（新课标）天津市2020年高考数学二轮复习 专题能力训练5 基本初等函数、函数的图象和性质 理
专题能力训练5 基本初等函数、函数的图象和性质
一、能力突破训练
1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 ( )
A.f(x)=-x|x| B.f(x)=xsin x
C.f(x)= D.f(x)=
2.已知a=21.2,b=,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( )
A.c
b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a= ,b= .
8.若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= .
9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是 .
10.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且当x∈时,f(x)=-x2,则f(3)+f的值等于.
11.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
12.若不等式3x2-logax<0在x∈内恒成立,求实数a的取值范围.
二、思维提升训练
13.函数y=的图象大致为( )
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14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x)=若f(-5)f(-),则a的取值范围是 .
17.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为.
18.若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 .
①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x3 ④f(x)=x2+2
19.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.
(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.
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专题能力训练5 基本初等函数、函数的图象和性质
一、能力突破训练
1.A 解析 函数f(x)=在其定义域上既是奇函数又是减函数,故选A.
2.A 解析 ∵b==20.8<21.2=a,且b>1,
又c=2log52=log54<1,
∴c0,排除A,B;当x=时,y=-+2>2.排除C.故选D.
4.D 解析 因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又f(x)在区间(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.
所以x的取值范围是[1,3].
5.A 解析 ∵f(a)=-3,
∴当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.
当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.
∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-2=-
6.C 解析 ∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),
∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)的周期为4.
∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.
∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0),
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.
∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.
7.4 2 解析 设logba=t,由a>b>1,知t>1.
由题意,得t+,解得t=2,则a=b2.
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由ab=ba,得b2b=,即得2b=b2,即b=2,
∴a=4.
8.1 解析 ∵f(x)是偶函数,
∴f(-1)=f(1).
又f(-1)=-ln(-1+)=ln,f(1)=ln(1+),
因此ln(+1)-ln a=ln(+1),
于是ln a=0,∴a=1.
9 解析 由题意知a>0,又loa=log2a-1=-log2a.
∵f(x)是R上的偶函数,
∴f(log2a)=f(-log2a)=f(loa).
∵f(log2a)+f(loa)≤2f(1),
∴2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).
又f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,∴a
10.- 解析 根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f=f=-,所以f(3)+f=0+=-
11.2 解析 f(x)==1+,
设g(x)=,则g(-x)=-g(x),
故g(x)是奇函数.
由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,
则M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.
12.解 由题意知3x21,函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以不成立;
当00,cos 6x>0,则此时y>0,故选D.
14.B 解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(-5)=f(5)=5a+log55=1+5a,
则不等式f(-5)f(-)可化为f(2|a-1|)>f(),则2|a-1|<,|a-1|<,解得0,
∴g(x)在R上单调递增,具有M性质;
对②,设g(x)=ex·3-x,
则g'(x)=ex
=ex·3-x<0,
∴g(x)在R上单调递减,不具有M性质;
对③,设g(x)=ex·x3,则g'(x)=ex·x2(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0,
∴g(x)在区间(-∞,-3)上单调递减,在区间(-3,+∞)上单调递增,不具有M性质;
对④,设g(x)=ex(x2+2),则g'(x)=ex(x2+2x+2),
∵x2+2x+2=(x+1)2+1>0,
∴g'(x)>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填①④.
19.解 (1)∵f(x)=ex-,且y=ex是增函数,
y=-是增函数,∴f(x)是增函数.
∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数.
∵f(x-t)+f(x2-t2)≥0对x∈R恒成立,
∴f(x-t)≥f(t2-x2),∴t2-x2≤x-t,
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∴x2+x≥t2+t对x∈R恒成立.
又对一切x∈R恒成立,
0,∴t=-
即存在实数t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.
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