（新课标）天津市2020年高考数学二轮复习 综合能力训练 理
综合能力训练
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知集合A=,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于( )
A.(0,2] B.[-1,0) C.[2,4) D.[1,4)
2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为( )
A.1 B. C. D.2
3.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a
0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是( )
A. B.
C. D.2
7.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为( )
A.1 B.- C.1,- D.1,
8.已知实数a,b,c.( )
A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100
B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100
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C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100
D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为 .
10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是 .(用数字填写答案)
11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为 .
12.在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为 .
13.设变量x,y满足约束条件的最小值是 .
14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号)
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
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16.(13分)已知数列{an}中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*).
(1)求a2,a3,并证明{an-n}是等比数列;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
17.(13分)
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如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).
(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.
(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
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18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;
(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.
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20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).
(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;
(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,0时,f(x)>0,f'(x)>0.
∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,
∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
∵2100,故选项A不成立;
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选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.
而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;
选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.
而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.
9.2 解析 (1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,则所以=2.故答案为2.
10.-40 解析 (2x-1)5的展开式的通项为Tr+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-rx5-r.
根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.
11.3(2-)π 解析 ∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,
∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.
12.2 解析 ∵4ρcos+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.
∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,
∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.
∴圆心到直线的距离d=0,
当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间内单调递减,
此时,f(x)0,
则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.
④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,
则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.
综上所述,a的取值范围为[1,+∞).
(2)证明 由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,
即ln(1+x)0对x∈(0,+∞)都成立,
即x-x2
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