用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略

用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略

用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略 高考题中极坐标与参数方程主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。高考热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程，推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。其中以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档难度题。常以选考题的形式出现，此外在高考数学的选择题和填空题中，用参数方程与极坐标解决问题常能收到事半功倍的效果，必须引起教与学的足够。因此，对常见题型及解题策略进行探讨。‎ 一、极坐标与直角坐标的互化 ‎1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等.‎ ‎2.直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤：‎ ‎(1)运用ρ＝，tan θ＝(x≠0)；‎ ‎(2)在[0，2π)内由tan θ＝(x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置).‎ 解题时必须注意：‎ ①　 确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可.‎ ②　 平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一.当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点.‎ ③　 进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：‎ Ⅰ.注意ρ，θ的取值范围及其影响.‎ Ⅱ.重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.‎ 例如、（2015年全国卷）在直角坐标系中。直线:，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ （I） 求，的极坐标方程；‎ （II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积 解：（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为 ‎ ‎（Ⅱ）将代入，得 ‎，解得，故 ‎，即 由于的半径为1，所以的面积为 二、简单曲线的极坐标方程及应用 ‎1.求曲线的极坐标方程,就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系,然后列出方程f(ρ,θ)=0,再化简并检验特殊点.‎ ‎2.极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形.‎ ‎3.极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解,然后再转化为极坐标方程,注意方程的等价性. ‎ 例如、（2015全国卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。‎ ‎（1）求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值。‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.‎ 联立 解得 或 所以与交点的直角坐标为和 ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中 因此的极坐标为，的极坐标为 所以 当时，取得最大值，最大值为4‎ 三、简单参数方程及应用 ‎ 1.将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参,消参过程注意两点:‎ ‎① 准确把握参数形式之间的关系;‎ ‎② 注意参数取值范围对曲线形状的影响.‎ ‎ 2.已知曲线的普通方程求参数方程时,选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程.‎ ‎ 3.一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单明了.‎ 例如、（2014年全国卷）坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ 解：（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数）‎ 直线的普通方程为 ‎（Ⅱ）曲线上任意一点到的距离为 则，其中为锐角，且 当时，取得最小值，最小值为 四、参数方程与极坐标方程的综合应用 第一步:消去参数,将曲线C1的参数方程化为普通方程;‎ 第二步:将曲线C1的普通方程化为极坐标方程;‎ 第三步:将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ 第四步:将曲线C1与曲线C2的直角坐标方程联立,求得交点的直角坐标;‎ 第五步:把交点的直角坐标化为极坐标.‎ 例如、（2017年全国卷）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−=0，M为l3与C的交点，求M的极径.‎ 解：⑴将参数方程转化为一般方程 ‎ ……①‎ ‎ ……②‎ ①②消可得：‎ 即的轨迹方程为；‎ ⑵将参数方程转化为一般方程 ‎ ……③‎ 联立曲线和 解得 由解得 即的极半径是．‎ 五、极坐标方程解圆锥曲线问题 如果圆锥曲线问题中涉及到焦半径或焦点弦长时，设曲线方程为极坐标方程往往能避开繁杂的计算。‎ ‎ 例如、(2007重庆理改编)中心在原点的椭圆，点是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点使．‎ 证明：为定值，并求此定值．‎ 解 ：以点为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：，设点对应的极角为，则点与对应的极角分别为、，、与的极径就分别是 ‎ 、 与 ，‎ 因此 ‎，而在三角函数的学习中，我们知道 因此为定值 ‎ 六、参数方程解圆锥曲线问题 ‎1.参数方程思想表示普通方程中的两个变量，注意参数几何意义和取值范围。‎ ‎2.消去参数，用参数的几何意义和取值范围确定所求问题的解。‎ 例如、（2016年天津卷）设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，‎ 其中为原点，为椭圆的离心率. ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.若，且≤，求直线的斜率的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线的斜率为（），则直线的方程为 ‎.设，由方程组，消去，整理得.‎ 解得，或，由题意得，从而.‎ 由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.‎ 设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.‎ 所以，直线的斜率的取值范围为.‎