20142017高考真题 选修44 坐标系与参数方程

20142017高考真题 选修44 坐标系与参数方程

选修4-4 坐标系与参数方程 考点 坐标系与参数方程 ‎1.(2014·安徽，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　)‎ A. B.2 C. D.2 ‎1.D　[由消去t得x－y－4＝0，‎ C：ρ＝4cos θ⇒ρ2＝4ρcos θ,∴C：x2＋y2＝4x,即(x－2)2＋y2＝4,∴C(2，0),r＝2.‎ ‎∴点C到直线l的距离d＝＝，∴所求弦长＝2＝2.故选D.]‎ ‎2.(2014·北京，3)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)‎ A.在直线y＝2x上 B.在直线y＝－2x上 C.在直线y＝x－1上 D.在直线y＝x＋1上 ‎2.B　[曲线(θ为参数)的普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1,该曲线为圆,圆心(－1，2)为曲线的对称中心,其在直线y＝－2x上,故选B.]‎ ‎3.(2014·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A.ρ＝，0≤θ≤B.ρ＝，0≤θ≤ C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 3. A　[∵∴y＝1－x化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝.‎ ‎∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤.故选A.]‎ ‎4.（2017•北京,11）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为________． ‎ ‎4.1 设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0， 再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1； ‎ ‎ 如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为： |AP|min=|CP|﹣rC=2﹣1=1， 故答案为：1． 5.（2017·天津,11）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________． ‎ ‎5.2 直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0展开为：4ρ +1=0，化为：2 x+2y+1=0． 圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1． ∴圆心C（0，1）到直线的距离d= = ＜1=R．∴直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2． ‎ ‎6.(2016·北京，11)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A，B两点，则|AB|＝________.‎ ‎6.2 [直线的直角坐标方程为x－y－1＝0,圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2x,即(x－1)2＋y2＝1.圆心坐标为(1，0)，半径r＝1.点(1，0)在直线x－y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2.]‎ ‎7.(2015·广东，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________.‎ ‎7.　[依题已知直线l：2ρsin＝和点A可化为l：x-y+1＝0和A(2,-2)，所以点A到直线l的距离为d＝＝.]‎ ‎8.(2015·北京，11)在极坐标系中，点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距离为________.‎ ‎8.1　[在平面直角坐标系下,点化为(1,),直线方程为：x＋y＝6,∴点(1,)到直线的距离为d＝＝＝1.]‎ ‎9.(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________.‎ ‎9.6　[由ρ＝8sin θ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝得y＝x，即x－y＝0，∴圆心(0,4)到直线y＝x的距离为2,圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝的最大距离为4＋2＝6.]‎ ‎10.(2015·重庆，15)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________.‎ ‎10.(2,π)　[直线l的直角坐标方程为y＝x＋2,由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4,直角坐标方程为x2－y2＝4,把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2,因此交点为(-2，0),其极坐标为(2,π).]‎ ‎11.（2017•新课标Ⅰ,22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）．（10分） ‎ ‎(1)若a=﹣1，求C与l的交点坐标； ‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为 ，求a． ‎ ‎11.（1）解：曲线C的参数方程为 （θ为参数），化为标准方程是： +y2=1； a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0； 联立方程 ， 解得 或 ， 所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣ ， ）． ‎ ‎（2）l的参数方程 （t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0， 椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）， 所以点P到直线l的距离d为： d= = ，φ满足tanφ= ， 又d的最大值dmax= ， 所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17， 得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17， 即a=﹣16或a=8． ‎ ‎12.（2017•新课标Ⅱ,22）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4． （Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值． ‎ ‎12.解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为：x=4， 设P（x，y），M（4，y0），则 ，∴y0= ， ∵|OM||OP|=16， ∴ =16， 即（x2+y2）（1+ ）=16， 整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）， ∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）． （Ⅱ）点A的直角坐标为A（1， ），显然点A在曲线C2上，|OA|=2， ∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d= = ， ∴△AOB的最大面积S= |OA|•（2+ ）=2+ ． ‎ ‎13.（2017•新课标Ⅲ,22）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 ，（t为参数），直线l2的参数方程为 ，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，‎ P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）写出C的普通方程； （Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径． ‎ ‎13.（Ⅰ）∵直线l1的参数方程为 ，（t为参数）， ∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①； 又直线l2的参数方程为 ，（m为参数）， 同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②； 联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4； （Ⅱ）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0， ∴其普通方程为：x+y﹣ =0， 联立 得： ， ∴ρ2=x2+y2= + =5． ∴l3与C的交点M的极径为ρ= ． 14.（2017•江苏,21C）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的参数方程为 （s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值． ‎ ‎14.直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0， ∴P到直线l的距离d= = ， ∴当s= 时，d取得最小值 = ． ‎ ‎15.(2016·全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ ‎15.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2,C1是以(0，1)为圆心,a为半径的圆.‎ 将x＝ρcos θ,y＝ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2＝0,由已知tan θ＝2,可得16cos2θ-8sin θcos θ＝0，从而1-a2＝0，解得a＝-1(舍去)，a＝1.a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.‎ 所以a＝1.‎ ‎16.(2016·全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A、B两点,|AB|＝,求l的斜率.‎ ‎16.解　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).‎ 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.所以l的斜率为或－.‎ ‎17.(2016·全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎17.解　(1)C1的普通方程为＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α).‎ 因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，‎ d(α)＝＝.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ ‎18.(2015·江苏，21)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径.‎ ‎18.解　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，‎ 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.‎ ‎19.(2015·新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy中,直线C1：x＝－2,圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.‎ ‎19.解　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0,得ρ2－3ρ＋4＝0,解得ρ1＝2,ρ2＝.故ρ1－ρ2＝,即|MN|＝.由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，‎ 所以△C2MN的面积为.‎ ‎20.(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R).‎ ‎①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.‎ ‎20.解　①消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.‎ 由ρsin＝m，得ρsin θ－ρcos θ－m＝0.‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.‎ ‎②依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即＝2，解得m＝－3±2.‎ ‎21.(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值.‎ ‎21.解　(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将代入②式，得t2＋5t＋18＝0.‎ 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ ‎22.(2014·湖北，16)已知曲线C1的参数方程是(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.则C1与C2交点的直角坐标为________.‎ ‎22.(，1)　[曲线C1为射线y＝x(x≥0).曲线C2为圆x2＋y2＝4.设P为C1与C2的交点,如图,作PQ垂直x轴于点Q.‎ 因为tan∠POQ＝，所以∠POQ＝30°，又∵OP＝2，所以C1与C2的交点P的直角坐标为(，1).]‎ ‎23.(2014·重庆，15)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.‎ ‎23.　[直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故直线l与曲线C的交点坐标为(1，2).故该点的极径ρ＝＝.]‎ ‎24.(2014·天津，13)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点.若△AOB是等边三角形，则a的值为________.‎ ‎24.3　[圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，直线的直角坐标方程为y＝a，因为△AOB为等边三角形，则A(±，a)，代入圆的方程得＋a2＝4a，故a＝3.]‎ ‎25.(2014·湖南，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________.‎ ‎25.·ρcos＝1　[曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，由直线l与曲线C相交所得的弦长|AB|＝2知，AB为圆的直径，故直线l过圆心(2，1)，注意到直线的倾斜角为，即斜率为1，从而直线l的普通方程为y＝x－1，从而其极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ－1，即·ρcos＝1.]‎ ‎26.(2014·广东，14)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________.‎ ‎26.(1，1)　[由ρsin2θ＝cos θ得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，其直角坐标方程为y2＝x，ρsin θ＝1的直角坐标方程为y＝1，由得C1和C2的交点为(1，1).]‎ ‎27.(2014·辽宁，23)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎27.解　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，‎ 依题意，得由x＋y＝1得x2＋＝1，‎ 即曲线C的方程为x2＋＝1.故C的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)由解得：或 不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝ ‎，于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝.‎ ‎28.(2014·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长.‎ ‎28.解　将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，‎ 得＝4，解得t1＝0，t2＝－8.所以|AB|＝|t1－t2|＝8.‎