2018高考数学大一轮复习升级增分训练简化解析几何运算的5个技巧文

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2018高考数学大一轮复习升级增分训练简化解析几何运算的5个技巧文

升级增分训练 简化解析几何运算的5个技巧 ‎1.(2016·四川高考)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为(  )‎ A.           B. C. D.1‎ 解析:选C 如图所示,设P(x0,y0)(y0>0),‎ 则y=2px0,‎ 即x0=.‎ 设M(x′,y′),‎ 由=2,‎ 得 化简可得 ‎∴直线OM的斜率为k===≤=(当且仅当y0=p时取等号).‎ ‎2.设双曲线+=1的一条渐近线为y=-2x,且一个焦点与抛物线y=x2的焦点相同,则此双曲线的方程为(  )‎ A.x2-5y2=1 B.5y2-x2=1‎ C.5x2-y2=1 D.y2-5x2=1‎ 解析:选D 因为x2=4y的焦点为(0,1),‎ 所以双曲线的焦点在y轴上.‎ 因为双曲线的一条渐近线为y=-2x,‎ 所以设双曲线的方程为y2-4x2=λ(λ>0),‎ 即-=1,‎ 则λ+=1,λ=,‎ 所以双曲线的方程为y2-5x2=1,故选D.‎ ‎3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),P为双曲线上任一点,且·最小值的取值范围是,则该双曲线的离心率的取值范围为(  )‎ A.(1,] B.[,2]‎ C.(0,] D.[2,+∞)‎ 解析:选B 设P(x0,y0),‎ 则·=(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)‎ ‎=x-c2+y=a2-c2+y,‎ 上式当y0=0时取得最小值a2-c2,‎ 根据已知-c2≤a2-c2≤-c2,‎ 即c2≤a2≤c2,‎ 即2≤≤4,‎ 即≤≤2,‎ 所以所求离心率的取值范围是[,2].‎ ‎4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,斜率为的直线交抛物线于A,B两点,若=λ (λ>1),则λ的值为(  )‎ A.5 B.4‎ C. D. 解析:选B 根据题意设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由=λ,‎ 得=λ,‎ 故-y1=λy2,即λ=-.‎ 设直线AB的方程为y=,‎ 联立直线与抛物线方程,‎ 消元得y2-py-p2=0.‎ 故y1+y2=p,y1y2=-p2,‎ =++2=-,‎ 即-λ-+2=-.‎ 又λ>1,解得λ=4.‎ ‎5.(2015·四川高考)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(  )‎ A.(1,3) B.(1,4)‎ C.(2,3) D.(2,4)‎ 解析:选D 设A,B,M,C(5,0)为圆心,当y1≠-y2时,kAB=,kCM=,由kAB·kCM=-1⇒y+y=24,所以M,又r2=|CM|2=4+2=10+y1y2,所以(2r2-20)2=yy,所以y,y是方程t2-24t+(2r2-20)2=0的两个不同的正根,由Δ>0得2<r<4.综上,r的取值范围是(2,4).‎ ‎6.中心为原点,一个焦点为F(0,5)的椭圆,截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为,则该椭圆方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 解析:选C 由已知得c=5,‎ 设椭圆的方程为+=1,‎ 联立 消去y得(‎10a2-450)x2-12(a2-50)x+4(a2-50)-a2(a2-50)=0,设直线y=3x-2与椭圆的交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 由根与系数关系得x1+x2=,‎ 由题意知x1+x2=1,‎ 即=1,‎ 解得a2=75,‎ 所以该椭圆方程为+=1.‎ ‎7.已知双曲线C:-y2=1,点M的坐标为(0,1).设P是双曲线C上的点,Q是点P关于原点的对称点.记λ=·,则λ的取值范围是________.‎ 解析:设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),‎ λ=· ‎=(x0,y0-1)·(-x0,-y0-1)‎ ‎=-x-y+1‎ ‎=-x+2.‎ 因为|x0|≥,‎ 所以λ的取值范围是(-∞,-1].‎ 答案:(-∞,-1]‎ ‎8.(2017·长春质检)已知AB为圆x2+y2=1的一条直径,点P为直线x-y+2=0上任意一点,则·的最小值为________.‎ 解析:由题意,设A(cos θ,sin θ),P(x,x+2),‎ 则B(-cos θ,-sin θ),‎ ‎∴=(cos θ-x,sin θ-x-2),‎ (-cos θ-x,-sin θ-x-2),‎ ‎∴· ‎=(cos θ-x)(-cos θ-x)+(sin θ-x-2)(-sin θ-x-2)‎ ‎=x2+(x+2)2-cos2θ-sin2θ ‎=2x2+4x+3‎ ‎=2(x+1)2+1,‎ 当且仅当x=-1,‎ 即P(-1,1)时,·取最小值1.‎ 答案:1‎ ‎9.设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为 B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为________.‎ 解析:由(p>0)消去t可得抛物线方程为y2=2px(p>0),∴F,|AB|=|AF|=|CF|=p,可得A(p,p).‎ 易知△AEB∽△FEC,‎ ‎∴==,‎ 故S△ACE=S△ACF=×3p×p×=p2=3,‎ ‎∴p2=6.∵p>0,∴p=.‎ 答案: ‎10.(2016·河北三市二联)已知离心率为的椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F,过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点,|AB|=.‎ ‎(1)求此椭圆的方程;‎ ‎(2)已知直线y=kx+2与椭圆交于C,D两点,若以线段CD为直径的圆过点E(-1,0),求k的值.‎ 解:(1)设焦距为‎2c,‎ ‎∵e==,a2=b2+c2,‎ ‎∴=,由题意可知=,‎ ‎∴b=1,a=,‎ ‎∴椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(2)将y=kx+2代入椭圆方程,‎ 得(1+3k2)x2+12kx+9=0,‎ 又直线与椭圆有两个交点,‎ 所以Δ=(12k)2-36(1+3k2)>0,‎ 解得k2>1.‎ 设C(x1,y1),D(x2,y2),‎ 则x1+x2=-,x1x2=,‎ 若以CD为直径的圆过E点,‎ 则·=0,‎ 即(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,‎ 而y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,‎ 则(x1+1)(x2+1)+y1y2‎ ‎=(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5‎ ‎=-+5=0,‎ 解得k=,满足k2>1.‎ ‎11.(2016·山东高考节选)平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程.‎ ‎(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.求证:点M在定直线上.‎ 解:(1)由题意知=,‎ 可得a2=4b2.‎ 因为抛物线E的焦点为F,‎ 所以b=,a=1.‎ 所以椭圆C的方程为x2+4y2=1.‎ ‎(2)证明:设P(m>0).‎ 由x2=2y,可得y′=x,‎ 所以直线l的斜率为m.‎ 因此直线l的方程为y-=m(x-m),‎ 即y=mx-.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),‎ 联立方程 得(‎4m2‎+1)x2-‎4m3‎x+m4-1=0.‎ 由Δ>0,‎ 得0<m2<2+.(*)‎ 由根与系数的关系得x1+x2=,‎ 因此x0=.‎ 将其代入y=mx-,‎ 得y0=.‎ 因为=-,‎ 所以直线OD的方程为y=-x.‎ 联立方程 得点M的纵坐标yM=-,‎ 所以点M在定直线y=-上.‎ ‎12.(2016·合肥质检)已知中心在原点,焦点在y轴上的椭圆C,其上一点P到两个焦点F1,F2的距离之和为4,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若直线y=kx+1与曲线C交于A,B两点,求△OAB面积的取值范围.‎ 解:(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),‎ 由题意可知‎2a=4,=,又a2+b2=c2,‎ 解得a=2,c=,b=1,‎ 故椭圆C的方程为+x2=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由得(k2+4)x2+2kx-3=0,‎ 故x1+x2=-,x1x2=-,①‎ 设△OAB的面积为S,‎ 由x1x2=-<0,‎ 知S=(|x1|+|x2|)=|x1-x2|‎ ‎==2,‎ 令k2+3=t,知t≥3,‎ ‎∴S=2.‎ 对函数y=t+(t≥3),知y′=1-=>0,‎ ‎∴y=t+在t∈[3,+∞)上单调递增,‎ ‎∴t+≥,‎ ‎∴0<≤,∴0<S≤,‎ 即△OAB面积的取值范围是.‎
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