备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题56 利用点的坐标处理圆锥曲线问题

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题56 利用点的坐标处理圆锥曲线问题

专题56 利用点的坐标处理圆锥曲线问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.‎ 有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题. 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.‎ ‎1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理.然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐.所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段.‎ ‎2、利用点坐标解决问题的优劣：‎ ‎（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受形式的约束 ‎（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得复杂导致运算繁琐.那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入 ‎3、求点坐标的几种类型：‎ ‎（1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式），则可考虑把点的坐标解出来（用核心变量进行表示）‎ ‎（2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或因式分解求解）‎ ‎4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算.（整体代入是解析几何运算简化的精髓）.有时利用‘点差法’，确定坐标关系，效果也好，需灵活处理.‎ ‎【经典例题】‎ 27‎ 例1.【2019年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D 详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.‎ 例2.【2019年理数全国卷II】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．‎ ‎【答案】(1) y=x–1,(2)或．‎ 详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由得． ，故．‎ 所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．‎ 因此l的方程为y=x–1．‎ 27‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．‎ 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或 因此所求圆的方程为或．‎ 例3.【2019年理数天津卷】设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或 详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．所以，椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．所以，k的值为或 例4.已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点分别是椭圆的左右顶点 ‎（1）求圆和椭圆的方程 27‎ ‎（2）已知分别是椭圆和圆上的动点（位于轴的两侧），且直线与轴平行，直线分别与轴交于点，求证：为定值 ‎【答案】（1）椭圆方程为，圆方程为；（2）见解析.‎ ‎，考虑利用条件设出方程，进而坐标可用核心变量表示，再进行数量积的坐标运算可得，从而，即为定值 解：设 与轴平行，‎ 设，由所在椭圆和圆方程可得：‎ 由椭圆可知： ‎ 27‎ 令，可得：‎ ‎，即为定值 思路二：本题还可以以其中一条直线为入手点（例如），以斜率作为核心变量，直线与椭圆交于两点，已知点坐标利用韦达定理可解出点坐标（用表示），从而可进一步将涉及的点的坐标都用来进行表示，再计算也可以，计算步骤如下：‎ 解：设，由椭圆方程可得：‎ 所以设直线，联立方程：‎ ‎，代入到直线方程可得：‎ ‎，由，令可得：‎ 27‎ ‎，即为定值 .‎ 例5.【2019届江苏省南京市三模】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若为抛物线上异于的两点，且．记点到直线的距离分别为，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）利用抛物线的定义求p的值.(2)先求出a的值，再联立直线的方程和抛物线的方程得到韦达定理，再求|(y1＋2) (y2＋2)|的值.‎ 详解：（1）因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF=2，‎ 所以＋1＝2，所以p＝2.‎ ‎（2）由(1)得抛物线方程为y2＝4x．‎ 因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，所以a＝2． ‎ 27‎ ‎ ‎ 点睛：（1）本题主要考查抛物线的定义及简单几何性质，考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力. (2)本题的关键是看到d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|要联想到韦达定理,再利用韦达定理解答.‎ 例6.【2019年江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．‎ ‎（1）求椭圆C及圆O的方程；‎ ‎（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；‎ ‎②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为 ‎（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为 27‎ 详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．‎ 点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．‎ 例7. 【2019年新课标I卷文】设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．‎ 27‎ ‎（1）当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎【答案】(1) y=或． (2)见解析.‎ ‎（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2， y2），则x1>0，x2>0．由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．直线BM，BN的斜率之和为．①‎ 将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得 ‎．所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN．综上，∠ABM=∠ABN．‎ 例8.【河南省洛阳市2019届三模】已知抛物线，点，在抛物线上，且横坐标分别为，，抛物线上的点在，之间（不包括点，点），过点作直线的垂线，垂足为.‎ ‎（1）求直线斜率的取值范围；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：（1）设，得出关于的函数，根据的范围得出的范围；（2）根据，的方程得出点坐标，根据距离公式计算，，得出关于的函数，再根据函数单调性得出最大值．‎ 详解：（1）由题可知，，设，，所以 27‎ ‎ ，故直线斜率的取值范围是.‎ ‎，则 ，当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减.故，即的最大值为.‎ 例9.【2019届安徽省合肥市第一中学冲刺高考最后1卷】如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设为椭圆的左顶点，为椭圆上位于轴上方的点，直线交轴于点，点在轴上，且，设直线交椭圆于另一点，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据离心率为，短轴长为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可求得椭圆的标准方程；（2）联立消解得或，则 27‎ ‎，同理可得，的面积.‎ 详解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由题可设直线的方程为，则，又且，所以，所以直线的方程为，则，联立消去并整理得 点睛：求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ 例10.【2019届福建省三明市5月测试】在平面直角坐标系中，已知，若直线⊥于点，点是直线上的一动点，是线段的中点，且，点的轨迹为曲线． ‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点作直线交于点，交轴于点，过作直线，交于点．试判断是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1） ；（2）2‎ ‎【解析】分析：（1）设，由题意得 ，由，得到曲线的方程；‎ 27‎ ‎（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为 ，因为，所以的方程为，联立方程分别求出，，即可作出判断.‎ 详解：（1）设，由题意得 ，‎ 所以， ‎ 所以，化简得，‎ 由　解得，‎ 所以，，，‎ 所以＝2．‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019年四川省成都市高考模拟一】设双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的两渐近线分别交于点,并且,则双曲线的离心率为( ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A 27‎ ‎【解析】分析：由题意，双曲线 的左焦点和渐近线方程为，求得过焦点且斜率为的直线方程为，联立方程组，解得的坐标，根据，所以，即，求解的关系式，即可求解双曲线的离心率. ‘‎ 所以点的坐标为，‎ 又因为，所以，则，所以，‎ 可得，整理得，‎ 所以双曲线的离心率为，故选A.‎ ‎2.【2019届辽宁省大连市二模】设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则周长的取值范围是（ ）‎ 27‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎3．【2019届安徽省江南十校二模】已知双曲线：的左右焦点为、，过焦点且与渐近线平行的直线与双曲线相交于点，则的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先求出渐近线方程，然后求出过一个焦点且与渐近线平行的直线方程，代入双曲线方程求得交点M的坐标，从而可得三角形面积．‎ 详解：双曲线的焦点为，渐近线方程为，‎ 过与一条渐近线平行的直线方程为，由得，即，∴．‎ 故答案为．‎ ‎4．【2019届安徽省宿州市第三次检测】抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，若，，则__________．‎ ‎【答案】1或3‎ 27‎ 结合可得：，‎ 直线的方程为：，‎ 与抛物线方程整理可得：，‎ 则：，结合可得：‎ ‎，则；‎ 当点B位于点A下方时，由几何关系可知：，‎ 代入抛物线方程可得：，‎ 27‎ 综上可得，p的值为1或3.‎ ‎5．【2019届河南省商丘市夏邑县第一高级中学二轮调研】已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，，射线，分别交抛物线于异于点的点，，若，，三点共线，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出所在的直线方程，与抛物线的方程联立，分别求出的坐标，再由，‎ 27‎ ‎6．【2019届河南省新乡市三模】已知抛物线的焦点为为坐标原点，点，射线分别交抛物线于异于点的点，若三点共线，则的值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：由题意联立直线方程与抛物线方程可得A,B两点的坐标，然后利用斜率相等得到关于p的 27‎ 又，所以，，‎ 因为A，B，F三点共线，所以kAB=kBF，即，解得p=2.‎ ‎7．【2019届江苏省扬州树人学校模拟（四）】在平面直角坐标系中，椭圆：（）的短轴长为，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为椭圆的上顶点，点为轴正半轴上一点，过点作的垂线与椭圆交于另一点，若，求点的坐标．‎ ‎【答案】(1) .(2) .‎ 详解：（1）因为椭圆的短轴长为，离心率为，‎ 所以解得 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）因为为椭圆的上顶点，所以．‎ 27‎ 设（），则.‎ 又，‎ 所以，‎ 所以，‎ 解得.‎ 所以点的坐标为．‎ ‎8．【2019届河南省洛阳市第三次统一考试】已知抛物线，点，在抛物线上，且横坐标分别为，，抛物线上的点在，之间（不包括点，点），过点作直线的垂线，垂足为.‎ ‎（1）求直线斜率的取值范围；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：（1）设，得出关于的函数，根据的范围得出的范围； （2）根据，的方程得出点坐标，根据距离公式计算，，得出关于的函数，再根据函数单调性得出最大值．‎ 27‎ 详解：‎ ‎（1）由题可知，，设，，所以 ‎ ，故直线斜率的取值范围是.‎ ‎（2）直线，直线，联立直线，方程可知点的横坐标为 故，即的最大值为.‎ ‎9．【2019届湖南省湘潭市四模】已知点是抛物线：上一点，且到的焦点的距离为．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若是上一动点，且不在直线：上，交于，两点，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为．证明：．‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）利用已知条件，布列关于与的方程组，从而得到A的坐标以及P，即可得到抛物线方程；‎ ‎（2）由（1）知，联立得4x2﹣16x﹣9=0，求出E，F坐标，设出P的坐标，然后转化求 27‎ ‎∴．‎ 设（，且），则的横坐标为，易知在上，则．‎ 由题可知：，与联立可得，‎ 所以，‎ 则，故．‎ ‎10．【2019届山东省烟台市高考适应性练习（二）】已知椭圆，点在椭圆上，过的焦点且与长轴垂直的弦的长度为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作两条相交直线，与椭圆交于两点（点在点的上方），与椭圆交于 27‎ 两点（点在点的上方），若直线的斜率为，，求直线的斜率.‎ ‎【答案】(1) . ‎ ‎(2) .‎ 详解：（1）由已知得：， ‎ 解得,. ‎ 故椭圆的方程为. ‎ ‎（2）由题设可知:的直线方程为. ‎ 联立方程组，整理得:.‎ ‎. ‎ ‎∴. ‎ ‎∵，∴，‎ 即. ‎ 27‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 解得，∴. ‎ 故直线的斜率为. ‎ 点睛：本题主要考查了直线和椭圆的位置关系，将三角形的面积比转化为线段比，线段比转化为坐标比，进而利用设而不求的思想，利用直线和椭圆联立，借助韦达定理处理即可.‎ ‎11．【2019届安徽省合肥市三模】已知抛物线()的焦点为，以抛物线上一动点为圆心的圆经过点F.若圆的面积最小值为.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)当点的横坐标为1且位于第一象限时，过作抛物线的两条弦，且满足.若直线AB恰好与圆相切，求直线AB的方程.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心位于抛物线的顶点时，圆的面积最小，由可得 27‎ 的值；(Ⅱ)依横坐标相等可得，轴，，设()，则直线的方程为，代入抛物线的方程得，利用韦达定理求出的坐标，同理求出的坐标，求出的斜率为定值，设直线的方程为，由圆心到直线的距离等于半径，列方程解得，从 设()，则直线的方程为，∴，‎ 代入抛物线的方程得，，∴，‎ ‎∴.‎ 将换成，得，‎ ‎∴.‎ 设直线的方程为，即.‎ 由直线与圆相切得，，解得.‎ 经检验不符合要求，故舍去.‎ ‎∴所求直线的方程为. ‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”‎ 27‎ 解决，往往会更简单.‎ ‎ 12．【2019届江苏省苏锡常镇四市调研（二）】如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若，求直线的方程；‎ ‎（3）求证：为定值．‎ ‎【答案】(1) .(2) 或.(3)见解析.‎ ‎【解析】分析: (1) 由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1,列方程组解方程组即得椭圆的标准方程.(2)先求出点D的坐标，再根据点C，D的坐标求直线l的斜率，即得直线l的方程. (3) 设D坐标为(x3，y3）,先求出直线BD和AC的方程，再联立两个方程化简即得=2为定值. ‎ 27‎ ‎ ‎ 代入椭圆方程得或，所以或，‎ 所以或.‎ 所以的方程为：或. ‎ ‎（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程， ‎ 联立椭圆方程得：解得,. ‎ 由 ，得直线BD的方程：， ‎ 27‎ ‎ ‎ 27‎