2020版高考数学大一轮复习 第七章 数列与数学归纳法 第2节 等差数列及其前n项和学案 理

2020版高考数学大一轮复习 第七章 数列与数学归纳法 第2节 等差数列及其前n项和学案 理

第2节　等差数列及其前n项和 最新考纲　1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系．‎ 知 识 梳 理 ‎1．等差数列的概念 ‎(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．‎ 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．‎ ‎(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝．‎ ‎2．等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d．‎ 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．‎ ‎(2)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)．‎ ‎3．等差数列的有关性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和．‎ ‎(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq.‎ ‎(2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋‎2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．‎ ‎(4)数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…也是等差数列．‎ ‎4．等差数列的前n项和公式与函数的关系 15‎ Sn＝n2＋n.‎ 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．‎ ‎5．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1．用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列．‎ ‎2．利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数．‎ 诊 断 自 测 ‎1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)‎ ‎(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)‎ ‎(3)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　)‎ ‎(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)‎ ‎(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)‎ 解析　(4)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数．‎ ‎(5)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数．‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×‎ ‎2．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)‎ A．－1 B．‎0 ‎ C．1 D．6‎ 解析　由等差数列的性质，得a6＝‎2a4－a2＝2×2－4＝0，选B.‎ 答案　B ‎3．(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎ C．4 D．8‎ 解析　设{an}的公差为d，由 得解得d＝4.‎ 答案　C 15‎ ‎4．(2018·宁波十校适应性考试)等差数列{an}的公差d＜0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是(　　)‎ A．8或9 B．9或10‎ C．10或11 D．11或12‎ 解析　由题意知，a1＝±a17，又因为d＜0，所以a1＝－a17，故a1＝－8d，a9＝0，an＝a1＋(n－1)d＝(n－9)d，当an≥0时，n≤9，所以当n＝8或9时，Sn取最大值．‎ 答案　A ‎5．(必修5P‎68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．‎ 解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝‎5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝‎2a5＝180.‎ 答案　180‎ ‎6．(2018·湖州调研)设等差数列{an}的公差是d，前n项和是Sn.若a1＝1，a5＝9，则公差d＝______，Sn＝______．‎ 解析　公差d＝＝2，前n项和Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2.‎ 答案　2　n2‎ 考点一　等差数列基本量的运算 ‎【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A．100 B．‎99 ‎ C．98 D．97‎ ‎(2)(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)‎ A．－24 B．－‎3 ‎ C．3 D．8‎ 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知，得所以所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.‎ ‎(2)等差数列中a1＝1，根据题意得 a＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，‎ 解得d＝－2，d＝0(舍去)．‎ 所以数列{an}的前6项和为S6＝‎6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24.‎ 答案　(1)C　(2)A 15‎ 规律方法　(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．‎ ‎【训练1】 (1)(一题多解)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________．‎ ‎(2)(2015·浙江卷)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且‎2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．‎ 解析　(1)法一　设数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，‎ S4＝12，可得解得 即S6＝‎6a1＋15d＝30.‎ 法二　由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，‎ 由S3＝6，S4＝12，可得 解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.‎ ‎(2)因为a2，a3，a7成等比数列，所以a＝a‎2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，由于d≠0，∴a1＝－d，∵‎2a1＋a2＝1，∴‎2a1＋a1＋d＝1，即‎3a1＋d＝1，∴a1＝，d＝－1.‎ 答案　(1)30　(2)　－1‎ 考点二　等差数列的判定与证明(变式迁移)‎ ‎【例2】 (经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：成等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，‎ 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，‎ 又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.‎ 15‎ 当n＝1时，a1＝不适合上式．‎ 故an＝ ‎【变式迁移1】 将本例条件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝”改为“Sn(Sn－an)＋2an＝0(n≥2)，a1＝‎2”‎，问题不变，试求解．‎ ‎(1)证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1且Sn(Sn－an)＋2an＝0.‎ ‎∴Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0，‎ 即SnSn－1＋2(Sn－Sn－1)＝0.‎ 即－＝.又＝＝.‎ 故数列是以首项为，公差为的等差数列．‎ ‎(2)解　由(1)知＝，∴Sn＝，当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－ 当n＝1时，a1＝2不适合上式，‎ 故an＝ ‎【变式迁移2】 已知数列{an}满足2an－1－anan－1＝1(n≥2)，a1＝2，证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式．‎ 解　当n≥2时，an＝2－，‎ ‎∴－＝－＝－＝－＝＝1(常数)．‎ 又＝1.‎ ‎∴数列是以首项为1，公差为1的等差数列．‎ ‎∴＝1＋(n－1)×1＝n，‎ ‎∴an＝.‎ 15‎ 规律方法　等差数列的四种判断方法：‎ ‎(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数．‎ ‎(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立．‎ ‎(3)通项公式法：验证an＝pn＋q.‎ ‎(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断．‎ ‎【训练2】 (2017·江苏卷)对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．‎ ‎(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；‎ ‎(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．‎ 证明　(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，‎ 则an＝a1＋(n－1)d，‎ 从而，当n≥4时，‎ an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d ‎＝‎2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1，2，3，‎ 所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，‎ 因此等差数列{an}是“P(3)数列”．‎ ‎(2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，‎ 当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①‎ 当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.②‎ 由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③‎ an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④‎ 将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，‎ 所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.‎ 在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝‎4a4，‎ 所以a2＝a3－d′，‎ 在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝‎4a3，‎ 所以a1＝a3－2d′，‎ 所以数列{an}是等差数列．‎ 15‎ 考点三　等差数列的性质及应用 ‎【例3】 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)‎ A．5 B．‎7 ‎ C．9 D．11‎ ‎(2)(2018·浙江名校三联)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，则S2 017＝________．‎ 解析　(1)∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝‎2a3，得‎3a3＝3，所以a3＝1，∴S5＝＝‎5a3＝5，故选A.‎ ‎(2)因为Sn为等差数列{an}的前n项和，所以S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12也成等差数列，而＝，所以S8＝3S4，则(S8－S4)－S4＝S4，则得S16＝10S4，所以＝.‎ ‎(3)由等差数列的性质可得也为等差数列．‎ 设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.‎ 故＝＋2 016d＝－2 014＋2 016＝2，‎ ‎∴S2 017＝2×2 017＝4 034.‎ 答案　(1)A　(2)A　(3)4 034‎ 规律方法　等差数列的性质是解题的重要工具．‎ ‎(1)在等差数列{an}中，数列 Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m也成等差数列．‎ ‎(2)在等差数列{an}中，数列也成等差数列．‎ ‎【训练3】 (1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为(　　)‎ A．13 B．‎12 ‎ C．11 D．10‎ ‎(2)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________．‎ 解析　(1)因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，‎ a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，‎ 又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，‎ 所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，‎ 15‎ 所以Sn＝＝＝390，即n＝13.‎ ‎(2)因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝‎2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝‎5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝‎2a5＝10.‎ 答案　(1)A　(2)10‎ 考点四　等差数列前n项和及其最值 ‎【例4】 (1)(一题多解)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)‎ A．5 B．‎6 ‎C．7 D．8‎ ‎(2)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．‎ 解析　(1)法一　由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大．‎ 法二　由S3＝S11，可得‎3a1＋3d＝‎11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．‎ ‎(2)由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.‎ 答案　(1)C　(2)130‎ 规律方法　求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；‎ ‎(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；‎ ‎(3)将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．‎ ‎【训练4】 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且＝，则当Sn取最大值时，n的值为(　　)‎ A．9 B．‎10 ‎ C．11 D．12‎ ‎(2)(2018·金丽衢十二校二联)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若有确定正整数n0，对任意正整数m，Sn0·Sn0＋m＜0恒成立，则下列说法错误的是(　　)‎ A．a1·d＜0 B．|Sn|有最小值 C．an0·an0＋1＞0 D．an0＋1·an0＋2＞0‎ 15‎ 解析　(1)由＝，得S11＝S9，即a10＋a11＝0，根据首项a1＞0可推知这个数列递减，从而a10＞0，a11＜0，故n＝10时，Sn最大．‎ ‎(2)由Sn0·Sn0 ＋m＜0，知数列{an}一定存在正项与负项，则要么a1＞0，d＜0，要么a1＜0，d＞0，即a1·d＜0，所以A正确；由等差数列各项特征知，|Sn|一定能取得最小值，所以B正确；若数列{an}为－1，2，5，8，…，当n≥2时，an＞0，取n0＝1，对任意正整数m，Sn0·Sn0＋m＜0均成立，但an0·an0＋1＜0，所以C错误，故选C.‎ 答案　(1)B　(2)C 基础巩固题组 一、选择题 ‎1．(一题多解)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于(　　)‎ A．－1 B．－‎2 ‎ C．－3 D．－4‎ 解析　法一　由题意可得 解得a1＝5，d＝－3.‎ 法二　a1＋a7＝‎2a4＝－8，∴a4＝－4，‎ ‎∴a4－a2＝－4－2＝2d，∴d＝－3.‎ 答案　C ‎2．(2018·嘉兴测试)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　设等差数列{an}的公差为d，则由题意得＝＝，解得a1＝d，则＝＝，故选A.‎ 答案　A ‎3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，如果当n＝m时，Sn最小，那么m的值为(　　)‎ A．10 B．‎9 ‎ C．5 D．4‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，则S11＝‎11a1＋55d＝22，a4＝a1＋3d＝－12，解得a1＝－33，d＝7，由an＝7n－40<0得n 15‎ ‎≤5，即该数列的前5项是负数，从第6项开始是正数，则前5项的和最小，即m＝5.‎ 答案　C ‎4．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)‎ A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＜0‎ C．a3＋a99＝0 D．a51＝51‎ 解析　由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a101＝×101＝0.所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0.‎ 答案　C ‎5．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)‎ A．10 B．‎20 ‎C．30 D．40‎ 解析　设项数为2n，则由S偶－S奇＝nd得，25－15＝2n，解得n＝5，故这个数列的项数为10.‎ 答案　A ‎6．(2015·浙江卷)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则(　　)‎ A．a1d>0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0‎ C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0‎ 解析　∵a3，a4，a8成等比数列，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)·(a1＋7d)，整理得a1＝‎ ‎－d，∴a1d＝－d2<0(d≠0)，又S4＝‎4a1＋d＝－，∴dS4＝－<0，故选B.‎ 答案　B 二、填空题 ‎7．(2018·金华四校联考)设等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c(b，c为常数，n∈N*)，若a2＋a3＝4，则c＝________，b＝________．‎ 解析　∵数列{an}是等差数列，且前n项和Sn＝n2＋bn＋c，∴c＝0，则Sn＝n2＋bn，又a2＋a3＝S3－S1＝9＋3b－1－b＝4，∴b＝－2.‎ 答案　0　－2‎ ‎8．已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝2(n∈N*且n≥2)，则a61＝________．‎ 15‎ 解析　由已知Sn－Sn－1＝2可得，－＝2，所以{}是以1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，所以a61＝S61－S60＝1212－1192＝480.‎ 答案　480‎ ‎9．(2017·慈溪统考)设等差数列{an}的前n项和Sn，且满足a8>0，a8＋a9<0，则Sn>0的最大n是________；数列(10，a8＋a9<0，∴S15＝＝＝‎15a8>0，而S16＝＝＝8(a8＋a9)<0，∴使Sn>0的最大n为15.∵a8>0，a9<0，∴S8最大，且a8为{an}的最小正数项，a9，a10，…均小于零，所以当9≤n<15时，均小于零，当n＝8时，最大，即数列(1

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