高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解

高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解

高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解 一、选择题 ‎1．(文)(2010·东北师大附中)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是(　　)‎ A．－4　　 　 B．4　　　　‎ C．－2　 　　 D．2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　a在b方向上的投影为 ＝＝－4.‎ ‎(理)(2010·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于(　　)‎ A. B. C. D.或 ‎[答案]　B ‎[解析]　由条件知，＝2，＝1，a·b＝4，‎ ‎∴|a|＝4，|b|＝2，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝，‎ ‎∴〈a，b〉＝.‎ ‎2．(文)(2010·云南省统考)设e1，e2是相互垂直的单位向量，并且向量a＝3e1＋2e2，b＝xe1＋3e2，如果a⊥b，那么实数x等于(　　)‎ A．－ B. ‎ C．－2 D．2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由条件知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，‎ ‎∴a·b＝3x＋6＝0，∴x＝－2.‎ ‎(理)(2010·四川广元市质检)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t、k∈R)，则m⊥n的充要条件是(　　)‎ A．t＋k＝1 B．t－k＝1‎ C．t·k＝1 D．t－k＝0‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　m＝ta＋b＝(2t－1，t＋2)，n＝a－kb＝(2＋k,1－2k)，∵m⊥n，∴m·n＝(2t－1)(2＋k)＋(t＋2)(1－2k)＝5t－5k＝0，∴t－k＝0.‎ ‎3．(文)(2010·湖南理)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)‎ A．－16 B．－8 ‎ C．8 D．16‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　因为∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝(＋)·＝||2＋·＝AC2＝16.‎ ‎(理)(2010·天津文)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝(　　)‎ A．2 B. ‎ C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　∵＝＋＝＋，‎ ‎∴·＝(＋)·＝·＋·，‎ 又∵AB⊥AD，∴·＝0，‎ ‎∴·＝·＝||·||·cos∠ADB ‎＝||·cos∠ADB＝·||＝.‎ ‎4．(2010·湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝(　　)‎ A．150° B．120°‎ C．60° D．30°‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵a＋b＝c，|a|＝|b|＝|c|≠0，‎ ‎∴|a＋b|2＝|c|2＝|a|2，∴|b|2＋‎2a·b＝0，‎ ‎∴|b|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝0，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝－，‎ ‎∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.‎ ‎5．(2010·四川双流县质检)已知点P在直线AB上，点O不在直线AB上，且存在实数t满足＝2t＋t，则＝(　　)‎ A. B. ‎ C．2 D．3‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵＝2t(－)＋t，‎ ‎∴＝＋，‎ ‎∵P在直线AB上，∴＋＝1，∴t＝1，‎ ‎∴＝＋，‎ ‎∴＝－＝－，‎ ＝－＝－＝－2，‎ ‎∴＝.‎ ‎6．(文)平面上的向量、满足||2＋||2＝4，且·＝0，若向量＝＋，则||的最大值是(　　)‎ A. B．1 ‎ C．2 D. ‎[答案]　D ‎[解析]　∵·＝0，∴⊥，又∵||2＋||2＝4，‎ ‎∴|AB|＝2，且M在以AB为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系，则点A(－1,0)，点B(1,0)，设点M(x，y)，则x2＋y2＝1，‎ ＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，‎ ‎∵＝＋＝，‎ ‎∴||2＝2＋y2＝－x，‎ ‎∵－1≤x≤1，∴x＝－1时，||2取得最大值为，‎ ‎∴||的最大值是.‎ ‎(理)(2010·山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则·的最大值为(　　)‎ A．8 B．6 ‎ C．5 D．4‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　建立直角坐标系如图，∵正方形ABCD边长为2，‎ ‎∴A(0,0)，N(2，－1)，＝(2，－1)，设M坐标为(x，y)，＝(x，y)由坐标系可知 ‎∵·＝2x－y，设2x－y＝z，‎ 易知，当x＝2，y＝－2时，z取最大值6，‎ ‎∴·的最大值为6，故选B.‎ ‎7．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则·等于(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　·＝·(－)＝·－·，因为OA＝OB.所以在上的投影为||，所以·＝||·||＝2，同理·＝||·||＝，故·＝－2＝.‎ ‎8．(文)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则向量a与向量b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　根据向量夹角公式“cos〈a，b〉＝求解”．‎ 由条件得a·b－a2＝－1，即a·b＝－3，设向量a，b的夹角为α，则cosα＝＝＝，所以α＝.‎ ‎(理)(2010·黑龙江哈三中)在△ABC中，·∈，其面积S＝，则与夹角的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　设〈，〉＝α，∵·＝||·||cosα，S＝||·||·sin(π－α)＝||·||·sinα＝，∴||·||＝，‎ ‎∴·＝＝cotα，‎ 由条件知≤cotα≤，∴1≤cotα≤，‎ ‎∵·>0，∴α为锐角，∴≤α≤.‎ ‎9．(文)(2010·云南省统考)如果A是抛物线x2＝4y的顶点，过点D(0,4)的直线l交抛物线x2＝4y于B、C两点，那么·等于(　　)‎ A. B．0‎ C．－3 D．－ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知A(0,0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线l：y＝kx＋4，‎ 由消去y得，x2－4kx－16＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，‎ ‎∴y1·y2＝(kx1＋4)(kx2＋4)＝k2x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝－16k2＋16k2＋16＝16，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎(理)(2010·南昌市模考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且＝2，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则·的值是(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．不确定 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵＝2，∴＝，‎ ‎∴||＝||＝，‎ ·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋)·(－)‎ ‎＝||2－||2＝－1＝－.‎ ‎10．(2010·福建莆田一中)设O为坐标原点，A(1,1)，若点B(x，y)满足，则·取得最小值时，点 B的个数是(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．无数个 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵x2＋y2－2x－2y＋1＝0，‎ 即(x－1)2＋(y－1)2＝1.‎ ‎∴可行域为图中阴影部分，‎ ‎∵·＝||·||·cos〈，〉，又||为定值，∴当·cos〈，〉取最小值时，·取最小值，∵y＝cosx在上为减函数，∴由图可知，当点B在E、F位置时，∠AOB最大，||最小，从而·取最小值，故选B.‎ ‎[点评]　可用数量积的坐标表示求解，设B(x，y)，令·＝x＋y＝t，则y＝－x＋t，当直线y＝－x＋t过B1、B2两点时，t最小，即tmin＝3.∴当·取得最小值时，点B的个数为2.‎ 二、填空题 ‎11．(2010·苏北四市)如图，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(＋)·(＋)＝______.‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　设AC与BD相交于点O，则 ‎(＋)·(＋)‎ ‎＝[(－)＋(－)]·(＋)‎ ‎＝[(－)＋(－)]·(＋)‎ ‎＝(＋)(＋)＝||2－||2＝5.‎ ‎12．(文)(2010·江苏洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若||＝7，||＝5，则·(－)的值为________．‎ ‎[答案]　12‎ ‎[解析]　＝＋，＝＋，‎ 由条件知，||2＝49，||2＝25，||＝||，‎ ‎∴|＋|2＝|＋|2，‎ 即||2＋||2＋2·＝||2＋||2＋2·，∴·(－)＝－12，‎ ‎∴·(－)＝12.‎ ‎(理)(2010·广东茂名市)O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足＝＋λ(＋)，则λ＝时，·(＋)的值为______．‎ ‎[答案]　0‎ ‎[解析]　由已知得－＝λ(＋)，‎ 即＝λ(＋)，‎ 当λ＝时，得＝(＋)，‎ ‎∴2＝＋，即－＝－，‎ ‎∴＝，∴＋＝＋＝0，‎ ‎∴·(＋)＝·0＝0，故填0.‎ ‎13．(2010·安徽巢湖市质检)已知A1，A2分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，P是过左焦点F且垂直于A‎1A2的直线l上的一点，则·＝________.‎ ‎[答案]　－20‎ ‎[解析]　由条件知A1(－5,0)，A2(5,0)，F(－3,0)，设P(－3，y0)，则＝(10,0)，＝(－2，－y0)，‎ ‎∴·＝－20.‎ ‎14．(2010·福建厦门质检)已知向量an＝(cos，sin)(n∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2的最大值为________．‎ ‎[答案]　284‎ ‎[解析]　∵|b|＝1，∴设b＝(cosθ，sinθ)，‎ ‎∵an2＝cos2＋sin2＝1(n∈N)，‎ an·b＝coscosθ＋sinsinθ，‎ ‎∴y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋…＋|a141＋b|2‎ ‎＝(|a1|2＋|a2|2＋…＋|a141|2)＋141|b|2＋2(a1·b＋a2·b＋…＋an·b)‎ ‎＝282＋2cosθcos＋cos＋…＋cos＋2sinθ ‎＝282＋2cosθcos＋2sinθsin ‎＝282＋2cos≤284.‎ 三、解答题 ‎15．(山东省潍坊市质检)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－，x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；‎ ‎(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝，f(C)＝0，若向量m ‎＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．‎ ‎[解析]　(1)因为f(x)＝sin2x－－ ‎＝sin(2x－)－1，‎ 所以f(x)的最小值是－2，最小正周期是T＝＝π.‎ ‎(2)由题意得f(C)＝sin(‎2C－)－1＝0，‎ 则sin(‎2C－)＝1，‎ ‎∵0

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