2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 规范答题示例3 空间中的平行与垂直关系学案

2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 规范答题示例3 空间中的平行与垂直关系学案

规范答题示例3　空间中的平行与垂直关系 典例3　(15分)如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F，H分别为AB，PC，BC的中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面PAH⊥平面DEF.‎ 审题路线图　(1) ―→ ‎(2)―→ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 证明　(1)取PD的中点M，连接FM，AM.‎ ‎∵在△PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，‎ ‎∴FM∥CD且FM＝CD.‎ ‎∵在正方形ABCD中，AE∥CD且AE＝CD，‎ ‎∴AE∥FM且AE＝FM，‎ ‎∴四边形AEFM为平行四边形，‎ ‎∴AM∥EF，4分 ‎∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，‎ 第一步　‎ 找线线：通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直．‎ 第二步　‎ 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行．‎ 第三步　‎ 3‎ ‎∴EF∥平面PAD.6分 ‎(2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，‎ 侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，‎ ‎∴PA⊥底面ABCD，8分 ‎∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA.‎ ‎∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，‎ ‎∴Rt△ABH≌Rt△DAE，‎ 则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，‎ ‎∴DE⊥AH，11分 ‎∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH＝A，‎ ‎∴DE⊥平面PAH，‎ ‎∵DE⊂平面EFD，∴平面PAH⊥平面DEF.15分 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行．‎ 第四步　‎ 写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.‎ 评分细则　(1)第(1)问证出AE∥FM且AE＝FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面PAD同样给分；‎ ‎(2)第(2)问证明PA⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH时只要指明E，H分别为正方形边AB，BC的中点得DE⊥AH不扣分；证明DE⊥平面PAH只要写出DE⊥AH，DE⊥PA，缺少条件不扣分．‎ 跟踪演练3　(2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.‎ ‎(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．‎ ‎(1)证明　由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.‎ 又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC⊂平面ACD，‎ 所以AB⊥平面ACD.‎ 又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.‎ ‎(2)解　由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.‎ 又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.‎ 3‎ 如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，‎ 则QE∥DC且QE＝DC.‎ 由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，‎ 所以QE⊥平面ABC，QE＝1.‎ 因此，三棱锥Q－ABP的体积为 VQ－ABP＝×S△ABP×QE ‎＝××3×2sin 45°×1＝1.‎ 3‎