高考大题之数列

高考大题之数列

‎21．（本小题满分14分）‎ 已知数列中，，，其前项和满足，令．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求证：（）．‎ 解：（1）由题意知即 -------2分 ‎∴ -------3分 ‎----5分 检验知、时，结论也成立，故． -------7分 ‎（2）由于 ‎-------10分 故 ‎---------12分 ‎． ---------14分 ‎19. (本题满分12分)‎ 各项为正数的数列的前n项和为，且满足：‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设函数求数列 ‎19、解：（1）由①得，当n≥2时，②；‎ 由①－②化简得：，又∵数列各项为正数，∴当n≥2时，，故数列成等差数列，公差为2，又，解得；‎ ‎……………………………………5分 ‎（2）由分段函数 可以得到：‎ ‎；‎ ‎…………………………7分 当n≥3，时，，‎ ‎19、(本小题满分14分) 已知等差数列的公差大于，且、是方程的两根.数列的前项和为，满足 ‎ ‎(Ⅰ) 求数列,的通项公式；‎ ‎(Ⅱ) 设数列的前项和为，记.若为数列中的最大项，求实数的取值范围.‎ ‎)解：(Ⅰ)由+=12，=27，且>0,所以=3，=9，‎ 从而， （3分）‎ 在已知中，令，得 当时，，，两式相减得，，‎ ‎， （6分）‎ ‎(Ⅱ)‎ 则 （8分）‎ 当时，‎ ‎ （11分）‎ 有时，‎ 时，‎ 则有 ‎ ‎19．（本小题满分14分）已知数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，‎ ‎．‎ 解：（1）,‎ ‎.又，‎ 故是以3为首项，公比为-2的等比数列. ………7分 ‎（2）由（1）得.‎ 所以，，‎ ‎.‎ 所以. ‎ ‎19．（本题满分14分）数列中，且满足N*）．‎ ‎（I）求证：数列为等差数列，并求通项公式；‎ ‎（II）数列满足，N*），问从第几项开始有．‎ ‎19．(本题满分14分)已知数列{}的前n项和为，满足 ‎ （1）证明:数列{+ 2}是等比数列.并求数列{}的通项公式；‎ ‎ （2）若数列{}满足，设是数列的前n项和.求证：.‎ ‎(19)(本题满分14分) 已知数列的首项，，‎ ‎ （1）若，求证是等比数列并求出的通项公式；‎ ‎ （2）若对一切都成立，求的取值范围。‎ ‎（1） 由题意知，， ，‎ ‎， ……………………………… 4分 所以数列是首项为，公比为的等比数列；……………5分 ‎ ， ……………………8分 ‎（2）由（1）知， ……………10分 由知，故得 ……………11分 ‎ 即 得，又，则 ‎19．（本题满分14分）已知数列，满足：，当时，；对于任意的正整数，．设的前项和为.‎ ‎（Ⅰ）计算，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求满足的的集合.‎ ‎（Ⅰ）在中，取，得，又，，故同样取 可得……………………分 由及两式相减可得：，所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为，而，故是公差为的等差数列，……………………分 注：猜想而未能证明的扣分；用数学归纳法证明不扣分.‎ ‎（Ⅱ）在中令得……………………分 又，与两式相减可得：，，即当时， ‎ 经检验，也符合该式，所以，的通项公式为………………9分 ‎.‎ 相减可得：‎ 利用等比数列求和公式并化简得：……………………11分 可见，，……………………12分 经计算，，注意到 的各项为正，故单调递增，所以满足的的集合为 ‎19.（本小题满分14分）已知正项数列的前项和为，且满足．‎ ‎（I） 求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，且数列的前项和为，‎ 求证：数列为等差数列 解：（Ⅰ）由，，两式相减得 ‎ ‎，又由，可得， ‎ 根据，得， ‎ 所以；……………………………………………………………………………7分 ‎（Ⅱ）,对数列进行错位相减法得到， ‎ 于是数列，就是数列显然就是一等差数列．‎ ‎(19)(本题满分14分) 已知等差数列的公差大于，且、是方程 的两根.数列的前项和为，满足 ‎ ‎(Ⅰ) 求数列,的通项公式；‎ ‎(Ⅱ) 设数列的前项和为，记.若为数列中的最大项，求实数的取值范围. ‎ ‎19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，已知为常数，），　．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，说明理由．‎ 解：（Ⅰ）由题意，知即解之得 ……………2分 ‎，① 当时，，②‎ ‎①②得，， ………………………………………………………4分 又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，‎ 所以．………………………………………………………………………………7分 ‎（Ⅱ）由⑵得，，由，得 ‎，即，……………………………………10分 即，因为，所以，‎ 所以，且，‎ 因为，所以或或．……………………………………………………… 12分 当时，由得，，所以；‎ 当时，由得，，所以或；‎ 当时，由得，，所以或或，‎ 综上可知，存在符合条件的所有有序实数对为：‎ ‎．‎ ‎19．（本小题满分14分）已知是正项数列的前项和，（）．‎ ‎（1）求证：是等差数列；‎ ‎（2）若数列满足，，求数列的通项公式 ‎（1）‎ 是等差数列，公差为1；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 利用逐差累加得，而．‎ ‎19．（本题满分14分）已知等差数列中，首项，公差。‎ ‎ （1）若=1，，且成等比数列，求整数的值；‎ ‎ （2）求证：对任意正整数，都不成等差数列。‎ ‎19．(本题满分14分)已知为数列的前项的和，满足，其中为常数，且，‎ ‎（1）求通项 ‎（2）若，设问数列的最大项是它的第几项？‎ ‎20．（本题满分15分） 函数的定义域为R，数列满足（且）．‎ ‎（Ⅰ）若数列是等差数列，，且(k为非零常数， 且)，求k的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，，数列的前n项和为，对于给定的正整数，如果的值与n无关，求k的值．‎ 解：（Ⅰ）当时，‎ 因为 ，，‎ 所以 ． ‎ 因为数列是等差数列，所以 ． ‎ 因为 ， 所以． …6分 ‎ [来源:学§科§网]‎ 因为，‎ 所以是首项为，公差为的等差数列． ‎ 所以 ．‎ 因为 ‎ ‎， ‎ 又因为的值是一个与n无关的量，‎ 所以 ，‎ 解得． ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，(p – 1)Sn = p2 – an，n ∈N*，p > 0且p≠1，数列{bn}满足bn = 2logpan．‎ ‎ （Ⅰ）若p =，设数列的前n项和为Tn，求证：0 < Tn≤4；‎ ‎ （Ⅱ）是否存在自然数M，使得当n > M时，an > 1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由．‎ ‎（Ⅰ）解：由(p – 1)Sn = p2 – an (n∈N*) ①‎ ‎ 由(p – 1)Sn – 1 = p2 – an – 1 ②‎ ‎ ① – ②得(n≥2)‎ ‎ ∵an > 0 (n∈N*)‎ 又(p – 1)S1 = p2 – a1，∴a1 = p ‎{an}是以p为首项，为公比的等比数列 an = p bn = 2logpan = 2logpp2 – n ‎∴bn = 4 – 2n ………… 4分 ‎ 证明：由条件p =得an = 2n – 2‎ ‎ ∴Tn = ①‎ ‎ ②‎ ‎① – ②得 ‎= 4 – 2 ×[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎= 4 – 2 ×‎ ‎∴Tn =………… 8分 Tn – Tn – 1 =‎ 当n > 2时，Tn – Tn – 1< 0‎ 所以，当n > 2时，0 < Tn≤T3 = 3‎ 又T1 = T2 = 4，∴0 < Tn≤4．…………10分 ‎ （Ⅱ）解：若要使an > 1恒成立，则需分p > 1和0 < p < 1两种情况讨论 ‎ 当p > 1时，2 – n > 0，n < 2‎ ‎ 当0 < p < 1时，2 – n < 0，n > 2‎ ‎ ∴当0 < p < 1时，存在M = 2‎ ‎ 当n > M时，an > 1恒成立．‎ ‎19．(本题满分14分) 已知数列有，（常数），对任意的正整数，，并有满足．‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）试确定数列是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；‎ ‎ （Ⅲ）令，是数列的前项和，求证：．‎ 解：（I），即 ‎ （Ⅱ）‎ ‎ ∴是一个以为首项，为公差的等差数列。‎ ‎ （Ⅲ），‎ ‎，∴‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 数列的首项，前项和为，满足关系 ‎（,,3,4…）‎ ‎（I）设数列的公比为，作数列，使，．（,3,4…）求 ‎（II）求…的值 解：（1）证：，两式相减得，‎ 又，又当时，，‎ 即，得，即，‎ 为等比数列 由已知得，‎ 是以为首项，为公比的等比数列。‎ ‎（2）…‎ ‎ =……‎ ‎==‎ ‎19、（本题满分14分）（原创题）已知数列、满足：， ， ‎ ‎（Ⅰ）求 （Ⅱ）求使成立的正整数的集合.‎ 解：（1）---------‎ ‎，------------------------ 0.70‎ ‎（2），由得 即-----------------------------------------‎ 当为奇数时，，即得-------‎ 当为偶数时，，即得-------‎ 所以正整数的集合为 ‎19、（改编）（本小题满分14分）Ks**5u 已知数列的前项和为，，若数列是公比为的等比数列． ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，，求数列的前项和 解：(Ⅰ)， ， ……………3分 当时，，且 ，， ‎ 所以数列的通项公式为．…………………………4分 ‎ (Ⅱ) ……………3分 ‎ ．‎ ‎20．【2011部分重点中学月考卷改编】(本小题满分14分)已知，数列满足，， ‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎ (Ⅱ)求数列中最大项.‎ ‎（1）由题意：‎ 经化简变形得： ………3分高 ‎ ‎ ‎ ………5分高 变形得： ‎ 所以是以1为首项，为公比的等比数列。 ‎ 可求得： ………7分 ‎（2） 由（1）可求得 ‎ ………9分 得，‎ ‎ 得， ………12分 即 ，‎ 所以：n=7或n=8时最大， ‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 已知数列中，，，且．‎ ‎（1）设，是否存在实数，使数列为等比数列．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎（1）方法1：假设存在实数，使数列为等比数列，‎ 则有． ①……………………………………1分 由，，且，得，．[来源:Z_xx_k.Com]‎ 所以，，，………………2分 所以，‎ 解得或．…………………………………………………………………………………3分 当时，，，且，‎ 有．………………………………………………4分 当时，，，且，‎ 有．…………………………………………5分 所以存在实数，使数列为等比数列．‎ 当时，数列为首项是、公比是的等比数列；‎ 当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……………………………………6分 方法2：假设存在实数，使数列为等比数列，‎ 设，……………………………………………………………………………………1分 即，……………………………………………………2分 即．………………………………………………………………………3分 与已知比较，令………………………………………………………4分 解得或．…………………………………………………………………………………5分 所以存在实数，使数列为等比数列．‎ 当时，数列为首项是、公比是的等比数列；‎ 当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……………………………………6分 ‎（2）解法1：由（1）知，……………………………………7分 当为偶数时，‎ ‎…………………………8分 ‎ ．………………………10分 ‎ 当为奇数时，………………………………11分 ‎ ．……………………………………………13分 故数列的前项和 ‎（19）(本小题满分14分)数列中，已知，且，‎ ‎（Ⅰ）若成等差数列，求实数的值；（Ⅱ）数列能为等比数列吗？若能，‎ 试求出满足的条件；若不能，请说明理由。‎ ‎（Ⅰ）为容易题，基本上每个同学都能解答。（Ⅱ）主要考查学生构造数列的能力和对等比数列概念的理解，稍难。本题估计平均分8分左右。‎ 解.（Ⅰ）……2分 因为，所以，得……4分 ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 得：，故是以为首项，-1为公比的等比数列，……8分 所以，得： ……10分 ‎………………12分 为等比数列为常数，易得当且仅当时，为常数 ‎19．(本小题满分12分) ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎ (本小题满分12分) 已知数列满足，‎ ‎,,‎ 求数列的通项公式；‎ 解：由题意 ①‎ ‎ ②‎ 由②-①得，又 ‎∴，故数列从第二项开始为等比数列…………………………3分 将代入①式，‎ ‎∴时，‎ ‎∴数列的通项 ‎ …………………………6分 ‎（2） ∴‎ ‎ ∵假设存在任意三项 ‎①不防设当 ‎…………………………9分 ‎②假设存在成等差数列的三项中包含时 不妨设且 ‎∴‎ ‎(19) ( 本小题满分14分) 已知数列的前项和为，且． ‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，，求证：．‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，，‎ 即 时， ， ‎ 从而有时，． ‎ 又，得，故，‎ 故数列是等比数列； ‎ 则有，故．………………………..7分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎，‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎19．(本小题满分14分) ‎ 已知函数（为常数，且），且数列是首项为4，公差为2的等差 数列. ‎ ‎ (1) 求证：数列是等比数列；‎ ‎ (2) 若，当时，求数列的前项和；‎ ‎(3) 若，问是否存在实数，使得中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出的 范围；若不存在，说明理由.‎ ‎(1) 证：由题意，即， …………1分 ‎∴，∴. …………2分 ‎∵常数且，∴为非零常数，‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列. …………3分 ‎(2) 解：由(1)知，，‎ 当时，. …………4分 ‎∴， ① ‎ ‎ . ② …………5分 ‎②－①，得 ‎ ‎∴ . …………8分 ‎(3) 解：由(1)知，，要使对一切成立，‎ 即对一切成立. …………9分 ‎① 当时，，对一切恒成立； …………10分 ‎② 当时，，对一切恒成立，只需， 11分 ‎∵单调递增，∴当时，‎ ‎. …………12分 ‎∴，且， ∴. …………13分 综上所述，存在实数满足条件.‎