（新课标）天津市2020年高考数学二轮复习 专题能力训练11 等差数列与等比数列 理

（新课标）天津市2020年高考数学二轮复习 专题能力训练11 等差数列与等比数列 理

专题能力训练11　等差数列与等比数列 一、能力突破训练 ‎1.在等差数列{an}中,a4+a10+a16=30,则a18‎-2a14的值为 (　　)‎ A.20 B.‎-20 ‎C.10 D.-10‎ ‎2.在各项均为正数的等比数列{an}中,若log2(a2·a3·a5·a7·a8)=5,则a1·a9=(　　)‎ A.4 B‎.5 ‎C.2 D.25‎ ‎3.设{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,则S101的值为(　　)‎ A.2 B‎.200 ‎C.-2 D.0‎ ‎4.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则(　　)‎ A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0‎ C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0‎ ‎5.已知数列{an}满足,且a2=2,则a4等于 (　　)‎ A.- B‎.23 ‎C.12 D.11‎ ‎6.已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=40,则a3·a8的最大值为　　　　　. ‎ ‎7.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a‎1a2…an的最大值为　　　　　. ‎ ‎8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且成等差数列,则=　　　　　. ‎ ‎9.已知Sn为数列{an}的前n项和,且a2+S2=31,an+1=3an-2n(n∈N*).‎ 8‎ ‎(1)求证:{an-2n}为等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎10.(2018全国Ⅱ,理17)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ ‎11.已知数列{an}是等比数列.设a2=2,a5=16.‎ ‎(1)若a1+a2+…+a2n=t(+…+),n∈N*,求实数t的值;‎ ‎(2)若在之间插入k个数b1,b2,…,bk,使得,b1,b2,…,bk,成等差数列,求k的值.‎ 8‎ 二、思维提升训练 ‎12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是(　　)‎ A.440 B‎.330 ‎C.220 D.110‎ ‎13.若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=+…+等于(　　)‎ A.1- B.‎ C.1- D.‎ ‎14.已知等比数列{an}的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,若A≤Sn-≤B对n∈N*恒成立,则B-A的最小值为　　　　　. ‎ ‎15.无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为　　　　　. ‎ ‎16.等比数列{an}的各项均为正数,且‎2a1+‎3a2=1,=‎9a2a6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=log‎3a1+log‎3a2+…+log3an,求数列的前n项和.‎ 8‎ ‎17.若数列{an}是公差为正数的等差数列,且对任意n∈N*有an·Sn=2n3-n2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)是否存在数列{bn},使得数列{anbn}的前n项和为An=5+(2n-3)2n-1(n∈N*)?若存在,求出数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn;若不存在,请说明理由.‎ 8‎ 专题能力训练11　等差数列与等比数列 一、能力突破训练 ‎1.D　解析 因为a4+a10+a16=30,所以‎3a10=30,即a10=10,所以a18‎-2a14=-a10=-10.故选D.‎ ‎2.A　解析 由题意得log2(a2·a3·a5·a7·a8)=log2=5log‎2a5=5,所以a5=2.所以a1·a9==4.故选A.‎ ‎3.A　解析 设公比为q,∵an+2an+1+an+2=0,‎ ‎∴a1+‎2a2+a3=0,∴a1+‎2a1q+a1q2=0,‎ ‎∴q2+2q+1=0,∴q=-1.‎ 又a1=2,∴S101==2.‎ ‎4.B　解析 设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.‎ ‎∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即‎3a1d+5d2=0.‎ ‎∵d≠0,‎ ‎∴a1d=-d2<0,且a1=-d.‎ ‎∵dS4==2d(‎2a1+3d)=-d2<0,故选B.‎ ‎5.D　解析 由已知得=2,则{an+1}是公比为2的等比数列,所以a4+1=(a2+1)·22=12.所以a4=11.故选D.‎ ‎6.16　解析 因为S10==40⇒a1+a10=a3+a8=8,a3>0,a8>0,所以a3·a8=16,当且仅当a3=a8=4时取等号.‎ ‎7.64　解析 由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,‎ 两式相除得,‎ 解得q=,a1=8,‎ 所以a‎1a2…an=8n,抛物线f(n)=-n2+n的对称轴为n=-=3.5,‎ 8‎ 又n∈N*,所以当n=3或4时,a‎1a2…an取最大值为=26=64.‎ ‎8　解析 由题意知 解得xz=y2=y2,x+z=y,‎ 从而-2=-2=‎ ‎9.(1)证明 由an+1=3an-2n可得 an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·2n=3(an-2n).‎ 又a2=‎3a1-2,则S2=a1+a2=‎4a1-2,‎ 得a2+S2=‎7a1-4=31,得a1=5,则a1-21=3≠0.‎ 故{an-2n}为等比数列.‎ ‎(2)解 由(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n,∴an=2n+3n,‎ ‎∴Sn==2n+1+‎ ‎10.解 (1)设{an}的公差为d,由题意得‎3a1+3d=-15.‎ 由a1=-7得d=2.‎ 所以{an}的通项公式为an=2n-9.‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.‎ ‎11.解 设等比数列{an}的公比为q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.‎ ‎(1)∵a1+a2+…+a2n=t(+…+),‎ ‎=t,即=t对n∈N*都成立,∴t=3.‎ ‎(2)=1,,‎ 且,b1,b2,…,bk,成等差数列,‎ ‎∴公差d==-,且=(k+1)d,‎ 8‎ 即-1=(k+1),解得k=13.‎ 二、思维提升训练 ‎12.A　解析 设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为第n组的和为=2n-1,前n组总共的和为-n=2n+1-2-n.‎ 由题意,N>100,令>100,得n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N>100且前N项和为2的整数幂,则SN-应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.‎ 所以N=+5=440,故选A.‎ ‎13.B　解析 因为an=1×2n-1=2n-1,所以anan+1=2n-1·2n=22n-1=2×4n-1,所以 所以是等比数列.‎ 故Tn=+…+‎ ‎14　解析 易得Sn=1-,‎ 因为y=Sn-上单调递增(y≠0),‎ 所以y[A,B],因此B-A的最小值为 ‎15.4　解析 要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为2,1,-1,0,0,0,…,所以最多由4个不同的数组成.‎ ‎16.解 (1)设数列{an}的公比为q.‎ 由=‎9a2a6得=9,所以q2=‎ 由条件可知q>0,故q=‎ 由‎2a1+‎3a2=1得‎2a1+‎3a1q=1,所以a1=‎ 故数列{an}的通项公式为an=‎ ‎(2)bn=log‎3a1+log‎3a2+…+log3an 8‎ ‎=-(1+2+…+n)=-‎ 故=-=-2,‎ ‎+…+‎ ‎=-2+…+=-‎ 所以数列的前n项和为-‎ ‎17.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,则d>0,‎ an=dn+(a1-d),Sn=dn2+n.‎ 对任意n∈N*,恒有 an·Sn=2n3-n2,则[dn+(a1-d)]=2n3-n2,‎ 即[dn+(a1-d)]=2n2-n.‎ ‎∵d>0,an=2n-1.‎ ‎(2)∵数列{anbn}的前n项和为An=5+(2n-3)·2n-1(n∈N*),‎ ‎∴当n=1时,a1b1=A1=4,∴b1=4,‎ 当n≥2时,anbn=An-An-1=5+(2n-3)2n-1-[5+(2n-5)2n-2]=(2n-1)2n-2.‎ ‎∴bn=2n-2.假设存在数列{bn}满足题设,且数列{bn}的通项公式bn=‎ ‎∴T1=4,当n≥2时,Tn=4+=2n-1+3,当n=1时也适合,‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为Tn=2n-1+3.‎ 8‎