厚积薄发高考数学四十一讲导数的概念及其运算

厚积薄发高考数学四十一讲导数的概念及其运算

第三十七讲 导数的概念及其运算 一、引言 ‎1.导数它既是研究函数性态的有力工具，又是进行理性思维训练的良好素材．导数的概念与几何意义，及导数的运算是每年高考的重点考查内容之一．‎ ‎2.考纲要求：理解导数概念及其几何意义，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．‎ ‎3.考情分析：预测2010年高考命题对本专题内容的考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，重点考查导数的几何意义和切线问题．‎ 二、考点梳理 ‎1．导数的概念：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，函数相应地有增量，如果当时，有极限，称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或．即．‎ ‎2．导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点处的切线的斜率是．相应地，切线方程为．‎ ‎3．导数的运算：‎ ‎（1）基本函数的导数公式：；；；‎ ‎；；；；．‎ ‎(2)导数的运算法则：‎ 设均可导，则 ‎；；‎ ‎（C为常数）；‎ ‎(3)复合函数的导数：设均可导，则复合函数 可导，且 三、典型例题选讲 例1（北京卷）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则　　　　；　　　　．（用数字作答）‎ 分析：本题的极限式为导数的定义公式的变形，因此结合导数定义公式进行合理变形是解决问题的突破口．‎ 解：由图形可知，，‎ ‎．‎ 归纳小结：(1)本题考查了函数的表示形式，导数的概念和几何意义等知识点，以及数学转化能力及分析问题和解决问题的能力．‎ ‎(2)解决此类问题的关键是分析解析式的结构和特征，合理进行转化．利用导数的概念公式，，并结合其几何意义为曲线在点处的切线的斜率．‎ ‎（3）本题常见的变形结构：、等代数式的值．解决此类问题的关键是力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式．‎ 如：；‎ ‎.‎ 例2 求函数的导数：‎ ‎；　　　　；‎ ‎；　　　　．‎ 分析：解答本题的突破口是要分析函数解析式的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数．‎ 解：（1）‎ ‎（2）.‎ ‎∴；‎ ‎（3）令，，，‎ ‎∴‎ ‎；‎ ‎（4）∵，‎ ‎∴‎ 归纳小结：（1）本题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法和代数式等价化简的运算能力．‎ ‎（2）对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．‎ 对复合函数求导，必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，再按照复合函数求导法则进行求导．‎ ‎（3）对复杂函数的求导时，函数的解析式能化简的要尽量化简，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导前，先用代数、三角恒等变形对函数解析式进行化简，然后再用函数的四则运算法则的求导公式求导数．‎ 例3 某日中午时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，则当日时分时两船之距离对时间的变化率是_______________．‎ 分析：由题意知，，且相对时间的导数就是变化率的极限是瞬时速度．因此只需求函数在时的导数值．‎ 解：设小时后两船距离为，则有.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎∴答案为.‎ 归纳小结：（1）本题考查了导数的几何意义解决物理问题，能正确了解导数的某些实际背景，熟练运用复合函数的求导法则，而且考查了数学转化和建模思想，及用导数知识处理实际问题的能力．‎ ‎（2）导数在实际问题中有着广泛的应用，如位移相对时间的导数是表示时刻处的瞬时速度，即；而速度相对时间的导数就是时刻处的加速度，即．‎ 例4（江苏）在平面直角坐标系中，点在曲线：上，且在第二象限内，已知曲线在点处的切线的斜率为，则点的坐标为 　 .‎ 分析：利用点处的切线的斜率，且即可解出，从而解出点的坐标．‎ 解：∵，∴.‎ ‎∵点在第二象限内，∴.‎ ‎∴点的坐标为.‎ 归纳小结：（1）本题考查了复杂函数的求导方法和导数的四则运算法则，对函数解析式的分析和观察能力和恒等变形、灵活计算的能力有较高的要求．‎ ‎（2）导数的几何意义是：曲线在点处的切线斜率为，这是考查的重点内容之一．‎ 例5（2007年海南、宁夏）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）‎ A． B．　　　　C．　　　　D．‎ 分析：根据导数的几何意义可以得到切线方程，从而求出切线与坐标轴的交点，利用所围三角形为直角三角形，求出三角形面积．‎ 解：∵曲线在切点的切线的斜率为，‎ ‎∴切线方程为.‎ 当时，切线与轴交于点；当时，切线与轴交于点．‎ 所以切线与坐标轴所围三角形面积为．‎ 归纳小结：（1）本题考查了曲线的切线方程，并将导数的运算与几何图形的切线、面积进行综合，考查了数学知识的迁移能力和数形结合思想．‎ ‎（2）求曲线的切线方程的步骤是：①求导数；②求斜率；③写出切线方程．‎ 例6 过点作抛物线的切线，则其中一条切线为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 分析：若切点，则根据导数的几何意义是函数在切点处切线的斜率，因此求出切点的横坐标为解决问题的突破口．‎ 解：设切点坐标为，则切线的斜率为，所以切线方程为，因为点在切线上，所以，化简得，可解得或．当时，，切线方程为；当时，，切线方程为．故选D．‎ 归纳小结：（1）本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，深刻理解曲线的切线的定义及导数的几何意义是解答本题的关键．‎ ‎（2）要注意的是，当函数在处不可导时，曲线在该点处并不一定没有切线，同时切线的斜率是应是在切点处的导数，而点不在曲线上，故当切点未知时，应先设切点，再求斜率，写出切线的方程．‎ 例7 已知抛物线：和：，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线．若和有且仅有一条公切线，求的值，并写出此公切线的方程．‎ 分析：由于未知切点，因此应先设出切点，并分别求出曲线和的切线方程，利用两条切线重合时的切线是公切线，求出切点的横坐标，从而解决问题．‎ 解：设抛物线上的切点为，‎ 则在点处切线的斜率为，‎ 所以抛物线在点处的切线方程是：.‎ 即…………………①‎ 同理，设曲线上的切点为，‎ 则曲线在点处的切线方程是………………②‎ 如果直线是过和的公切线，则①式和②式都是的方程，则 消去得方程.‎ 若判别式时，即时，得，此时点和 重合．‎ 即当时，和有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为．‎ 归纳小结：（1）本题主要考查导数、切线等知识，同时考查了数学转化思想和综合运用数学知识解决问题的能力．‎ ‎（2）本题的特点是主要是新定义了概念，在新定义的概念背景下解决问题．其解决方法是对新概念“曲线和的公切线”进行充分的分析，从中找出关键信息进行再加工，从而合理地进行问题的转化.‎ 例8 已知函数为偶函数，它的图象过点，且在处的切线方程为，求函数的解析式．‎ 解：∵函数图象过点，∴.‎ ‎∵函数是偶函数，∴.‎ ‎∴，即.‎ ‎∴，∴.‎ 当，，对于直线可得，即切点为.‎ ‎∴点也在函数图象上，即.‎ 由，解得.‎ ‎∴.‎ 归纳小结：（1）本题考查了函数几何意义的逆向运用，以及奇偶函数的概念和切点坐标的使用，对数学逆向运用能力和迁移能力也进行了考查．‎ ‎（2）一般地说，奇（偶）函数是多项式时，奇函数的偶次项系数为，偶函数的奇次项系数为.‎ 要注意切点的位置，既在切线上又在曲线上，所以其坐标满足直线和曲线方程，也是本题建立关于参数的方程组，求出参数的值的突破口．‎ 例9（全国Ⅱ）已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：‎ ‎．‎ 分析：第（1）利用导数的几何意义可以解出．第（2）问过点可作曲线的三条切线，则有三个切点，即第（1）问的切线方程有三个根，因此问题转化为对切线方程根的个数的讨论．‎ 解：（1）求函数的导数：．‎ 曲线在点处的切线方程为：，‎ 即．‎ ‎（2）如果有一条切线过点，则存在，使．‎ 于是，若过点可作曲线的三条切线，‎ 则方程有三个相异的实数根．‎ 记，则.‎ 当变化时，变化情况如下表：‎ 由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；‎ 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；‎ 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．‎ 综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 即．‎ 归纳小结：（1）本题考查了导数的几何意义，方程的根的的个数讨论，极值等知识，考查了分类讨论和数形结合思想，分析解决综合问题的能力．‎ ‎（2）利用图形考查方程根的个数问题是一种常见的考题形式，只要转化为函数的极值与轴的相对位置即可．‎ 四、本专题小结 ‎1．导数是函数在点处的瞬时变化率，它反映的是函数在点处的变化的快慢速度，它的几何意义是曲线上点处的切线的斜率．因此，如果在点处可导，则曲线在点处的切线方程为；‎ ‎2．熟记导数的四则运算法则、基本函数的导数公式、复合函数的求导法则；‎ ‎3．在对函数求导时应尽可能先化简，再求导．对复合函数进行求导时，关键是分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，正确地求出导数；‎ ‎4．导数在实际问题中有着广泛的应用，要熟练运用导数的几何意义解决具有实际意义的物理问题．‎