高考仿真模拟卷二
高考仿真模拟卷(二)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.集合A={1,2,3,4,5},B={1,2,3},C={z|z=xy,x∈A,y∈B},则集合C中的元素个数为( )
(A)3 (B)11 (C)8 (D)12
2.如果复数(其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于( )
(A) (B) (C)- (D)2
3.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b等于( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)5
4.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )
(A)任意一个有理数,它的平方是有理数 (B)任意一个无理数,它的平方不是有理数
(C)存在一个有理数,它的平方是有理数 (D)存在一个无理数,它的平方不是有理数
5.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|等于( )
(A) (B)6 (C)12 (D)7
6.已知三棱柱的各侧面均垂直于底面,底面为正三角形,且侧棱长与底面边长之比为2∶1,顶点都在一个球面上,若该球的表面积为π,则此三棱柱的侧面积为( )
(A) (B) (C)8 (D)6
7.已知函数f(x)=3sin （ωx-）(ω>0)和g(x)=2cos (2x+)+1的图象的对称轴完全相同,若x∈[0,],则f(x)的取值范围是( )
(A)[-3,3] (B)[-,] (C)[-,] (D)[-,3]
8.阅读如图的程序框图,若输入n=6,则输出k的值为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
9.设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为( )
(A)10 (B)8 (C)3 (D)2
10.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线是某个几何体的三视图(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆),则该几何体的表面积为( )
(A)92+14π (B)82+14π (C)92+24π (D)82+24π
第8题图
第10题图
11.已知f(x)=--m有两个不同的零点,则m的取值范围是( )
(A)(-∞,3) (B)[3,+∞) (C)(0,3) (D)(3,+∞)
12.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f′(x)满足
f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是( )
(A)f()< (B)f()>
(C)f()< (D)f()>
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.二项式(a>0)展开式中x2项的系数为15,则实数a= .
14.在1,2,3,4共4个数字中,任取两个数字(允许重复),其中一个数字是另一个数字的2倍的概率是 .
15.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=f′(1)ex-1
-f(0)x+x3,则f(x)= .
16.已知F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点,B1B2是双曲线的虚轴,M是OB1的中点,过F、M的直线交双曲线C于A,且=2,则双曲线C的离心率是 .
三、解答题(共70分)
17.(本小题满分12分)
设数列{an}为等差数列,且a3=5,a5=9;数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn+bn=2.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若cn=(n∈N*),Tn为数列{cn}的前n项和,求Tn.
18.(本小题满分12分)
某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取40件产品,测量这些产品的重量(单位:克),整理后得到如下的频率分布直方图(其中重量的分组区间分别为[490,495],(495,500],
(500,505],(505,510],(510,515]).
(1)若从这40件产品中任取两件,设X为重量超过505克的产品数量,求随机变量X的分布列;
(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取5件产品,求恰有两件产品的重量超过505克的概率(以频率作为概率).
19.(本小题满分12分)
如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角CPBA的余弦值.
20.(本小题满分12分)
如图所示,椭圆C:+=1(a>b>0),其中e=,焦距为2,过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A,B,点B在A,M之间,又AB的中点横坐标为,且=λ.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求实数λ的值.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=,x∈(-1,0)∪(0,+∞).
(1)判断函数f(x)的单调区间;
(2)若对任意的x>0,都有f(x)
0时,不等式2a-3≥f(ax)-af(x)恒成立,求实数a的取值
范围.
高考仿真模拟卷(二)
1.B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.B 10.A 11.C 12.C
13.解析:二项式(a>0)展开式的通项公式为Tr+1=x6-2r(-1)ra-r,
令6-2r=2得r=2,
则x2项的系数是a-2=15,又a>0,则a=1.
答案:1
14.解析:总共有4×4=16种排列方法,一个数字是另一个数字的2倍的所有可能情况有12、21、24、42,共4种,所以所求概率P==.
答案:
15.解析:因为f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+x3,
所以f′(x)=f′(1)ex-1-f(0)+x2,
令x=1,则f′(1)=f′(1)-f(0)+1,
所以f(0)=1,
令x=0,
所以f(0)=f′(1)e-1,
所以f′(1)=e,
所以f(x)=ex-x+x3.
答案:ex-x+x3
16.解析:由题意可知F(-c,0),不妨取M,
设A(xA,yA),
则由=2
得=2,
解得xA=,
yA=b,得A,
因为点A在双曲线上,
所以-=1,即-=1,
所以=,即=,即e2=,
所以e=.
答案:
17.解:(1)由题意可得数列{an}的公差d=(a5-a3)=2,
故a1=a3-2d=1,
故an=a1+2(n-1)=2n-1,
由Sn+bn=2可得Sn=2-bn,
当n=1时,S1=2-b1=b1,
所以b1=1,
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=2-bn-(2-bn-1),
所以bn=bn-1,
所以{bn}是以1为首项,为公比的等比数列,
所以bn=1·（）n-1=（）n-1.
(2)由(1)可知cn==(2n-1)·2n-1,
所以Tn=1·20+3·21+5·22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)·2n-1,
故2Tn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n,
两式相减可得-Tn
=1+2·21+2·22+…+2·2n-1-(2n-1)·2n
=1+2×-(2n-1)·2n
=-3+(3-2n)·2n.
所以Tn=3+(2n-3)·2n.
18.解:(1)根据频率分布直方图可知,重量超过505克的产品数量为[(0.01+0.05)×5]×40=12.
由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
(2)由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3.
设Y为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量,则Y～B(5,0.3).
故所求概率为P(Y=2)=×0.32×0.73=0.3087.
19.(1)证明:由PA垂直圆所在平面得PA⊥BC,
由AB是圆的直径得AC⊥BC,
又AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,
又BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.
(2)解:法一 过C作CM∥AP,则CM⊥平面ABC.
如图所示,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
在Rt△ABC中,因为AB=2,AC=1,
所以BC=.
因为PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).
故=(,0,0),=(0,1,1).
设平面BCP的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则所以
不妨令y1=1,则n1=(0,1,-1).
因为=(0,0,1),=(,-1,0),
设平面ABP的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则
所以
不妨令x2=1,则n2=(1,,0).
于是cos==,
所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为.
法二 过C作CM⊥AB于M,
因为PA⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,
所以PA⊥CM,
故CM⊥平面PAB.
过M作MN⊥PB于N,连接NC,
由三垂线定理得CN⊥PB,
所以∠CNM为二面角CPBA的平面角.
在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,
得BC=,CM=,BM=.
在Rt△PAB中,由AB=2,PA=1,
得PB=.
因为Rt△BNM∽Rt△BAP,
所以=,
故MN=.
又在Rt△CNM中,CN=,
故cos∠CNM=.
所以二面角CPBA的余弦值为.
20.解:(1)由条件可知c=1,a=2,
故b2=a2-c2=3,
故椭圆C的标准方程是+=1.
(2)设点A(x1,y1),点B(x2,y2).
若直线AB⊥x轴,则x1=x2=4,不合题意.
当AB所在直线l的斜率k存在时,
设直线l的方程为y=k(x-4).
由消去y得
(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.①
由①的判别式
Δ=322k4-4(4k2+3)(64k2-12)
=144(1-4k2)>0,
解得k2<,
由==可得k2=,
将k2=代入方程①得7x2-8x-8=0,
则x1=,x2=.
又因为=(4-x1,-y1),
=(x2-4,y2),=λ,
所以λ=,
所以λ=.
21.解:(1)f′(x)=,
设g(x)=-ln(x+1),
不妨令x>-1,
则g′(x)=-=,
当x∈(-1,0)时,g′(x)>0,g(x)为增函数;
当x∈(0,+∞)时,g′(x)<0,g(x)为减函数.
所以g(x)≤g(0)=0,
所以在x∈(-1,0)∪(0,+∞)时,
f′(x)<0.
所以f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)上为减函数.
(2)若x>0,f(x)0上成立,符合题意.
综上,实数k的最小值为.
22.(1)证明:因为PA是圆O的切线,
所以∠PAB=∠ACB,又∠P是公共角,
所以△ABP∽△CAP,
所以==2,
所以AC=2AB.
(2)解:由切割线定理得PA2=PB·PC,
所以PC=20,
又PB=5,
所以BC=15,
又因为AD是∠BAC的平分线,
所以==2,
所以CD=2DB,
所以CD=10,DB=5,
又由相交弦定理得
AD·DE=CD·DB=50.
23.解:(1)因为C(,)的直角坐标为(1,1),
所以圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=3.
化为极坐标方程是ρ2-2ρ(cos θ+sin θ)-1=0.
(2)将代入圆C的直角坐标方程(x-1)2+(y-1)2=3,
得(1+tcos α)2+(1+tsin α)2=3,
即t2+2t(cos α+sin α)-1=0.
所以t1+t2=-2(cos α+sin α),t1·t2=-1.
所以|AB|=|t1-t2|
=
=2.
因为α∈[0,).
所以2α∈[0,),
所以2≤|AB|<2.
即弦长|AB|的取值范围是[2,2).
24.解:(1)原不等式等价于
当x≤1时,-2x+3≤2,即≤x≤1.
当12时,2x-3≤2,即20时,f(ax)-af(x)=|ax-1|-|ax-a|=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=|a-1|,
所以2a-3≥|a-1|,
所以a≥2.
即实数a的取值范围为[2,+∞).
