徐汇区高考数学二模试卷含答案

徐汇区高考数学二模试卷含答案

‎2017年徐汇区高考数学二模试卷含答案 2017．4‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．‎ 1. 设全集，集合，则=____________．‎ 2. 参数方程为（为参数）的曲线的焦点坐标为____________．‎ 3. 已知复数满足，则的取值范围是____________．‎ 4. 设数列的前项和为，若，则=____________．‎ 5. 若的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则_____．‎ 6. 把分别写在张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）‎ 7. 若行列式中元素的代数余子式的值为，则实数的取值集合为___________．‎ 8. 满足约束条件的目标函数的最小值是____________．‎ 9. 已知函数．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是____________．‎ 10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．‎ 11. 如图：在中，为上不同于的任意一点，点满足．若，则的最小值为____________．‎ 12. 设单调函数的定义域为，值域为，如果单调函数使得函数的值域也是，‎ 则称函数是函数的一个“保值域函数”．‎ 已知定义域为的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保值域函数”，是的一个“保值域函数”，则___________．‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．‎ 1. ‎“”是“”的（ ） ‎ ‎（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 2. ‎《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）‎ ‎（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛 3. 将函数的图像按向量平移，得到的函数图像与函数的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 4. 过椭圆右焦点的圆与圆外切，则该圆直径的端点的轨迹是（ ）‎ ‎（A）一条射线 （B）两条射线 （C）双曲线的一支 （D）抛物线 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．‎ ‎（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 如图：在四棱锥中，⊥平面，底面是正方形，．‎ ‎（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；‎ ‎（2）若点、分别是棱和的中点，求证：⊥平面．‎ 1. ‎（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 已知函数是偶函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．‎ 2. ‎（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）‎ 如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的点处，乙船在中间的点处，丙船在最后面的点处，且．一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得，．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）‎ ‎（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；‎ ‎（2）若此时甲、乙两船相距米，求无人机到丙船的距离．（精确到米）‎ ‎20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）‎ 如图：椭圆与双曲线有相同的焦点，它们在轴右侧有两个交点、，满足．将直线左侧的椭圆部分（含,两点）记为曲线，直线右侧的双曲线部分（不含,两点）记为曲线．以为端点作一条射线，分别交于点，交于点(点在第一象限),设此时=. （1）求的方程; （2）证明:，并探索直线与斜率之间的关系;‎ ‎（3）设直线交于点，求的面积的取值范围.‎ ‎21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）‎ 现有正整数构成的数表如下： ‎ 第一行： 1‎ 第二行： 1 2‎ 第三行： 1 1 2 3‎ 第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4‎ 第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5‎ ‎…… …… ……‎ 第行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,¼,直至按原序抄写第行,最后添上数.（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.‎ 将按照上述方式写下的第个数记作(如,,,,¼,,¼,‎ ‎)．‎ ‎（1）用表示数表第行的数的个数，求数列的前项和； （2）第8行中的数是否超过73个？若是，用表示第8行中的第73个数，试求和 的值；若不是，请说明理由； （3）令，求的值．‎ 参考答案 一、 填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)‎ ‎1. 2. 3. 4. 5. 6. ‎ ‎7. 8. 9. 10. 11. 12. 1 ‎ 二、 选择题：(共20分，每题5分)‎ ‎13. A 14. A 15. D 16. C ‎ 三、 解答题 ‎17、‎ 解：（1）以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，则,--------2分 所以，,--------4分 设的夹角为，‎ 则,--------5分 所以，的夹角为，‎ 即异面直线PC与AB所成角的大小为.--------6分 ‎（2）因为点、分别是棱和的中点，‎ 可得，，所以，--------8分 又，，--------10分 计算可得，--------12分 所以，，又，所以EF⊥平面PBC.--------14分 ‎18、(1) 因为函数是定义域为R的偶函数，所以有，-2分 即， ‎ 即， ------------------------------4分 故m=1. -----------------------------------------6分 ‎(2)，且在上恒成立， ‎ 故原不等式等价于在上恒成立，--------------------8分 又x，所以， -------------------------------------10分 所以，----------------------------11分 从而，----------------------------12分 因此，. -------------------------------------------------------------------14分 ‎19、(1)在中，由正弦定理，得，-----------2分 在中，由正弦定理，得 ，-----------4分 ‎ 又，，--------------------------------------------6分 ‎ 故.即无人机到甲、丙两船的距离之比为.-----------------------7分 ‎(2)由得AC=400，且， ------------------------------9分 ‎ 由(1)，可设AP=2x，则CP=3x， ---------------------------------------------10分 ‎ 在中，由余弦定理，得160000=(2x)2+(3x)2-2(2x)(3x)cos1200，------12分 解得x=，‎ 即无人机到丙船的距离为CP=3x=米. ----14分 ‎20、解：（1）由条件，得，根据知，F2、A、B三点共线， ‎ 且由椭圆与双曲线的对称性知，A、B关于x轴对称，‎ 故AB所在直线为x=1，从而得，.--------------2分 ‎ 所以，,又因为为双曲线的焦点，所以，‎ 解得. ---------------------------------------------------------------3分 因此，的方程为(). ------------4分 ‎(2) 由P(xp,yp)、M(xM,yM)，得=(xp+1,yp)，=(xM+1,yM)，‎ ‎ 由条件，得，即， ---------------5分 ‎ 由P(xp,yp)、M(xM,yM)分别在曲线和上，有 ‎ ，消去yp，得 ‎ (*) ---------------7分 将代入方程(*)，成立，因此(*)有一根,结合韦达定理得另一根为，因为,所以<-1，舍去.‎ 所以，. -----------------------------------------------------8分 ‎ 从而点坐标为(,)，‎ ‎ 所以，直线的斜率，-------------------------------------9分 由,得M(，). ‎ 所以，直线的斜率.--------------------10分 因此，与斜率之和为零. ---------------------------------11分 ‎（3）由(2)知直线与关于x轴对称，结合椭圆的对称性知点P与点N关于x轴对称，故(,), -----------------------------12分 因此，S=´|F1F2|(|yM|+|yN|)=´2(+)‎ ‎=+，-----------14分 因为S在上单调递增, ----------------------------------15分 所以,S的取值范围是.----------------------------------------------------16分 ‎21、解：（1）当时， ‎ ‎ ，----------------------------------------------------------------2分 ‎ ，‎ ‎ 于是，即，又， ---------------------3分 ‎ 所以，‎ 故. ---------------4分 ‎（2）由得第8行中共有27=128个数，‎ 所以，第8行中的数超过73个，-------6分 ‎ ，-----7分 从而，，‎ 由26-1=63<73，27-1=127>73，‎ 所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知=2，--------------------------------------------------------9分 ‎ 所以，. --------------------------------------------------------------10分 ‎（3）由于数表的前n行共有个数，于是，先计算.‎ ‎ 方法一：在前个数中，共有1个，2个，22个，……，2n-k个，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分 ‎ 因此=n×1+(n-1)×2+…+ k×2n-k+…+2×2n-2+1×2n-1‎ ‎ 则2×=n×2+(n-1)×22+…+ k×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n ‎ 两式相减，得=+2+22+…+2n-1+2n＝2n+1-n-2. ------------15分 方法二：由此数表构成的过程知，，---------------12分 则+n+2=2(+n+1)，‎ 即数列{+n+2}是以S1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列,‎ 所以+n+2＝4×2n-1，即=2n+1-n-2. ------------------------------15分 S2017=+S994 -----------------------------------------------------------------16分 ‎=++S483‎ ‎=+++S228‎ ‎＝++++S101‎ ‎=+++++S38‎ ‎=++++++S7‎ ‎=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5)‎ ‎=3986. ------------------------------------------------------------------------18分