高考解析数学理科分项版之专题五平面向量教师版

高考解析数学理科分项版之专题五平面向量教师版

‎2009年高考解析数学(理科）分项版之专题五平面向量教师版 ‎【考查要点】w 纵观近几年高考题，对平面向量的考查主要从三个方面入手：‎ ‎⑴向量的基本概念与运算，如向量的线性运算、坐标运算、共线定理、数量积运算、几何意义、模与夹角、平行线、垂直等问题.高考对这方面的考查往往以难度不大的小题形式出现，偶尔也有新颖题出现；‎ ‎⑵向量的工具作用，这是向量的一个主要命题方向，高考试题以向量为载体，考查解析几何、三角函数、曲线与方程等问题.这种题型的题目由于综合性比较强，多以大题甚至压轴题的形式出现.‎ ‎⑶正余弦定理，一般融入三角函数、向量中，考查三角形的有关知识.‎ 整个向量在高考中的分值一般在5左右.三角函数题在近几年的高考试题中有向解三角形拓展的趋向，一般为容易题，安排在解答题的前两题.‎ ‎【名师解题指南】‎ 1、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。‎ 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，实数与向量的乘积：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)=‎ ‎(λμ) 两个向量的数量积：·=·；(λ)·=·(λ)=λ(·)，(+)·=·+· 说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)2= 1、 重要定理、公式 ‎ （1）平面向量基本定理；如果+是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量， （3）两个向量垂直的充要条件 语言：⊥·=0‎ 坐标语言：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0‎ ‎ （4）线段定比分点公式 如图，设 则定比分点向量式： 定比分点坐标式：设P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）‎ 则特例：当λ=1时，就得到中点公式： ， 实际上，对于起点相同，终点共线三个向量，，（O与P1P2不共线），总有=u+v，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。‎ ‎ （5）平移公式：‎ ① 点平移公式，如果点P（x，y）按=（h，k）平移至P’（x’，y’），则 分别称（x，y），（x’，y’）为旧、新坐标，为平移法则 ‎【09真题全解全析】‎ 考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积. ‎ ‎1.（2009北京卷理）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 （ ）‎ ‎ A．且c与d同向 B．且c与d反向 ‎ C．且c与d同向 D．且c与d反向 ‎2.(2009湖北卷理)已知是两个向量集合，则 A．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝‎ ‎3（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为 ‎ A. 6 B. ‎2 C. D. ‎ ‎4.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 ‎ （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 ‎ ‎（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心 ‎（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）‎ ‎5.(2009湖南卷理)对于非0向时a,b,“a//b”的正确是 （A）‎ A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，则，反之不一定成立 ‎【考点定位】本题考查向量共线的充要条件 ‎7.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　　）‎ A. B. C. D.‎ 答案：B。‎ ‎【解析】:因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。‎ ‎【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答。‎ ‎8天津理 边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD 的面积是 ‎ ‎1.（2009全国卷Ⅰ理）设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为 ( D )‎ ‎（A） （B） （C） (D)‎ ‎2（2009江西卷理）已知向量，，，若∥，则= ．‎ ‎3福建（理），，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，，，则的值一定等于 A. 以，为两边的三角形的面积 B. 以，为两边的三角形的面积 C. 以，为邻边的平行四边形的面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积 ‎【答案】C ‎【解析】，，故选C.‎ 考点3：向量的模与角的计算。‎ ‎1（浙江卷理）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) . ‎ A． B． C． D．‎ ‎4.（2009重庆卷理）已知，则向量与向量的夹角是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为由条件得 A ‎ B ‎ C ‎ P ‎ 第7题图 ‎ ‎5（2009广东卷理）若平面向量，满足，平行于轴，，则 ‎ ‎【解析】或，则 或.‎ ‎6（2009江苏卷）已知向量和向量的夹角为，，‎ 则向量和向量的数量积= 。‎ ‎【解析】 考查数量积的运算。 ‎ 考点4：与三角综合 ‎1江苏15．（本题满分14分）设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，2（广东理）(本小题满分12分）已知向量与互相垂直，其中．（1）求和的值；（2）若，求的值． ‎ ‎3(湖南理)（本小题满分12分）在，已知，求角A，B，C的大小。‎ 解：设由得，所以又 ‎【09命题特点与10备考要点】‎ ‎09命题特点 ‎“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．‎ 透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积．‎ ‎2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义．3．两非零向量平行、垂直的充要条件．‎ ‎4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．‎ ‎10备考要点 数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。‎ 学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。‎ ‎1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 ‎（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定；‎ ‎（2）两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而×是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；‎ ‎（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若¹0，且×=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；‎ ‎（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c。但是×= ×；‎ 如右图：×= |||cosb = |||OA|，×c = ||c|cosa = |||OA|Þ× =×，但 ¹；‎ ‎ (5)在实数中，有(×) = (×)，但是(×)¹ (×)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。‎ ‎2．平面向量数量积的运算律 特别注意：‎ ‎（1）结合律不成立：；‎ ‎（2）消去律不成立不能得到；‎ ‎（3）=0不能得到=或=。‎ ‎3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；‎ ‎4．注重数学思想方法的教学 ‎①．数形结合的思想方法。‎ 由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。‎ ‎②．化归转化的思想方法。‎ 向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。‎ ‎③．分类讨论的思想方法。‎ 如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。‎ ‎5．突出向量与其它数学知识的交汇 ‎“新课程增加了新的现代数学内容，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是引入新的思维方法，可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题”。因此，新课程卷中有些问题属于新教材与旧教材的结合部，凡涉及此类问题，高考命题都采用了新旧结合，以新带旧或以新方法解决的方法进行处理，从中启示我们在高考学习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞”。我们可以预测近两年向量高考题的难度不会也不应该上升到压轴题的水平。‎