2020高考数学二轮复习 专题一 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质学案

2020高考数学二轮复习 专题一 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质学案

1 第 1 讲　三角函数的图象与性质 [考情考向分析]　1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查 三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力， 是高考的必考点． 热点一　三角函数的概念、诱导公式及同角关系式 1．三角函数：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin α＝y，cos α ＝x，tan α＝ y x(x≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余 弦． 2．同角基本关系式：sin2α＋cos2α＝1， sin α cos α＝tan α(α ≠ kπ＋ π 2 ，k ∈ Z). 3．诱导公式：在 kπ 2 ＋α，k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 例 1　(1)已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(2，1)， 则 tan (2α＋ π 4 )等于(　　) A．－7 B．－ 1 7 C. 1 7 D．7 答案　A 解析　由角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(2,1)，可 得 x＝2，y＝1，tan α＝ y x＝ 1 2，∴tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α＝ 1 1－ 1 4 ＝ 4 3， ∴tan(2α＋ π 4 )＝ tan 2α＋tan π 4 1－tan 2αtan π 4 ＝ 4 3＋1 1－ 4 3 × 1 ＝－7. (2)已知曲线 f(x)＝x3－2x2－x 在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为 α，则 cos2(π 2 ＋α)－ 2cos2α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为(　　) A. 8 5 B．－ 4 5 C. 4 3 D．－ 2 3 答案　A 2 解析　由 f(x)＝x3－2x2－x 可知 f′(x)＝3x2－4x－1， ∴tan α＝f′(1)＝－2， cos2(π 2 ＋α)－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α) ＝(－sin α)2－2cos2α－3sin αcos α ＝sin2α－2cos2α－3sin αcos α ＝ sin2α－2cos2α－3sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ tan2α－3tan α－2 tan2α＋1 ＝ 4＋6－2 5 ＝ 8 5. 思维升华　(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角 函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无 关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程 要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 跟踪演练 1　(1)在平面直角坐标系中，若角 α 的终边经过点 P(sin 5π 3 ，cos 5π 3 )，则 sin(π ＋α)等于(　　) A．－ 3 2 B．－ 1 2 C. 1 2 D. 3 2 答案　B 解析　由诱导公式可得， sin 5π 3 ＝sin(2π－ π 3 )＝－sin π 3 ＝－ 3 2 ， cos 5π 3 ＝cos(2π－ π 3 )＝cos π 3 ＝ 1 2， 即 P(－ 3 2 ， 1 2)， 由三角函数的定义可得，sin α＝ 1 2 (－ 3 2 )2＋(1 2 )2 ＝ 1 2， 则 sin(π＋α)＝－sin α＝－ 1 2. 3 (2)已知 sin(3π＋α)＝2sin(3π 2 ＋α)，则 sin(π－α)－4sin(π 2 ＋α) 5sin(2π＋α)＋2cos(2π－α)等于(　　) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 6 D．－ 1 6 答案　D 解析　∵sin(3π＋α)＝2sin(3π 2 ＋α)， ∴－sin α＝－2cos α，即 sin α＝2cos α， 则 sin(π－α)－4sin(π 2 ＋α) 5sin(2π＋α)＋2cos(2π－α)＝ sin α－4cos α 5sin α＋2cos α ＝ 2cos α－4cos α 10cos α＋2cos α＝ －2 12 ＝－ 1 6. 热点二　三角函数的图象及应用 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图： 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0， π 2 ，π， 3π 2 ，2π，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线可 得． (2)图象变换： (先平移后伸缩)y＝sin x ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →向左(φ > 0)或向右(φ < 0) 平移|φ|个单位长度 y＝sin(x＋φ) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→横坐标变为原来的 1 ω(ω > 0)倍 纵坐标不变 y＝sin(ωx＋φ) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→纵坐标变为原来的A(A > 0)倍 横坐标不变 y＝Asin(ωx＋φ)． (先伸缩后平移)y＝sin x ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →横坐标变为原来的 1 ω(ω > 0)倍 纵坐标不变 y＝sin ωx ― ― ― ― ― ― ―→向左(φ > 0)或右(φ < 0) 平移 |φ| ω 个单位长度 y＝sin(ωx＋φ) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →纵坐标变为原来的A(A > 0)倍 横坐标不变 y＝Asin(ωx＋φ)． 例 2　(1)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋ π 3 )(ω>0)的最小正周期为 π，为了得到函数 g(x)＝cos ωx 的图象，只要将 y＝f(x)的图象(　　) 4 A．向左平移 π 12个单位长度 B．向右平移 π 12个单位长度 C．向左平移 5π 12 个单位长度 D．向右平移 5π 12 个单位长度 答案　A 解析　由题意知，函数 f(x)的最小正周期 T＝π， 所以 ω＝2，即 f(x)＝sin(2x＋ π 3 )，g(x)＝cos 2x. 把 g(x)＝cos 2x 变形得 g(x)＝sin(2x＋ π 2 )＝sin[2(x＋ π 12)＋ π 3 ]，所以只要将 f(x)的图象 向左平移 π 12个单位长度，即可得到 g(x)＝cos 2x 的图象，故选 A. (2)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω > 0，|φ| < π)的部分图象如图所示，将函数 f(x)的图 象向右平移 5π 12 个单位长度后得到函数 g(x)的图象，若函数 g(x)在区间[－ π 6 ，θ]上的值域 为[－1,2]，则 θ＝________. 答案　 π 3 解析　函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω > 0，|φ| < π)的部分图象如题图所示， 则 A＝2， T 2＝ 13π 12 － 7π 12 ＝ π 2 ，解得 T＝π， 所以 ω＝2，即 f(x)＝2sin(2x＋φ)， 当 x＝ 7 12π，f (7π 12 )＝2sin(2 × 7π 12 ＋φ)＝2， ∴ 7π 6 ＋φ＝ π 2 ＋2kπ，k∈Z，∴φ＝－ 2 3π＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<π，解得 φ＝－ 2π 3 ， 所以 f(x)＝2sin(2x－ 2π 3 )， 5 因为函数 f(x)的图象向右平移 5π 12 个单位长度后得到函数 g(x)的图象， 所以 g(x)＝2sin[2(x－ 5π 12 )－ 2π 3 ]＝2cos 2x， 若函数 g(x)在区间[－ π 6 ，θ]上的值域为[－1,2]， 则 2cos 2θ＝－1，则 θ＝kπ＋ π 3 ，k∈Z 或 θ＝kπ＋ 2π 3 ，k∈Z， 所以 θ＝ π 3 . 思维升华　(1)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数 法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ω；确定 φ 常根据“五点法” 中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的 位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变 量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方 向． 跟踪演练 2　(1)若将函数 y＝cos ωx(ω>0)的图象向右平移 π 3 个单位长度后与函数 y＝sin ωx 的图象重合，则 ω 的最小值为(　　) A. 1 2 B. 3 2 C. 5 2 D. 7 2 答案　B 解析　将函数 y＝cos ωx(ω>0)的图象向右平移 π 3 个单位长度后得到函数的解析式为 y＝cos ω (x－ π 3 )＝cos(ωx－ ωπ 3 ). ∵平移后得到的函数图象与函数 y＝sin ωx 的图象重合， ∴－ ωπ 3 ＝2kπ－ π 2 (k∈Z)，即 ω＝－6k＋ 3 2(k∈Z)． ∴当 k＝0 时，ω＝ 3 2. (2)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A > 0，ω > 0，|φ| < π 2 )的部分图象如图所示，则 ω＝ ________；函数 f(x)在区间[π 3 ，π]上的零点为________． 6 答案　2　 7π 12 解析　从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为 π 3 ，－ π 6 ，从而求得函 数的最小正周期为 T＝2[π 3 －(－ π 6 )]＝π，根据 T＝ 2π ω 可求得 ω＝2.再结合题中的条件可 以求得函数的解析式为 f(x)＝2sin(2x－ π 6 )，令 2x－ π 6 ＝kπ(k∈Z)，解得 x＝ kπ 2 ＋ π 12 (k∈Z)，结合所给的区间，整理得出 x＝ 7π 12 . 热点三　三角函数的性质 1．三角函数的单调区间 y ＝ sin x 的 单 调 递 增 区 间 是 [2kπ－ π 2 ，2kπ＋ π 2 ](k∈Z) ， 单 调 递 减 区 间 是 [2kπ＋ π 2 ，2kπ＋ 3π 2 ](k∈Z)； y＝cos x 的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2 kπ，2kπ＋ π](k∈Z)； y＝tan x 的单调递增区间是(kπ－ π 2 ，kπ＋ π 2 )(k∈Z)． 2．y＝Asin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数； 当 φ＝kπ＋ π 2 (k∈Z)时为偶函数； 对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ＋ π 2 (k∈Z)求得． y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ＋ π 2 (k∈Z)时为奇函数； 当 φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数； 对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得． y＝Atan(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数． 例 3　(2017·浙江)已知函数 f(x)＝sin2x－cos2x－2 3sin xcos x(x∈R)． 7 (1)求 f (2π 3 )的值； (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间． 解　(1)由 sin 2π 3 ＝ 3 2 ，cos 2π 3 ＝－ 1 2，得 f (2π 3 )＝( 3 2 )2－(－ 1 2 )2－2 3× 3 2 ×(－ 1 2 )＝2. (2)由 cos 2x＝cos2x－sin2x 与 sin 2x＝2sin xcos x 得， f(x)＝－cos 2x－ 3sin 2x＝－2sin(2x＋ π 6 ). 所以 f(x)的最小正周期是 π. 由正弦函数的性质得， π 2 ＋2kπ≤2x＋ π 6 ≤ 3π 2 ＋2kπ，k∈Z， 解得 π 6 ＋kπ≤x≤ 2π 3 ＋kπ，k∈Z. 所以 f(x)的单调递增区间为[π 6 ＋kπ， 2π 3 ＋kπ](k∈Z)． 思维升华　函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用类题目的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的 形式； 第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的单调性 及奇偶性、最值、对称性等问题． 跟踪演练 3　(2018·宁波模拟)已知函数 f(x)＝2sin xcos x＋1－2sin2 x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间[－ π 3 ， π 4 ]上的最大值与最小值． 解　(1)因为 f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝ 2sin(2x＋ π 4 )， 所以 f(x)的最小正周期为 π. (2)因为－ π 3 ≤x≤ π 4 ， 所以－ 5π 12 ≤2x＋ π 4 ≤ 3π 4 . 当 2x＋ π 4 ＝ π 2 ，即 x＝ π 8 时，f(x)取得最大值 2； 当 2x＋ π 4 ＝－ 5π 12 ，即 x＝－ π 3 时， 8 f (－ π 3 )＝sin(－ 2π 3 )＋cos(－ 2π 3 )＝－ 3＋1 2 ， 即 f(x)的最小值为－ 3＋1 2 . 真题体验 1．(2018·全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝2sin x＋sin 2x，则 f(x)的最小值是________． 答案　－ 3 3 2 解析　f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1) ＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)． ∵cos x＋1≥0， ∴当－1≤cos x< 1 2时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 1 20，f(x)单调递增， ∴当 cos x＝ 1 2时，f(x)有最小值． 又 f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)， ∴当 sin x＝－ 3 2 时，f(x)有最小值， 即 f(x)min＝2×(－ 3 2 )×(1＋ 1 2 )＝－ 3 3 2 . 2．(2018·全国Ⅱ改编 )若 f(x)＝cos x－sin x 在[－a，a]上是减函数，则 a 的最大值是 ________． 答案　 π 4 解析　f(x)＝cos x－sin x ＝－ 2(sin x· 2 2 －cos x· 2 2 ) ＝－ 2sin(x－ π 4 )， 当 x∈[－ π 4 ， 3π 4 ]，即 x－ π 4 ∈[－ π 2 ， π 2 ]时， y＝sin (x－ π 4 )单调递增， f(x)＝－ 2sin (x－ π 4 )单调递减． 9 ∵函数 f(x)在[－a，a]上是减函数， ∴[－a，a]⊆[－ π 4 ， 3π 4 ]， ∴00)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π 2 .为了 得到函数 g(x)＝cos ωx 的图象，只要将 y＝f(x)的图象(　　) A．向左平移 3π 20 个单位长度 B．向右平移 3π 20 个单位长度 C．向左平移 π 5 个单位长度 D．向右平移 π 5 个单位长度 押题依据　本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性， 考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错． 答案　A 解析　由于函数 f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π 2 ，则其最小正周期 T＝π， 所以 ω＝ 2π T ＝2，即 f(x)＝sin(2x＋ π 5 )，g(x)＝cos 2x. 把 g(x)＝cos 2x 变形得 g(x)＝sin(2x＋ π 2 )＝sin[2(x＋ 3π 20 )＋ π 5 ]，所以要得到函数 g(x)的 图象，只要将 f(x)的图象向左平移 3π 20 个单位长度即可．故选 A. 2.如图，函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A > 0，ω > 0，|φ| ≤ π 2 )与坐标轴的三个交点 P，Q，R 满足 P(2,0)，∠PQR＝ π 4 ，M 为 QR 的中点，PM＝2 5，则 A 的值为(　　) A. 8 3 3 B. 16 3 3 C．8 D．16 押题依据　由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求 A，考查数 形结合思想． 答案　B 解析　由题意设 Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)． 11 则 M(a 2，－ a 2)，由两点间距离公式，得 PM＝ (2－ a 2 )2＋(a 2 )2＝2 5， 解得 a1＝8，a2＝－4(舍去)， 由此得 T 2＝8－2＝6，即 T＝12，故 ω＝ π 6 ， 由 P(2,0)得 φ＝－ π 3 ， 代入 f(x)＝Asin(ωx＋φ)， 得 f(x)＝Asin(π 6 x－ π 3 )， 从而 f(0)＝Asin(－ π 3 )＝－8， 得 A＝ 16 3 3. 3．已知函数 f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x. (1)若 x 是某三角形的一个内角，且 f(x)＝－ 2 2 ，求角 x 的大小； (2)当 x∈[0， π 2 ]时，求 f(x)的最小值及取得最小值时 x 的值． 押题依据　三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或 对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角 恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区 间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式． 解　(1)∵f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x ＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin 2x ＝cos 2x－sin 2x ＝ 2( 2 2 cos 2x－ 2 2 sin 2x) ＝ 2cos(2x＋ π 4 )， ∴f(x)＝ 2cos(2x＋ π 4 )＝－ 2 2 ， 可得 cos(2x＋ π 4 )＝－ 1 2. 由题意可得 x∈(0，π)， 12 ∴2x＋ π 4 ∈(π 4 ， 9π 4 )， 可得 2x＋ π 4 ＝ 2π 3 或 4π 3 ， ∴x＝ 5π 24 或 13π 24 . (2)∵x∈[0， π 2 ]，∴2x＋ π 4 ∈[π 4 ， 5π 4 ]， ∴cos(2x＋ π 4 )∈[－1， 2 2 ]， ∴f(x)＝ 2cos(2x＋ π 4 )∈[－ 2，1]． ∴f(x)的最小值为－ 2，此时 2x＋ π 4 ＝π， 即 x＝ 3π 8 . A 组　专题通关 1．函数 y＝sin x(cos x－sin x)，x∈R 的值域是(　　) A.[－ 1 2， 3 2] B.[1－ 2 2 ， 1＋ 2 2 ] C.[－ 3 2， 1 2] D.[－1－ 2 2 ， －1＋ 2 2 ] 答案　D 解析　y＝sin xcos x－sin2x＝ 1 2sin 2x－ 1－cos 2x 2 ＝－ 1 2＋ 2 2 sin(2x＋ π 4 )∈[－1－ 2 2 ， －1＋ 2 2 ]， 故选 D. 2．(2018·浙江金华十校联考)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋ π 3 )(x∈R，ω>0)与 g(x)＝cos(2x ＋φ)的对称轴完全相同．为了得到 h(x)＝cos (ωx＋ π 3 )的图象，只需将 y＝f(x)的图象 (　　) A．向左平移 π 4 个单位长度 13 B．向右平移 π 4 个单位长度 C．向左平移 π 2 个单位长度 D．向右平移 π 2 个单位长度 答案　A 解析　由 ωx＋ π 3 ＝ π 2 ＋k1π，k1∈Z 得函数 f(x)的对称轴为 x＝ π 6ω＋ k1π ω ，k1∈Z，由 2x＋ φ＝k2π，k2∈Z 得函数 g(x)的对称轴为 x＝－ φ 2 ＋ k2π 2 ，k2∈Z.因为两函数的对称轴完全相 同，所以Error!解得Error!则 f(x)＝sin(2x＋ π 3 )，h(x)＝cos(2x＋ π 3 )，将函数 f(x)＝sin (2x＋ π 3 )的图象向左平移 π 4 个单位长度后得到的函数解析式为 y＝sin[2(x＋ π 4 )＋ π 3 ]＝sin (2x＋ π 2 ＋ π 3 )＝cos(2x＋ π 3 )，故选 A. 3.(2018· 浙 江 省 金 丽 衢 十 二 校 联 考 ) 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ) (A > 0，ω > 0，|φ| < π 2 )的图象如图所示，则 φ 等于(　　) A．－ π 3 B．－ π 6 C. π 6 D. π 3 答案　B 解析　由题图易得函数 f(x)的最小正周期为 2π ω ＝2[π 3 －(－ π 6 )]，解得 ω＝2，则 f(x)＝ Asin(2x＋φ)，又因为当 x＝ π 3 时，f(x)取得最大值，所以 2× π 3 ＋φ＝ π 2 ＋2kπ，k∈Z， 解得 φ＝－ π 6 ＋2kπ，k∈Z，又因为|φ|< π 2 ，所以 φ＝－ π 6 ，故选 B. 4．(2018·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)设函数 f(x)＝sin2x＋acos x＋b 在[0， π 2 ]上 的最大值是 M，最小值是 m，则 M－m(　　) A．与 a 有关，且与 b 有关 14 B．与 a 有关，且与 b 无关 C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，且与 b 有关 答案　B 解析　令 t＝cos x，则 g(t)＝－t2＋at＋b＋1(0≤t≤1)，由题意得，①当 a 2<0，即 a<0 时， g(0)为最大值，g(1)为最小值，此时 M－m＝1－a；②当 a 2>1，即 a>2 时，g(0)为最小值，g(1) 为最大值，此时 M－m＝a－1;③当 1 2≤ a 2≤1，即 1≤a≤2 时，M 取 g(a 2 )，m 取 g(0)，此时 M－m＝ a2 4 ；④当 0≤ a 2< 1 2，即 0≤a<1 时，M 取 g(a 2 )，m 取 g(1)，此时 M－m＝ a2 4 ＋1－a.综 上所述，M－m 与 a 有关，但与 b 无关，故选 B. 5．函数 f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωx(ω>0)图象的相邻对称轴之间的距离为 π 2 ，则下列结论 正确的是(　　) A．f(x)的最大值为 1 B．f(x)的图象关于直线 x＝ 5π 12 对称 C．f (x＋ π 2 )的一个零点为 x＝－ π 3 D．f(x)在区间[π 3 ， π 2 ]上单调递减 答案　D 解析　因为 f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωx＝2sin (ωx＋ π 6 )的相邻的对称轴之间的距离为 π 2 ， 所以 2π ω ＝π，得 ω＝2，即 f(x)＝2sin(2x＋ π 6 )， 所以 f(x)的最大值为 2，所以 A 错误； 当 x＝ 5π 12 时，2x＋ π 6 ＝π，所以 f (5π 12 )＝0， 所以 x＝ 5π 12 不是函数图象的对称轴，所以 B 错误； 由 f (x＋ π 2 )＝2sin[2(x＋ π 2 )＋ π 6 ] ＝－2sin(2x＋ π 6 )， 当 x＝－ π 3 时，f (x＋ π 2 )＝2≠0， 15 所以 x＝－ π 3 不是函数的一个零点，所以 C 错误； 当 x∈[π 3 ， π 2 ]时，2x＋ π 6 ∈[5π 6 ， 7π 6 ]，f(x)单调递减，所以 D 正确． 6．(2018·浙江省金华十校模拟)在平面直角坐标系中，角 α 的顶点与坐标原点重合，始边 与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 P(－ 3，－1)，则 tan α＝________，cos α＋sin(α－ π 2 ) ＝________. 答案　 3 3 　0 解析　∵角 α 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 P(－ 3，－ 1)， ∴x＝－ 3，y＝－1， ∴tan α＝ y x＝ 3 3 ， cos α＋sin(α－ π 2 )＝cos α－cos α＝0. 7．已知 tan α＝2，则 sin22α－2cos22α sin 4α ＝________. 答案　 1 12 解析　∵tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α＝－ 4 3， ∴ sin22α－2cos22α sin 4α ＝ sin22α－2cos22α 2sin 2αcos 2α ＝ tan22α－2 2tan 2α ＝ 16 9 －2 2 × (－ 4 3 )＝ 1 12. 8．(2017·全国Ⅱ)函数 f(x)＝sin2x＋ 3cos x－ 3 4(x ∈ [0， π 2 ])的最大值是________． 答案　1 解析　f(x)＝1－cos2x＋ 3cos x－ 3 4 ＝－(cos x－ 3 2 )2＋1. ∵x∈[0， π 2 ]，∴cos x∈[0,1]， ∴当 cos x＝ 3 2 时，f(x)取得最大值，最大值为 1. 16 9．设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x－π)＝f(x)－sin x，当－π0≥f (7π 12 )或 f (π 6 )＝0 时，函数 f(x)有且只有一个零点， 即 sin 4π 3 ≤－b－ 3 2 0，|φ| ≤ π 2 )，其图象与直线 y＝3 相邻两 个交点的距离为 π，若 f(x)>2 对任意 x∈(π 24， π 3 )恒成立，则 φ 的取值范围是(　　) A.(π 6 ， π 2 ) B.[π 6 ， π 3 ] C.(π 12， π 3 ) D.[π 12， π 6 ] 答案　D 解析　因为函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1(ω > 0，|φ| ≤ π 2 )，其图象与直线 y＝3 相邻 两个交点的距离为 π，所以函数的周期为 T＝π，ω＝2， 当 x∈(π 24， π 3 )时，2x＋φ∈(π 12＋φ， 2π 3 ＋φ)， 且|φ|≤ π 2 ， 由 f(x)>2 知，sin(2x＋φ)> 1 2， 所以Error!解得 π 12≤φ≤ π 6 . 13．已知 2sin αtan α＝3，且 0<α<π. (1)求 α 的值； (2)求函数 f(x)＝4cos xcos(x－α)在[0， π 4 ]的值域． 解　(1)由已知得 2sin2α＝3cos α， 则 2cos2α＋3cos α－2＝0， 所以 cos α＝ 1 2或 cos α＝－2(舍)， 又因为 0<α<π，所以 α＝ π 3 . (2)由(1)得 f(x)＝4cos xcos(x－ π 3 ) 19 ＝4cos x(1 2cos x＋ 3 2 sin x) ＝2cos2x＋2 3sin xcos x ＝1＋cos 2x＋ 3sin 2x ＝1＋2sin(2x＋ π 6 )， 由 0≤x≤ π 4 ，得 π 6 ≤2x＋ π 6 ≤ 2π 3 ， 所以当 x＝0 时，f(x)取得最小值 f(0)＝2， 当 x＝ π 6 时，f(x)取得最大值 f(π 6 )＝3， 所以函数 f(x)在[0， π 4 ]上的值域为[2,3]． 14．已知 a>0，函数 f(x)＝－2asin(2x＋ π 6 )＋2a＋b，当 x∈[0， π 2 ]时，－5≤f(x)≤1. (1)求常数 a，b 的值； (2)设 g(x)＝f (x＋ π 2 )且 lg g(x)>0，求 g(x)的单调区间． 解　(1)∵x∈[0， π 2 ]， ∴2x＋ π 6 ∈[π 6 ， 7π 6 ]. ∴sin(2x＋ π 6 )∈[－ 1 2，1]， ∴－2asin(2x＋ π 6 )∈[－2a，a]． ∴f(x)∈[b,3a＋b]， 又∵－5≤f(x)≤1， ∴b＝－5,3a＋b＝1， 因此 a＝2，b＝－5. (2)由(1)得 f(x)＝－4sin(2x＋ π 6 )－1， ∴g(x)＝f (x＋ π 2 )＝－4sin(2x＋ 7π 6 )－1 ＝4sin(2x＋ π 6 )－1. 又由 lg g(x)>0，得 g(x)>1， ∴4sin(2x＋ π 6 )－1>1， 20 ∴sin(2x＋ π 6 )> 1 2， ∴2kπ＋ π 6 <2x＋ π 6 <2kπ＋ 5π 6 ，k∈Z， 其中当 2kπ＋ π 6 <2x＋ π 6 ≤2kπ＋ π 2 ，k∈Z， 即 kπ

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