2020版高考数学大一轮复习 第七章 数列与数学归纳法 第6节 数学归纳法学案 理

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2020版高考数学大一轮复习 第七章 数列与数学归纳法 第6节 数学归纳法学案 理

第6节 数学归纳法 最新考纲 1.了解数学归纳法的原理;2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;‎ ‎(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.‎ 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.‎ ‎2.数学归纳法的框图表示 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.‎ ‎2.推证n=k+1时一定要用上n=k时的假设,否则不是数学归纳法.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-‎1”‎,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.(  )‎ ‎(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(  )‎ ‎(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.(  )‎ ‎(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(  )‎ 解析 对于(2),有些命题也可以直接证明;对于(3),数学归纳法必须用归纳假设;对于(4),由n=k到n=k+1,有可能增加不止一项.‎ 14‎ 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×‎ ‎2.(选修2-2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验n等于(  )‎ A.1 B.‎2 ‎ C.3 D.4‎ 解析 三角形是边数最少的凸多边形,故第一步应检验n=3.‎ 答案 C ‎3.已知f(n)=+++…+,则(  )‎ A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+ B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++ C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=+ D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=++ 解析 f(n)共有n2-n+1项,当n=2时,=,=,故f(2)=++.‎ 答案 D ‎4.(2018·台州月考)用数学归纳法证明1+++…+1),第一步要证的不等式是________.‎ 解析 当n=2时,式子为1++<2.‎ 答案 1++<2‎ ‎5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证n=________时,命题亦真.‎ 解析 由于步长为2,所以2k-1后一个奇数应为2k+1.‎ 答案 2k+1‎ ‎6.(2017·宁波调研)用数学归纳法证明“当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除”第一步应验证n=________时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成________.‎ 解析 因为n为正偶数,故第一个值n=2,第二步假设n取第k个正偶数成立,即n=2k,故应假设成x2k-y2k能被x+y整除.‎ 答案 2 x2k-y2k能被x+y整除 14‎ 考点一 用数学归纳法证明等式 ‎【例1】 用数学归纳法证明:‎ +++…+=(n∈N*).‎ 证明 (1)当n=1时,‎ 左边==,‎ 右边==,‎ 左边=右边,所以等式成立.‎ ‎(2)假设n=k(k∈N*)时等式成立,即有 +++…+=,‎ 则当n=k+1时,+++…++ ‎=+= ‎===.‎ 所以当n=k+1时,等式也成立,‎ 由(1)(2)可知,对于一切n∈N*等式都成立.‎ 规律方法 (1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.‎ ‎(2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程,不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.‎ ‎【训练1】 求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N*).‎ 证明 (1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,故等式成立;‎ ‎(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,‎ 即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1),‎ 那么当n=k+1时,‎ 左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)‎ 14‎ ‎=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)‎ ‎=2k·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1)·2‎ ‎=2k+1·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1),‎ 所以当n=k+1时等式也成立.‎ 由(1)(2)可知,对所有n∈N*等式成立.‎ 考点二 用数学归纳法证明不等式 ‎【例2】 (2017·浙江五校联考)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0,且b≠1,b,r均为常数)的图象上.‎ ‎(1)求r的值;‎ ‎(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*).‎ 证明:对任意的n∈N*,不等式··…·>成立.‎ ‎(1)解 由题意,Sn=bn+r,‎ 当n≥2时,Sn-1=bn-1+r,‎ 所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1),‎ 由于b>0,且b≠1,所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列,又a1=b+r,a2=b(b-1),=b,即=b,解得r=-1.‎ ‎(2)证明 由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(n∈N*),所证不等式为··…·>.‎ ‎①当n=1时,左式=,右式=,‎ 左式>右式,所以结论成立.‎ ‎②假设n=k时结论成立,即··…·>,‎ 则当n=k+1时,··…··>·=,‎ 要证当n=k+1时结论成立,‎ 只需证≥,‎ 即证≥,‎ 由基本不等式可得 14‎ =≥成立,‎ 故≥成立,所以当n=k+1时,结论成立.‎ 由①②可知,n∈N*时,‎ 不等式··…·>成立.‎ 规律方法 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 ‎(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.‎ ‎(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.‎ ‎【训练2】 (2018·宁波十校适应性考试)已知数列{an}(n∈N*),满足a1=1,2an+1=an+.‎ ‎(1)求证:.‎ n=1时,‎2a2=+,∴a2=+>,结论成立,‎ 假设n=k时,结论成立,即ak+1>,‎ 则n=k+1时,2ak+2=ak+1+>+1=,‎ ‎∴ak+2>,即n=k+1时,结论成立,‎ ‎∴an+1>,∴an+1-an=-an+ ‎=-+<-+=0.‎ ‎∴0,n∈N*.‎ ‎(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明(1)中的猜想.‎ ‎(1)解 当n=1时,由已知得a1=+-1,即a+‎2a1-2=0.∴a1=-1(a1>0).‎ 当n=2时,由已知得a1+a2=+-1,‎ 将a1=-1代入并整理得a+‎2a2-2=0.‎ ‎∴a2=-(a2>0).同理可得a3=-.‎ 猜想an=-(n∈N*).‎ ‎(2)证明 ①由(1)知,当n=1,2,3时,通项公式成立.‎ ‎②假设当n=k(k≥3,k∈N*)时,通项公式成立,‎ 即ak=-.‎ 由于ak+1=Sk+1-Sk=+--,‎ 将ak=-代入上式,整理得 a+2ak+1-2=0,‎ ‎∴ak+1=-,‎ 即n=k+1时通项公式成立.‎ 由①②可知对所有n∈N*,an=-都成立.‎ 规律方法 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是“归纳—猜想—证明”,即先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理论证结论的正确性.‎ ‎(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.‎ 14‎ ‎【训练3】 设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.‎ ‎(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N*,求gn(x)的表达式;‎ ‎(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)设n∈N*,猜想g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.‎ 解 由题设得,g(x)=(x≥0).‎ ‎(1)由已知,g1(x)=,g2(x)=g(g1(x))==,g3(x)=,…,可猜想gn(x)=.‎ 下面用数学归纳法证明.‎ ‎①当n=1时,g1(x)=,结论成立.‎ ‎②假设n=k时结论成立,即gk(x)=.‎ 那么,当n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x))‎ ‎===,即结论成立.‎ 由①②可知,结论对n∈N*成立.‎ ‎(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.‎ 设φ(x)=ln(1+x)-(x≥0),‎ 则φ′(x)=-=,‎ 当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立),‎ ‎∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增.‎ 又φ(0)=0,‎ ‎∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,‎ ‎∴a≤1时,ln(1+x)≥恒成立(仅当x=0时等号成立).‎ 当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ′(x)≤0,‎ ‎∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减,‎ 14‎ ‎∴φ(a-1)<φ(0)=0.‎ 即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,‎ ‎∴ln(1+x)≥不恒成立,‎ 综上可知,实数a的取值范围是(-∞,1].‎ ‎(3)由题设知g(1)+g(2)+…+g(n)=++…+,n-f(n)=n-ln(n+1),‎ 猜想结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1).‎ 证明如下:上述不等式等价于++…+,x>0.‎ 令x=,n∈N*,则(n≥2,n∈N*)”的过程中,由“n=k”变到“n=k+‎1”‎时,左边增加了(  )‎ A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项 解析 左边增加的项为++…+共2k项,故选D.‎ 答案 D ‎5.对于不等式an;‎ ‎(2)证明:an=cos;‎ 14‎ ‎(3)证明:Sn>n-.‎ 证明 (1)因为an>0,‎ 且‎2a-‎2a=an+1-‎2a=(1-an)(1+2an),‎ 故要证an+1>an,只需要证明an<1即可.‎ 下用数学归纳法证明:‎ 当n=1时,a1=<1成立;‎ 假设n=k(k≥1,k∈N*)时,ak<1成立,‎ 那么当n=k+1时,ak+1=<=1,‎ 综上所述,对任意n,有an<1.所以an+1>an.‎ ‎(2)用数学归纳法证明an=cos.‎ 当n=1时,a1==cos=cos成立;‎ 假设n=k(k≥1,k∈N*)时,ak=cos,‎ 那么当n=k+1时,‎ ak+1===cos.‎ 所以综上所述,对任意n,an=cos.‎ ‎(3)由=1-=1-a=sin2<(n≥2),得an-1>1-(n≥2).‎ 故当n=1时,S1=>1-;‎ 当n≥2时,Sn>+=n--××>n-.‎ 综上所述,Sn>n-.‎ 14‎
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