徐汇区高考数学二模试卷含答案

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徐汇区高考数学二模试卷含答案

‎2017年徐汇区高考数学二模试卷含答案 2017.4‎ 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.‎ 1. 设全集,集合,则=____________.‎ 2. 参数方程为(为参数)的曲线的焦点坐标为____________.‎ 3. 已知复数满足,则的取值范围是____________.‎ 4. 设数列的前项和为,若,则=____________.‎ 5. 若的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列,则_____.‎ 6. 把分别写在张形状大小一样的卡片上,随机抽取一张卡片,则抽到写着偶数或大于的数的卡片的概率为____________.(结果用最简分数表示)‎ 7. 若行列式中元素的代数余子式的值为,则实数的取值集合为___________.‎ 8. 满足约束条件的目标函数的最小值是____________.‎ 9. 已知函数.若函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是____________.‎ 10. 某部门有8位员工,其中6位员工的月工资分别为8200,8300,8500,9100,9500,9600(单位:元),另两位员工的月工资数据不清楚,但两人的月工资和为17000元,则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元.‎ 11. 如图:在中,为上不同于的任意一点,点满足.若,则的最小值为____________.‎ 12. 设单调函数的定义域为,值域为,如果单调函数使得函数的值域也是,‎ 则称函数是函数的一个“保值域函数”.‎ 已知定义域为的函数,函数与互为反函数,且是的一个“保值域函数”,是的一个“保值域函数”,则___________.‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.‎ 1. ‎“”是“”的( ) ‎ ‎(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 ‎(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 2. ‎《九章算术》是我国古代数学著作,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为尺,米堆的高为尺,问米堆的体积及堆放的米各为多少?”已知一斛米的体积约为立方尺,由此估算出堆放的米约有( )‎ ‎(A)斛 (B)斛 (C)斛 (D)斛 3. 将函数的图像按向量平移,得到的函数图像与函数的图像的所有交点的横坐标之和等于( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 4. 过椭圆右焦点的圆与圆外切,则该圆直径的端点的轨迹是( )‎ ‎(A)一条射线 (B)两条射线 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.‎ ‎(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)‎ 如图:在四棱锥中,⊥平面,底面是正方形,.‎ ‎(1)求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示);‎ ‎(2)若点、分别是棱和的中点,求证:⊥平面.‎ 1. ‎(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)‎ 已知函数是偶函数.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.‎ 2. ‎(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)‎ 如图所示:湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行,某一时刻,甲船在最前面的点处,乙船在中间的点处,丙船在最后面的点处,且.一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量,在同一时刻测得,.(船只与无人机的大小及其它因素忽略不计)‎ ‎(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比;‎ ‎(2)若此时甲、乙两船相距米,求无人机到丙船的距离.(精确到米)‎ ‎20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题满分5分)‎ 如图:椭圆与双曲线有相同的焦点,它们在轴右侧有两个交点、,满足.将直线左侧的椭圆部分(含,两点)记为曲线,直线右侧的双曲线部分(不含,两点)记为曲线.以为端点作一条射线,分别交于点,交于点(点在第一象限),设此时=. (1)求的方程; (2)证明:,并探索直线与斜率之间的关系;‎ ‎(3)设直线交于点,求的面积的取值范围.‎ ‎21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)‎ 现有正整数构成的数表如下: ‎ 第一行: 1‎ 第二行: 1 2‎ 第三行: 1 1 2 3‎ 第四行: 1 1 2 1 1 2 3 4‎ 第五行: 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5‎ ‎…… …… ……‎ 第行:先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,¼,直至按原序抄写第行,最后添上数.(如第四行,先抄写第一行的数1,接着按原序抄写第二行的数1,2,接着按原序抄写第三行的数1,1,2,3,最后添上数4).‎ 将按照上述方式写下的第个数记作(如,,,,¼,,¼,‎ ‎).‎ ‎(1)用表示数表第行的数的个数,求数列的前项和; (2)第8行中的数是否超过73个?若是,用表示第8行中的第73个数,试求和 的值;若不是,请说明理由; (3)令,求的值.‎ 参考答案 一、 填空题:(共54分,第1~6题每题4分;第7~12题每题5分)‎ ‎1. 2. 3. 4. 5. 6. ‎ ‎7. 8. 9. 10. 11. 12. 1 ‎ 二、 选择题:(共20分,每题5分)‎ ‎13. A 14. A 15. D 16. C ‎ 三、 解答题 ‎17、‎ 解:(1)以点A为原点,以AB方向为x轴正方向,AD方向为y轴正方向,建立空间直角坐标系,则,--------2分 所以,,--------4分 设的夹角为,‎ 则,--------5分 所以,的夹角为,‎ 即异面直线PC与AB所成角的大小为.--------6分 ‎(2)因为点、分别是棱和的中点,‎ 可得,,所以,--------8分 又,,--------10分 计算可得,--------12分 所以,,又,所以EF⊥平面PBC.--------14分 ‎18、(1) 因为函数是定义域为R的偶函数,所以有,-2分 即, ‎ 即, ------------------------------4分 故m=1. -----------------------------------------6分 ‎(2),且在上恒成立, ‎ 故原不等式等价于在上恒成立,--------------------8分 又x,所以, -------------------------------------10分 所以,----------------------------11分 从而,----------------------------12分 因此,. -------------------------------------------------------------------14分 ‎19、(1)在中,由正弦定理,得,-----------2分 在中,由正弦定理,得 ,-----------4分 ‎ 又,,--------------------------------------------6分 ‎ 故.即无人机到甲、丙两船的距离之比为.-----------------------7分 ‎(2)由得AC=400,且, ------------------------------9分 ‎ 由(1),可设AP=2x,则CP=3x, ---------------------------------------------10分 ‎ 在中,由余弦定理,得160000=(2x)2+(3x)2-2(2x)(3x)cos1200,------12分 解得x=,‎ 即无人机到丙船的距离为CP=3x=米. ----14分 ‎20、解:(1)由条件,得,根据知,F2、A、B三点共线, ‎ 且由椭圆与双曲线的对称性知,A、B关于x轴对称,‎ 故AB所在直线为x=1,从而得,.--------------2分 ‎ 所以,,又因为为双曲线的焦点,所以,‎ 解得. ---------------------------------------------------------------3分 因此,的方程为(). ------------4分 ‎(2) 由P(xp,yp)、M(xM,yM),得=(xp+1,yp),=(xM+1,yM),‎ ‎ 由条件,得,即, ---------------5分 ‎ 由P(xp,yp)、M(xM,yM)分别在曲线和上,有 ‎ ,消去yp,得 ‎ (*) ---------------7分 将代入方程(*),成立,因此(*)有一根,结合韦达定理得另一根为,因为,所以<-1,舍去.‎ 所以,. -----------------------------------------------------8分 ‎ 从而点坐标为(,),‎ ‎ 所以,直线的斜率,-------------------------------------9分 由,得M(,). ‎ 所以,直线的斜率.--------------------10分 因此,与斜率之和为零. ---------------------------------11分 ‎(3)由(2)知直线与关于x轴对称,结合椭圆的对称性知点P与点N关于x轴对称,故(,), -----------------------------12分 因此,S=´|F1F2|(|yM|+|yN|)=´2(+)‎ ‎=+,-----------14分 因为S在上单调递增, ----------------------------------15分 所以,S的取值范围是.----------------------------------------------------16分 ‎21、解:(1)当时, ‎ ‎ ,----------------------------------------------------------------2分 ‎ ,‎ ‎ 于是,即,又, ---------------------3分 ‎ 所以,‎ 故. ---------------4分 ‎(2)由得第8行中共有27=128个数,‎ 所以,第8行中的数超过73个,-------6分 ‎ ,-----7分 从而,,‎ 由26-1=63<73,27-1=127>73,‎ 所以,按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数,同上过程知=2,--------------------------------------------------------9分 ‎ 所以,. --------------------------------------------------------------10分 ‎(3)由于数表的前n行共有个数,于是,先计算.‎ ‎ 方法一:在前个数中,共有1个,2个,22个,……,2n-k个,……,2n-1个1, ---------------------------------------------------12分 ‎ 因此=n×1+(n-1)×2+…+ k×2n-k+…+2×2n-2+1×2n-1‎ ‎ 则2×=n×2+(n-1)×22+…+ k×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n ‎ 两式相减,得=+2+22+…+2n-1+2n=2n+1-n-2. ------------15分 方法二:由此数表构成的过程知,,---------------12分 则+n+2=2(+n+1),‎ 即数列{+n+2}是以S1+1+2=4为首项,2为公比的等比数列,‎ 所以+n+2=4×2n-1,即=2n+1-n-2. ------------------------------15分 S2017=+S994 -----------------------------------------------------------------16分 ‎=++S483‎ ‎=+++S228‎ ‎=++++S101‎ ‎=+++++S38‎ ‎=++++++S7‎ ‎=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5)‎ ‎=3986. ------------------------------------------------------------------------18分
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