黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷理科

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文档介绍

黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷理科

‎2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷(理科)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.(5分)设集合A={﹣1,0,1},B={x|2x>2},则A∩B=(  )‎ A.∅ B.{﹣1} C.{﹣1,0} D.{0,1}‎ ‎3.(5分)若x,y满足不等式组,则z=2x﹣3y的最小值为(  )‎ A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣5‎ ‎4.(5分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为e,抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),若e=p,则双曲线C的渐近线方程为(  )‎ A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x ‎5.(5分)随着计算机的出现,图标被赋予了新的含义,又有了新的用武之地.在计算机应用领域,图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标,该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形,每一个矩形的长为3、宽为1;第二部分为圆环部分,大圆半径为3,小圆半径为2;第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点,此点取自图标第三部分的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=3S2,a7=15,则{an}的公差为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎7.(5分)运行如图程序,则输出的S的值为(  )‎ A.0 B.1 C.2018 D.2017‎ ‎8.(5分)已知函数f(x)=ln(x+1)﹣ax,若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x,则实数a的值为(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2‎ ‎9.(5分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BC=CC1=1,∠AB1D=,则直线AB1与BC1所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(5分)已知函数f(x)=cosx﹣sinx在(0,α)上是单调函数,且f(α)≥﹣1,则α的取值范围为(  )‎ A.(0,] B.(0,] C.(0,] D.(0,]‎ ‎11.(5分)已知半圆C:x2+y2=1(y≥0),A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点,直线m过点B且与x轴垂直,点P在直线m上,纵坐标为t,若在半圆C上存在点Q使∠BPQ=,则t的取值范围是(  )‎ A.[﹣,0)] B.[﹣,0)∪(0,] ‎ C.[﹣,0)∪(0,] D.[﹣,0)∪(0,]‎ ‎12.(5分)在边长为2的菱形ABCD中,BD=2,将菱形ABCD沿对角线AC对折,使二面角B﹣AC﹣D的余弦值为,则所得三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为(  )‎ A. B.π C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.(5分)已知cosα=﹣,则cos2α=   .‎ ‎14.(5分)在(1+x)(2+x)5的展开式中,x3的系数为   (用数字作答).‎ ‎15.(5分)已知函数f(x)是奇函数,且0≤x1<x2时,有<1,f(﹣2)=1,则不等式x﹣3≤f(x)≤x的解集为   .‎ ‎16.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn满足,Sn=3an﹣2,数列{nan}的前n项和为Tn,则满足Tn>100的最小的n值为   .‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.‎ ‎17.(12分)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,△ABC的面积为S,且S=bccosA,C=.‎ ‎(Ⅰ)求cosB的值;‎ ‎(Ⅱ)若c=,求S的值.‎ ‎18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,∠BCD=,PA⊥BD,AB=2,PA=PD=CD=BC=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PAD⊥平面ABCD;‎ ‎(Ⅱ)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎19.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟) ‎ 平均每天锻炼的时间/分钟 ‎[0,10)‎ ‎[10,20)‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40)‎ ‎[40,50)‎ ‎[50,60)‎ 总人数 ‎20‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎10‎ 将学生日均体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“锻炼达标”.‎ ‎(Ⅰ)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表; ‎ 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 女 ‎20‎ ‎110‎ 合计 并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?‎ ‎(Ⅱ)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出10人,进行体育锻炼体会交流,‎ ‎(i)求这10人中,男生、女生各有多少人?‎ ‎(ii)从参加体会交流的10人中,随机选出2人作重点发言,记这2人中女生的人数为X,求X的分布列和数学期望.‎ 参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d 临界值表 P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20.(12分)已知O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3,直线y=﹣与椭圆C相切.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)是否存在直线l:y=k(x+c)与椭圆C相交于E,D两点,使得()<1?若存在,求k的取值范围;若不存在,请说明理由!‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣ax.‎ ‎(Ⅰ)若函数f(x)在x∈(,2)上有2个零点,求实数a的取值范围.(注e3>19)‎ ‎(Ⅱ)设g(x)=f(x)﹣ax2,若函数g(x)恰有两个不同的极值点x1,x2证明:.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ ‎22.(10分)已知曲线C1的参数方程为(α为参数),P是曲线C1上的任一点,过P作y轴的垂线,垂足为Q,线段PQ的中点的轨迹为C2.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,若直线l:sinθ﹣cosθ=交曲线C2于M,N两点,求|MN|.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ ‎23.已知函数f(x)=|x﹣2|.‎ ‎(Ⅰ)解不等式f(x)+f(2x+1)≥6;‎ ‎(Ⅱ)对a+b=1(a,b>0)及∀x∈R,不等式f(x﹣m)﹣(﹣x)≤恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有 ‎【专题】38:对应思想;4A:数学模型法;5N:数系的扩充和复数.‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.‎ ‎【解答】解:=.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.‎ ‎2.(5分)设集合A={﹣1,0,1},B={x|2x>2},则A∩B=(  )‎ A.∅ B.{﹣1} C.{﹣1,0} D.{0,1}‎ ‎【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;37:集合思想;49:综合法;5J:集合.‎ ‎【分析】可解出集合B,然后进行交集的运算即可.‎ ‎【解答】解:B={x|x>1};‎ ‎∴A∩B=∅.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】考查描述法、列举法的定义,交集的运算,空集的定义.‎ ‎3.(5分)若x,y满足不等式组,则z=2x﹣3y的最小值为(  )‎ A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣5‎ ‎【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;31:数形结合;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.‎ ‎【分析】画出不等式组表示的平面区域,平移目标函数,找出最优解,求出z的最小值.‎ ‎【解答】解:画出x,y满足不等式组表示的平面区域,‎ 如图所示;‎ 平移目标函数z=2x﹣3y知,A(2,3),B(1,0),C(0,1)‎ 当目标函数过点A时,z取得最小值,‎ ‎∴z的最小值为2×2﹣3×3=﹣5.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了简单的线性规划问题,是基本知识的考查.‎ ‎4.(5分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为e,抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),若e=p,则双曲线C的渐近线方程为(  )‎ A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x ‎【考点】KI:圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点坐标,得到双曲线的离心率,然后求解a,b关系,即可得到双曲线的渐近线方程.‎ ‎【解答】解:抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p=2,‎ 又e=p,所以e==2,可得c2=4a2=a2+b2,可得:b=a ‎,所以双曲线的渐近线方程为:y=±.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法,抛物线的简单性质的应用.‎ ‎5.(5分)随着计算机的出现,图标被赋予了新的含义,又有了新的用武之地.在计算机应用领域,图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标,该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形,每一个矩形的长为3、宽为1;第二部分为圆环部分,大圆半径为3,小圆半径为2;第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点,此点取自图标第三部分的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】CF:几何概型.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;38:对应思想;4R:转化法;5I:概率与统计.‎ ‎【分析】以面积为测度,根据几何概型的概率公式即可得到结论.‎ ‎【解答】解:图标第一部分的面积为8×3×1=24,图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32=9π,‎ 图标第三部分的面积为π×22=4π,‎ 故此点取自图标第三部分的概率为,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查几何概型的计算,关键是正确计算出阴影部分的面积,属于基础题.‎ ‎6.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=3S2,a7=15,则{an}的公差为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【考点】83:等差数列的性质.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;54:等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】根据题意,设等差数列{an}的公差为d,分析可得4a1+6d=3(2a1+d),a1+6d=15,解可得d的值,即可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,设等差数列{an}的公差为d,‎ 若S4=3S2,a7=15,则4a1+6d=3(2a1+d),a1+6d=15,‎ 解可得a1=3,d=2;‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查等差数列的前n项和,关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式,属于基础题.‎ ‎7.(5分)运行如图程序,则输出的S的值为(  )‎ A.0 B.1 C.2018 D.2017‎ ‎【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;27:图表型;4B:试验法;5K:算法和程序框图.‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.‎ ‎【解答】解:模拟程序的运行,可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2017+(sin+sin)+(sin+sin)+…+(sin+sin)的值,‎ 可得:S=2017+(sin+sin)+(sin+sin)+…+(sin+sin)=2017.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.‎ ‎8.(5分)已知函数f(x)=ln(x+1)﹣ax,若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x,则实数a的值为(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2‎ ‎【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;53:导数的综合应用.‎ ‎【分析】求出函数的导数,利用切线方程通过f′(0),求解即可;‎ ‎【解答】解:f (x)的定义域为(﹣1,+∞),‎ 因为f′(x)=﹣a,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x,‎ 可得1﹣a=2,解得a=﹣1,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用,切线方程的求法,考查计算能力.‎ ‎9.(5分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BC=CC1=1,∠AB1D=,则直线AB1与BC1所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】LM:异面直线及其所成的角.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;31:数形结合;41:向量法;5G:空间角.‎ ‎【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AB1与BC1所成角的余弦值.‎ ‎【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,‎ 设AB=a,则A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,a,1),‎ ‎=(﹣1,﹣a,﹣1),=(0,﹣a,﹣1),‎ ‎∵∠AB1D=,∴cos==,‎ 解得a=,B1(1,,1),B(1,0),C1(0,,1),‎ ‎=(0,),=(﹣1,0,1),‎ 设直线AB1与BC1所成角为θ,‎ 则cosθ===.‎ ‎∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.‎ ‎10.(5分)已知函数f(x)=cosx﹣sinx在(0,α)上是单调函数,且f(α)≥﹣1,则α的取值范围为(  )‎ A.(0,] B.(0,] C.(0,] D.(0,]‎ ‎【考点】H5:正弦函数的单调性.菁优网版权所有 ‎【专题】35:转化思想;49:综合法;56:三角函数的求值.‎ ‎【分析】利用两角和的余弦公式化简函数的解析式,利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象,可得 cos(α+)≥﹣,则 α+∈(,],由此可得α的取值范围.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=cosx﹣sinx=2cos(x+) 在(0,α)上是单调函数,∴+α≤π,∴0<α≤.‎ 又f(α)≥﹣1,即 cos(α+)≥﹣,则 α+∈(,],∴α∈(0,],‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查两角和的余弦公式,余弦函数的单调性以及余弦函数的图象,属于基础题.‎ ‎11.(5分)已知半圆C:x2+y2=1(y≥0),A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点,直线m过点B且与x轴垂直,点P在直线m上,纵坐标为t,若在半圆C上存在点Q使∠BPQ=,则t的取值范围是(  )‎ A.[﹣,0)] B.[﹣,0)∪(0,] ‎ C.[﹣,0)∪(0,] D.[﹣,0)∪(0,]‎ ‎【考点】JE:直线和圆的方程的应用.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;5B:直线与圆.‎ ‎【分析】根据题意,设PQ与x轴交于点T,分析可得在Rt△PBT中,|BT|=|PB|=|t|,分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论,分析|BT|的最值,即可得t的范围,综合可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,设PQ与x轴交于点T,则|PB|=|t|,‎ 由于BP与x轴垂直,且∠BPQ=,则在Rt△PBT中,‎ ‎|BT|=|PB|=|t|,‎ 当P在x轴上方时,PT与半圆有公共点Q,PT与半圆相切时,|BT|有最大值3,此时t有最大值,‎ 当P在x轴下方时,当Q与A重合时,|BT|有最大值2,|t|有最大值﹣,则t取得最小值﹣,‎ t=0时,P与B重合,不符合题意,‎ 则t的取值范围为[﹣,0)];‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查直线与圆方程的应用,涉及直线与圆的位置关系,属于基础题.‎ ‎12.(5分)在边长为2的菱形ABCD中,BD=2,将菱形ABCD沿对角线AC 对折,使二面角B﹣AC﹣D的余弦值为,则所得三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为(  )‎ A. B.π C. D.‎ ‎【考点】LR:球内接多面体.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;21:阅读型;35:转化思想;4A:数学模型法;5U:球.‎ ‎【分析】作出图形,利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC,BN⊥AC,可得出二面角B﹣AC﹣D的平面角为∠BND,再利用余弦定理求出BD,可知三棱锥B﹣ACD为正四面体,根据内切球的半径为其棱长的倍得出内切球的半径R,再利用球体的表面积公式可得出答案.‎ ‎【解答】解:如下图所示,‎ 易知△ABC和△ACD都是等边三角形,取AC的中点N,则DN⊥AC,BN⊥AC.‎ 所以,∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角,过点B作BO⊥DN交DN于点O,可得BO⊥平面ACD.‎ 因为在△BDN中,,所以,BD2=BN2+DN2﹣2BN•DN•cos∠BND=,‎ 则BD=2.‎ 故三棱锥A﹣BCD为正四面体,则其内切球半径.‎ 因此,三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查几何体的内切球问题,解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状,考查了二面角的定义与余弦定理,考查计算能力,属于中等题.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.(5分)已知cosα=﹣,则cos2α=  .‎ ‎【考点】GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;35:转化思想;56:三角函数的求值.‎ ‎【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解.‎ ‎【解答】解:∵cosα=﹣,‎ ‎∴cos2α=2cos2α﹣1=2×(﹣)2﹣1=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.‎ ‎14.(5分)在(1+x)(2+x)5的展开式中,x3的系数为 120 (用数字作答).‎ ‎【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;5P:二项式定理.‎ ‎【分析】根据(2+x)5的展开式的通项公式,计算在(1+x)(2+x)5的展开式中含x3的项是什么,从而求出x3的系数.‎ ‎【解答】解:(2+x)5的展开式的通项是 ‎,‎ 所以在(1+x)(2+x)5=(2+x)5+x(2+x)5的展开式中,‎ 含x3的项为,‎ 所以x3的系数为120.‎ 故答案为:120.‎ ‎【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题,也考查了逻辑推理与计算能力,是基础题目.‎ ‎15.(5分)已知函数f(x)是奇函数,且0≤x1<x2时,有<1,f(﹣2)=1,则不等式x﹣3≤f(x)≤x的解集为 [0,2] .‎ ‎【考点】3N:奇偶性与单调性的综合.菁优网版权所有 ‎【专题】35:转化思想;4M:构造法;51:函数的性质及应用.‎ ‎【分析】根据条件构造函数g(x)=f(x)﹣x,判断函数g(x)的奇偶性和单调性,结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可.‎ ‎【解答】解:由x﹣3≤f(x)≤x等价为﹣3≤f(x)﹣x≤1‎ 设g(x)=f(x)﹣x,‎ 又由函数f(x)是定义在R上的奇函数,则有f(﹣x)=﹣f(x),‎ 则有g(﹣x)=f(﹣x)﹣(﹣x)=﹣f(x)+x=﹣[f(x)﹣x]=﹣g(x),‎ 即函数g(x)为R上的奇函数,‎ 则有g(0)=0;‎ 又由对任意0≤x1<x2时,有<1,‎ 则==﹣1,‎ ‎∵<1,‎ ‎∴=﹣1<0,‎ 即g(x)在[0,+∞)上为减函数,‎ ‎∵g(x)是奇函数,‎ ‎∴g(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数,‎ ‎∵f(﹣2)=1,∴g(﹣2)=f(﹣2)﹣(﹣2)=1+2=3;‎ g(2)=﹣3,g(0)=f(0)﹣0=0,‎ 则﹣3≤f(x)﹣x≤0等价为g(2)≤g(x)≤g(0),‎ ‎∵g(x)是减函数,‎ ‎∴0≤x≤2,‎ 即不等式x﹣3≤f(x)≤x的解集为[0,2];‎ 故答案为:[0,2].‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,关键是构造函数g(x),利用特殊值转化分析不等式,利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键.‎ ‎16.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn满足,Sn=3an﹣2,数列{nan}的前n项和为Tn,则满足Tn>100的最小的n值为 7 .‎ ‎【考点】8H:数列递推式.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;54:等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】根据题意,将Sn=3an﹣2变形可得Sn﹣1=3an﹣1﹣2,两式相减变形可得2an=3an﹣1,令n=1求出a1的值,即可得数列{an}是以a1=1为首项,公比为的等比数列,即可得数列{an}的通项公式,进而可得Tn=1+2×+3×()2+……+n×()n﹣1,由错位相减法分析求出Tn的值,若Tn>100,即4+(2n﹣4)×()n>100,验证分析可得n的最小值,即可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,数列{an}满足Sn=3an﹣2,①‎ 当n≥2时,有Sn﹣1=3an﹣1﹣2,②,‎ ‎①﹣②可得:an=3an﹣3an﹣1,变形可得2an=3an﹣1,‎ 当n=1时,有S1=a1=3a1﹣2,解可得a1=1,‎ 则数列{an}是以a1=1为首项,公比为的等比数列,则an=()n﹣1,‎ 数列{nan}的前n项和为Tn,则Tn=1+2×+3×()2+……+n×()n﹣1,③‎ 则有Tn=+2×()2+3×()3+……+n×()n,④‎ ‎③﹣④可得:﹣Tn=1+()+()2+……×()n﹣1﹣n×()n=﹣2(1﹣)﹣n×()n,‎ 变形可得:Tn=4+(2n﹣4)×()n,‎ 若Tn>100,即4+(2n﹣4)×()n>100,‎ 分析可得:n≥7,故满足Tn>100的最小的n值为7;‎ 故答案为:7.‎ ‎【点评】本题考查数列的递推公式,关键是分析数列{an}的通项公式,属于基础题.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.‎ ‎17.(12分)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,△ABC的面积为S,且S=bccosA,C=.‎ ‎(Ⅰ)求cosB的值;‎ ‎(Ⅱ)若c=,求S的值.‎ ‎【考点】HP:正弦定理.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;58:解三角形.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知利用三角形面积公式可得tanA=2,利用同角三角函数基本关系式可求sinA,cosA,由三角形内角和定理,两角和的余弦函数公式可求cosB的值.‎ ‎(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求sinB,利用正弦定理可得b的值,即可得解S的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵S=bcsinA=bccosA,‎ ‎∴sinA=2cosA,可得:tanA=2,‎ ‎∵△ABC中,A为锐角,‎ 又∵sin2A+cos2A=1,‎ ‎∴可得:sinA=,cosA=,‎ 又∵C=,‎ ‎∴cosB=﹣cos(A+C)=﹣cosAcosC+sinAsinC=.‎ ‎(Ⅱ)在△ABC中,sinB==,‎ 由正弦定理,可得:b==3,‎ ‎∴S=bccosA=3.‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形面积公式,同角三角函数基本关系式,三角形内角和定理,两角和的余弦函数公式,正弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.‎ ‎18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,∠BCD=,PA⊥BD,AB=2,PA=PD=CD=BC=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PAD⊥平面ABCD;‎ ‎(Ⅱ)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎【考点】LY:平面与平面垂直;MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有 ‎【专题】14:证明题;31:数形结合;49:综合法;5G:空间角.‎ ‎【分析】(Ⅰ)推导出AD⊥BD,PA⊥BD,从而BD⊥平面PAD,由此能证明平面PAD⊥平面ABCD.‎ ‎(Ⅱ)取AD中点O,连结PO,则PO⊥AD,以O为坐标原点,以过点O且平行于BC的直线为x轴,过点O且平行于AB的直线为y轴,直线PO为z轴,建立空间直角坐标系,利用职权向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)∵AB∥CD,∠BCD=,PA=PD=CD=BC=1,‎ ‎∴BD=,∠ABC=,,∴,‎ ‎∵AB=2,∴AD=,∴AB2=AD2+BD2,∴AD⊥BD,‎ ‎∵PA⊥BD,PA∩AD=A,∴BD⊥平面PAD,‎ ‎∵BD⊂平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD.‎ 解:(Ⅱ)取AD中点O,连结PO,则PO⊥AD,且PO=,‎ 由平面PAD⊥平面ABCD,知PO⊥平面ABCD,‎ 以O为坐标原点,以过点O且平行于BC的直线为x轴,过点O且平行于AB的直线为y轴,‎ 直线PO为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则A(,0),B(,0),C(﹣,0),P(0,0,),‎ ‎=(﹣1,0,0),=(﹣,),‎ 设平面PBC的法向量=(x,y,z),‎ 则,取z=,得=(0,,),‎ ‎∵=(,﹣),‎ ‎∴cos<>==﹣,‎ ‎∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.‎ ‎【点评】本题考查面面垂直的证明,考查满足线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.‎ ‎19.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟) ‎ 平均每天锻炼的时间/分钟 ‎[0,10)‎ ‎[10,20)‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40)‎ ‎[40,50)‎ ‎[50,60)‎ 总人数 ‎20‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎10‎ 将学生日均体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“锻炼达标”.‎ ‎(Ⅰ)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表; ‎ 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 女 ‎20‎ ‎110‎ 合计 并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?‎ ‎(Ⅱ)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出10人,进行体育锻炼体会交流,‎ ‎(i)求这10人中,男生、女生各有多少人?‎ ‎(ii)从参加体会交流的10人中,随机选出2人作重点发言,记这2人中女生的人数为X,求X的分布列和数学期望.‎ 参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d 临界值表 P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【考点】BL:独立性检验;CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有 ‎【专题】49:综合法;5I:概率与统计;5O:排列组合.‎ ‎【分析】(I)列出列联表,利用独立性检验计算公式及其判定定理即可得出结论.‎ ‎(Ⅱ)(i)在“锻炼达标”的学生50中,男女生人数比为3:2,用分层抽样方法抽出10人,男生有6人,女生有4人.‎ ‎【解答】解:(I)列出列联表,‎ ‎ ‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 ‎ 60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ K2==≈6.061>5.021.‎ 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.(6分)‎ ‎(Ⅱ)(i)在“锻炼达标”的学生50中,男女生人数比为3:2,‎ 用分层抽样方法抽出10人,男生有6人,女生有4人.‎ ‎(ii)从参加体会交流的10人中,随机选出2人作重点发言,2人中女生的人数为X,则X的可能值为0,1,2.‎ 则P((X=0)==,P((X=1)==,P((X=2)==,‎ 可得X的分布列为:‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可得数学期望E(X)=0×+1×+2×=.‎ ‎【点评】本题考查了独立性检验计算公式及其原理、超几何分布列的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎20.(12分)已知O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3,直线y=﹣与椭圆C相切.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)是否存在直线l:y=k(x+c)与椭圆C相交于E,D两点,使得()<1?若存在,求k的取值范围;若不存在,请说明理由!‎ ‎【考点】KL:直线与椭圆的综合.菁优网版权所有 ‎【专题】15:综合题;38:对应思想;4R:转化法;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题意可得=3,以及直线y=﹣与椭圆C相切,可得b=,解之即得a,b,从而写出椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)联立方程组,根据韦达定理和向量的运算,即可求出k的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵在=1(a>b>0)中,令x=c,可得y=±,‎ ‎∵过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3,‎ ‎∴=3,‎ ‎∵直线y=﹣与椭圆C相切,‎ ‎∴b=,‎ ‎∴a=2‎ ‎∴a2=4,b2=3.‎ 故椭圆C的方程为+=1;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知c=1,则直线l的方程为y=k(x+1),‎ 联立,可得(4k2+3)x2+8k2x+4k2﹣12=0,‎ 则△=64k4﹣4(4k2+3)(4k2﹣12)=144(k2+1)>0,‎ ‎∴x1+x2=﹣,x1x2=,‎ ‎∴y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=﹣,‎ ‎∵()<1,‎ ‎∴•<1,‎ ‎∴(x2﹣1,y2)(x1﹣1,y1)=x1x2﹣(x1+x2)+1+y1y2<1,‎ 即++1﹣<1,‎ 整理可得k2<4,‎ 解得﹣2<k<2,‎ ‎∴直线l存在,且k的取值范围为(﹣2,2).‎ ‎【点评】本题考查了直线方程,椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法,考查了运算求解能力,转化与化归能力,属于中档题.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣ax.‎ ‎(Ⅰ)若函数f(x)在x∈(,2)上有2个零点,求实数a的取值范围.(注e3>19)‎ ‎(Ⅱ)设g(x)=f(x)﹣ax2,若函数g(x)恰有两个不同的极值点x1,x2证明:.‎ ‎【考点】6D:利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有 ‎【专题】33:函数思想;4R:转化法;53:导数的综合应用.‎ ‎【分析】(Ⅰ)问题转化为a=,令h(x)=,x∈(,2),根据函数的单调性求出a的范围即可;‎ ‎(Ⅱ)求出2a=,问题转化为证(x1﹣x2)﹣+1>0,令x1﹣x2‎ ‎=t(t<0),即证不等式t﹣et+1>0,当t<0时恒成立,设h(t)=t﹣et+1,则h′(t)=﹣[﹣(+1)],根据函数的单调性证明即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=0,得a=,‎ 令h(x)=,x∈(,2),‎ h′(x)=,‎ 故h(x)在(,1)递减,在(1,2)递增,‎ 又h()=2,h(2)=,h(1)=e,‎ 故h(2)>h(),‎ 故a∈(e,2);‎ ‎(Ⅱ)g(x)=f(x)﹣ax2=ex﹣ax﹣ax2,‎ 故g′(x)=ex﹣2ax﹣a,‎ ‎∵x1,x2是函数g(x)的两个不同的极值点(不妨设x1<x2),‎ 易知a>0(若a≤0,则函数f(x)没有或只有1个极值点,与已知矛盾),‎ 且g′(x1)=0,g′(x2)=0,故﹣2ax1﹣a=0,﹣2ax2﹣a=0,‎ 两式相减得2a=,‎ 于是要证明<ln(2a),即证明<,‎ 两边同除以,即证(x1﹣x2)>﹣1,‎ 即证(x1﹣x2)﹣+1>0,‎ 令x1﹣x2=t(t<0),‎ 即证不等式t﹣et+1>0,当t<0时恒成立,‎ 设h(t)=t﹣et+1,则h′(t)=﹣[﹣(+1)],‎ 设k(t)=﹣(+1),则k′(t)=(﹣1),‎ 当t<0时,k′(t)<0,k(t)递减,‎ 故k(t)>k(0)=0,‎ 即﹣(+1)>0,故h′(t)<0,‎ 故h(t)在t<0时递减,h(t)在t=0处取最小值h(0)=0,‎ 故h(t)>0得证,‎ 故.‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及转化思想,换元思想,是一道综合题.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ ‎22.(10分)已知曲线C1的参数方程为(α为参数),P是曲线C1上的任一点,过P作y轴的垂线,垂足为Q,线段PQ的中点的轨迹为C2.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,若直线l:sinθ﹣cosθ=交曲线C2于M,N两点,求|MN|.‎ ‎【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;5S:坐标系和参数方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用cos2α+sin2α=1消去α可得圆C1的普通方程,设PQ的中点坐标为(x,y),则P点坐标为(2x,y),将P的坐标代入C1的方程即可得;‎ ‎(Ⅱ)先把l的极坐标方程化为直角坐标方程,再代入C2的直角坐标方程可得M,N的横坐标,再根据弦长公式可得弦长|MN|.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)利用cos2α+sin2α=1消去α可得(x﹣3)2+(y﹣1)2=4,‎ 设PQ的中点坐标为(x,y),则P点坐标为(2x,y),则PQ中点的轨迹方程为(2x﹣3)2+(y﹣1)2=4.‎ ‎(Ⅱ)∵直线的直角坐标方程为y﹣x=1,‎ ‎∴联立y﹣x=1与(2x﹣3)2+(y﹣1)2=4得 x=,∴|MN|==.‎ ‎【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ ‎23.已知函数f(x)=|x﹣2|.‎ ‎(Ⅰ)解不等式f(x)+f(2x+1)≥6;‎ ‎(Ⅱ)对a+b=1(a,b>0)及∀x∈R,不等式f(x﹣m)﹣(﹣x)≤恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】3R:函数恒成立问题;R6:不等式的证明.菁优网版权所有 ‎【专题】15:综合题;35:转化思想;4R:转化法;5T:不等式.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据绝对值不等式的解法,利用分类讨论进行求解即可.‎ ‎(Ⅱ)利用1的代换,结合基本不等式先求出+的最小值是9,然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)f(x)+f(2x+1)=|x﹣2|+|2x﹣1|=‎ 当x<时,由3﹣3x≥6,解得x≤﹣1;‎ 当≤x≤2时,x+1≥6不成立;‎ 当x>2时,由3x﹣3≥6,解得x≥3.‎ 所以不等式f(x)≥6的解集为(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞).‎ ‎(Ⅱ)∵a+b=1(a,b>0),‎ ‎∴(a+b)(+)=5++≥5+2=9,‎ ‎∴对于∀x∈R,恒成立等价于:对∀x∈R,|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤9,‎ 即[|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|]max≤9‎ ‎∵|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤|(x﹣2﹣m)﹣(x+2)|=|﹣4﹣m|‎ ‎∴﹣9≤m+4≤9,‎ ‎∴﹣13≤m≤5.‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,以及不等式恒成立问题,利用1的代换结合基本不等式,将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键.‎ 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/4/17 7:49:09;用户:qgjyuser10372;邮箱:qgjyuser10372.21957750;学号:21985379‎
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