2007年安徽高考数学理科试卷及答案

2007年安徽高考数学理科试卷及答案

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ 数　 学（理科）‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P（A+B）=PA．+PB． S=4лR2‎ 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P（A·B）=PA．+PB． 球的体积公式 ‎1+2+…+n 　V=‎ ‎12+22+…+n2= 　其中R表示球的半径 ‎13+23++n3=‎ 第Ⅰ卷（选择题　共55分）‎ 一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．下列函数中，反函数是其自身的函数为 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“l”是lm且“ln”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是 A．a＜-1 B．≤1 C． ＜1 D．a≥1‎ ‎4．若a为实数，＝-i，则a等于 A． B．— C．2 D．—2‎ ‎5．若，，则的元素个数为 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎6．函数的图象为C，‎ ‎①图象关于直线对称；‎ ‎②函灶在区间内是增函数；‎ ‎③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.‎ 以上三个论断中，正确论断的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7．如果点在平面区域上，点在曲线上，那么 的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎8．半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为 A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎9．如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为 A． ‎ B． C． D．‎ ‎10．以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于 A．- B．‎ C． D．‎ ‎11．定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为 A．0 B．1 C．3 D．5‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎12．若（2x3+）n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于 。‎ ‎13．在四面体O-ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则= （用a，b，c表示）。‎ ‎14．如图，抛物线y=--x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P2，…，Pn-1，过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1， △Q2P1P2，…， △Qn-1Pn-1Pn-1，当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 。‎ ‎15．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）。‎ ‎①矩形；‎ ‎②不是矩形的平行四边形；‎ ‎③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；‎ ‎④每个面都是等边三角形的四面体；‎ ‎⑤每个面都是直角三角形的四面体。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共79分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知0＜a＜的最小正周期，b=（cos a，2），且a·b=m。求的值。‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2。‎ ‎（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值圾示）。‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 设a≥0，f （x）=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）。‎ ‎（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0，＋∞）内的单调性并求极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，曲线G的方程为y2=2x（y≥0）。以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B。直线AB与x轴相交于点C。‎ ‎（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；‎ ‎（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值。‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔。以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数。‎ ‎（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；‎ ‎（Ⅱ）求数学期望Eξ；‎ ‎（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）。‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 某国采用养老储备金制度。公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。‎ ‎（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式；‎ ‎（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列。‎ ‎2007年安徽高考数学（理科）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分55分。‎ ‎1．D　2．A　　3．B　　4．B　　5．C　　6．C 7．A　　8．C　　9．D　　10．B　 11．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。‎ ‎12．7 13． 14． 15．①③④⑤‎ 三、解答题 ‎16．（本小题满分12分）‎ 本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力.本小题满分12分。‎ 解：因为为的最小正周期，故 因a·b=m，又a·b＝，‎ 故 由于，所以 ‎=‎ ‎=‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 解法1（向量法）：‎ 以D为原点，以DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则有 A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ 于是与AC共面，与BD共面.‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ 内的两条相交直线，‎ 又平面 ‎（Ⅲ）解：‎ 设 于是 设 于是 解法2（综合法）：‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎∥平面ABCD.‎ 于是∥CD，∥DA.‎ 设E，F分别为DA，DC的中点，连结EF，‎ 有∥∥‎ ‎∴∥‎ 于是∥‎ 由DE=DF=1,得EF∥AC，‎ 故∥‎ 与AC共面.‎ 过点 于是 所以点O在BD上，故 ‎（Ⅱ）证明：‎ 又BD⊥AC（正方形的对角线互相垂直），‎ 内的两条相交直线，‎ 又平面 ‎（Ⅲ）解：∵直线DB是直线 根据三垂线定理，有AC⊥‎ 过点A在平面 则 于是 所以，∠AMC是二面角 根据勾股定理，有 二面角 ‎18．（本小题满分14分）‎ 本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力，本小题满分14分.‎ ‎（Ⅰ）解：根据求导法则得 故 于是 列表如下：‎ x ‎（0,2）‎ ‎2‎ ‎（2,+∞）‎ F′（x）‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ F（x）‎ ‎↓‎ 极小值F（2）‎ ‎↑‎ 故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在x＝2处取得极小值F（2）＝2-2In2+2a.‎ ‎（Ⅱ）证明：由 于是由上表知，对一切 从而当 所以当 故当 ‎19．（本小题满分12分）‎ 本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.本小题满分12分.‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由题意知，A（）‎ 因为 由于 由点B（0，t）C（c,0）的坐标知，直线BC的方程为 又因点A在直线BC上，故有 将（1）代入上式，得 解得 ‎（Ⅱ）因为 所以直线CD的斜率为定值.‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分.‎ 解：‎ ‎（1）的分布列为 ‎（Ⅱ）数学期望为E＝‎ ‎（Ⅲ）所求的概率 ‎21．（本小题满分14分）‎ 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分.‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）我们有 ‎（Ⅱ）‎ ‎＝ ①‎ 在①式两端同乘1+r，得 ‎ ②‎ ‎②-①，得 ‎＝‎ 即 如果记 则 其中 ‎。‎