把原来的图给出来以后，再画一条y=x的图象，就会发现第一和第三象限都有一部分，而且我们的选项是无须计算的，一下子就可以看出哪个是正确的。同样一个题目如果我们考虑得不够仔细，我们设计得不够周密的话，那就会小题大作。而如果我们思考地充分一些，我们把题目的特点能够看得更清楚一些，是不是后面的过程就显得非常非常简单？所以，这八个环节里，所谓的都是相互联系在一起的。需要有一个整体的审视。‎ 接下来我们再看一个问题。大家看着会觉得眼熟，这是去年北京卷填空题的最后一题。‎ ‎　　‎ 例题4‎ ‎　　这是大家非常熟悉的递推公式。在这样的前提下，里面涉及到的函数是取等函数。题目涉及到了两个问题，第一个是第六棵树的坐标，第二个是2008棵树的坐标。毫无疑问了。我们绝对不可能从x1、y1，利用递推关系推x2、y2，一直推到x2008、y2008。解决这个问题最关键的步骤就在于找到规律。那么问，你最熟悉的显示这个自变量和坐标关系，也就是数列的规律的方式是什么呢？恐怕大家很熟悉的就是能不能找到通项公式，把这个自变量代入2008一计算就可以解决。但这道题想要追求通项公式恐怕是很难做到的。那么如果通项公式不容易推出来的时候怎么办？你马上应该想到转换什么样的另外的策略设计一个什么样的另外的途径去考虑。注意，关键在于找规律。那么数列的规律除了用通项公式去反映之外还有没有其他的方式呢？我想大家都有这样的经验，如果我们发现这个数列具有周期性的特点。就意味着利用周期性很快可以推动自变量数字很大的时候所对应的数列的值。所以我们就来看看这个数列是不是的确具有周期性的特点。明确了这个方向下面我们去推理就很容易了。我们算算x2、x3。因为第一步要算x6、y6。一旦你算出来就已经会发现确有周期性，而且这个周期就是6。你做了这样的判断之后是不是接着求2008问题就非常好解决了呢？所以，类似于这样的题目我们在设计过程中最关键的一条是如何寻找规律。刚才已经说了，作为一个数列的问题寻找规律我们比较熟悉的办法是找通项公式，但是除了这个之外寻找是否具有周期性也是一个规律呢？‎ ‎　　跟这个题相类似的我们再看这道题。‎ ‎　　‎ 例题5‎ ‎　　刚才的题是问2008，这道题是问2009。问我们刚才研究的策略是不是在这个题目中依然有效。先考虑一下。这道题前面给的函数从它的叙述大家发现没发现实际上它是一个什么函数呢？注意，这是一个选择题，我们可以设定一个符合题意的特殊函数来简化后续的计算。自变量相加、函数值相乘就可以很快地确认是一个指数函数。而且它是一个减函数，这个底数的取值范围是在0到1之间。有了这样的关系以后，我们在代入到后面的递推关系式里面，一做简化大家会发现这实际上是一个等差数列。‎ ‎　　‎ ‎　　所以这两个题目都呈现了同样的特点。它的数字计算看起来很吓唬人，一个是2008一个是2009。但肯定地说它不会用这样大的数进行烦琐的运算才能得出烦琐的结果，关键是作出规律。‎ ‎　　还有一个跟大家讲的，近两年考虑到向新课程卷子过渡的问题，所以统计的内容在搞好中间有加大了考察力度的趋势。而现在我们对统计问题的处理大家比较熟悉的就是做两个特征数的计算，一个数算平均数一个是算方差。‎ ‎　　下面我们简单地看一下这样一个简单的题目。‎ ‎　　‎ 例题6‎ ‎　　为了算标准差是不是先要算平均数。这样一想，方法都会知识都掌握，但是还没落笔大家就已经开始心里发颤了，后面的运算量非常非常大。问题就在于，你看看题目给你这三张统计表，发现没发现他们都有一个共同的特点就是数据是对称的。你看7、8、9、10四个环数，假设是五箭。乙是6、4、4、6，那么一算就可以发现，一对称就是平均数为8.5了。‎ ‎　　接着，方差也好、标准差也好反映了数据的什么特征呢？就是离散的情况。那么说明什么呢？说明运动员的波动性越大稳定性越差。下面问从这三张表上来看，这三个运动员哪个运动员的稳定性最好，哪个运动员的稳定性最差？就是离开平均数波动地小就是稳定性大。那么4、6、6、4，他的波动就小。反过来乙波动的是比较大的。好了，乙波动得最大，所以它的标准差就最大。丙波动得最小，它的标准差就最小。不用计算问题就解决了。‎ ‎　　这说明我们在读题、审题的时候能不能把我们学过的数学概念结合题意来审题。不要千篇一律地处理问题，而针对问题地选择我们自己思维的策略。所以，我想这几个例子都是很典型的，是不是说明我们这八个环节大家在后一个阶段针对自己的情况好好地梳理一下，看看自己在哪个环节上还有不足，我们利用最后的一段时间来强化一下自己的薄弱环节，我想提高成功率的目标是一定可以达到的。‎ ‎　　主持人：‎ 老师，我们来回答几个同学的问题。比如说这位陕西的同学说老师我是文科生，以前许多好好学数学，所以成绩很差。我书上的习题都懂了可能是概念没有清楚，觉得现在的考试和以前没复习的时候没有什么区别。他说，高考文科考生中应该把重点放在什么地方呢？‎ ‎　　储瑞年：我想时间很紧，给这位同学就提三个字的建议：抓基础。原因是什么呢？现在的文理分科在数学高考中体现得最明显。虽然，文科生和理科生都要考数学，但文科卷和理科卷的差距是很大的。理科卷对同学的要求在理性思维上明显地高于文科生。所以文科卷的考题绝大多数是常规性的问题，也就是我们所说的基础性的问题。所以，我们把最基本的东西掌握住，文科卷上的绝大多数题看后，总会有似曾相识的感觉。只要你的基础很牢固，我想应该不会有问题。但是，如果基础上还有漏洞，那么后一个阶段是还要认真地加以对待。针对这样的情况，我给这位文科生提两点建议：第一，你要有信心，因为摆在你面前的这张考卷难度是适中的，只要基础达到一定的水平应该可以取得比较好的成绩。第二，如果基础上尚有漏洞一定要认真对待。‎ ‎　　主持人：广东的同学问，我遇到特别难的数学题的时候一点思路都没有，是不是应该放弃？‎ ‎　　储瑞年：我的意见是，说放弃这个意见是绝对化了。但我提这样的一个建议，遇到这样的个别难度比较大的选择填空题，也就是你拿到卷子从来没见过。那么这种题我建议第一你要有一定的耐心，要放慢你读题的速度，一定要把题每字每句都琢磨一下它表示的是什么意思。你对这样的题目的意思读得越清楚、越仔细，他离开你熟悉题目的距离就越拉越简单。事实上再出现这种创新性的试题，最后解决问题用到的知识依然不会超出高考规定的范围，所以一定要仔细地读题。第二，如果实在是因为时间紧了，思想压力很大，我提的第二条建议是不要过分纠缠。不要在这个题做了两三分钟了没有起色还在慢慢地琢磨。可以暂时地跳下去，等后面的题目做完了以后再回过头来想想。‎ ‎　　主持人：储老师因为时间的原因我们不能一一回答网友的问题了，您有什么再叮嘱的吗？‎ ‎　　储瑞年：还是应该调整心态，树立自己的信心。俗话讲，功夫不负有心人。我们已经投入了这么大的精力做了这么多的训练，相信自己是有一定实力的，相信自己是有一定的解题能力的。能够以这样一个比较好的心态走进考场，你的成功率已经有一半了。第二，就是要认真地面对。凡是自己在八个环节上还存在的一些缺点和遗漏，一定要利用最后一段时间好好地梳理一下，好好地填补一下。‎ ‎　　主持人：非常感谢您参加我们的在线聊天，也感谢各位网友的关注，本次聊天就到这里结束了，谢谢大家！‎