广东省高考数学二模试卷理科

广东省高考数学二模试卷理科

‎2019年广东省高考数学二模试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩（∁RB）＝（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|2≤x＜6} D．{x|2＜x＜6}‎ ‎2．（5分）设i为虚数单位，则复数的共轭复数＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（　　）‎ A．0.2 B．0.25 C．40 D．50‎ ‎4．（5分）设向量与向量垂直，且＝（2，k），＝（6，4），则下列下列与向量+共线的是（　　）‎ A．（1，8） B．（﹣16，﹣2） C．（1，﹣8） D．（﹣16，2）‎ ‎5．（5分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为，则其体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．（5分）设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若B＝C≠A，且b＝2acosA，则A＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（　　）‎ A．30 B．80 C．﹣50 D．130‎ ‎9．（5分）函数的部分图象不可能为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．（5分）若函数f（x）＝x3﹣kex在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（　　）‎ A．[0，+∞） B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知高为H的正三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，若二面角P﹣AB﹣C的正切值为4，则＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（f（x））＝m有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2的取值范围为（　　）‎ A．[2，3） B．（2，3） C．[2ln2，4） D．（2ln2，4）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为　 　．‎ ‎14．（5分）若tan（α﹣2β）＝4，tanβ＝2，则＝　 　．‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）＝3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最大值为12，则f（x）的最小值为　 　‎ ‎16．（5分）已知直线x＝2a与双曲线C：的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且，则双曲线C的离心率为　 　．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每道题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且依次成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和Tn．‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD＝∠DAB＝60°，E为AB中点．‎ ‎（1）证明；PE⊥CD；‎ ‎（2）求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．‎ ‎19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝6y与直线l：y＝kx+3交于M，N两点．‎ ‎（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；‎ ‎（2）y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（12分）2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40记作区[20，40），9：40～10：00记作[40，60），10：00～10：20记作[60，80），10：20～10：40记作[80，100），例如10点04分，记作时刻64．‎ ‎（1）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；‎ ‎（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．‎ 若T～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜T≤σ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；‎ ‎（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2﹣e对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．‎ 选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选项4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcosθ＝﹣1的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．‎ ‎[选项4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k．‎ ‎（1）当k＝4时，求不等式f（x）＜0的解集；‎ ‎（2）若不等式对x∈R恒成立，求k的取值范围．‎ ‎2019年广东省高考数学二模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩（∁RB）＝（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|2≤x＜6} D．{x|2＜x＜6}‎ ‎【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 ‎【分析】求出集合B的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，‎ 则∁RB＝{x|x≥2或x≤﹣2}，‎ 则A∩（∁RB）＝{x|2≤x＜6}，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本题的关键．‎ ‎2．（5分）设i为虚数单位，则复数的共轭复数＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．‎ ‎【解答】解：∵＝＝，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3．（5分）在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（　　）‎ A．0.2 B．0.25 C．40 D．50‎ ‎【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有 ‎【分析】设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m＝200，由此能求出中间一组的频数．‎ ‎【解答】解：在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，‎ 中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，‎ 设其他8组的频率数和为m，‎ 则由题意得：m+m＝200，‎ 解得m＝150，‎ ‎∴中间一组的频数为＝50．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎4．（5分）设向量与向量垂直，且＝（2，k），＝（6，4），则下列下列与向量+共线的是（　　）‎ A．（1，8） B．（﹣16，﹣2） C．（1，﹣8） D．（﹣16，2）‎ ‎【考点】9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有 ‎【分析】根据即可得出，从而得出k＝﹣3，从而可求出，从而可找出与共线的向量．‎ ‎【解答】解：∵；‎ ‎∴；‎ ‎∴k＝﹣3；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴（﹣16，﹣2）与共线．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．‎ ‎5．（5分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为，则其体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 ‎【分析】首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的应用求出结果．‎ ‎【解答】解：将三视图还原可知该几何体为球体的，S＝3×+＝，‎ r＝，几何体的体积为：＝．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎6．（5分）阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．‎ ‎【解答】解：由题意可得：，解得a＝4，b＝3，‎ 因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆飞简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎7．（5分）设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若B＝C≠A，且b＝2acosA，则A＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有 ‎【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sinB＝sin2A，可求B＝2A，或B＝π﹣2A，根据三角形的内角和定理即可得解A的值．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∵b＝2acosA，‎ ‎∴由正弦定理可得：sinB＝2sinAcosA＝sin2A，‎ ‎∴B＝2A，或B＝π﹣2A，‎ ‎∵B＝C≠A，‎ ‎∴当B＝2A时，由于A+B+C＝5A＝π，可得：A＝；‎ 当B＝π﹣2A时，由于A+B+C＝B+2A，可得：B＝C＝A（舍去）．‎ 综上，A＝．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．‎ ‎8．（5分）的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（　　）‎ A．30 B．80 C．﹣50 D．130‎ ‎【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 ‎【分析】令x＝1得各项系数为3，求出n的值，结合展开式项的系数进行求解即可．‎ ‎【解答】解：令x＝1得各项系数和为（2﹣n）（1﹣2）5＝3，‎ 即n﹣2＝3，得n＝5，‎ 多项式为（2x2﹣5）（x﹣）5，‎ 二项式（x﹣）5的通项公式为Tk+1＝C5kx5﹣k（﹣）k＝（﹣2）kC5kx5﹣2k，‎ 若第一个因式是2x2，则第二个因式为x，即当k＝2时，因式为4C52x＝40x，此时2x2×40x＝80x3，‎ 若第一个因式是﹣5，则第二个因式为x3，即当k＝1时，因式为﹣2C51x3＝﹣10x3，此时﹣5×（﹣10）x3＝50x3，‎ 则展开式中x3项的为80x3+50x3＝130x3，即x3的系数为130‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，令x＝1求出各项系数和以及通过通项公式求出对应项的系数是解决本题的关键．‎ ‎9．（5分）函数的部分图象不可能为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 ‎【分析】根据三角函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论．‎ ‎【解答】解：A．由图象知函数的周期T＝2π，则＝2π得ω＝1，‎ 此时f（x）＝2sin（x﹣）＝﹣2cosx为偶函数，对应图象为A，故A图象可能 B．由图象知函数的周期T＝﹣（﹣）＝＝，即＝，得ω＝±3，‎ 当ω＝3时，此时f（x）＝2sin（3x﹣），f（）＝2sin（3×﹣）＝2sin≠﹣2，即B图象不可能，‎ 当ω＝﹣3时，此时f（x）＝2sin（﹣3x+），f（）＝2sin（﹣3×+）＝﹣2sin≠﹣2，即B图象不可能，‎ C．由图象知函数的周期T＝4π，则＝4π得ω＝±，‎ 当ω＝时，此时f（x）＝2sin（x﹣π）＝﹣2sinx，f（π）＝﹣2sin＝﹣1，即此时C图象不可能，‎ 当ω＝﹣时，此时f（x）＝2sin（﹣x﹣π）＝2sinx，f（π）＝2sin＝﹣1，即此时C图象可能，‎ D．由图象知函数的周期＝﹣＝，即t＝π，则＝π得ω＝2，‎ 此时f（x）＝2sin（2x﹣），f（）＝2sin（2×﹣）＝2sin＝2，即D图象可能，‎ 综上不可能的图象是B，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数图象的识别和判断，利用周期性求出ω以及利用特殊值进行验证是解决本题的关键．注意本题的ω有可能是复数．‎ ‎10．（5分）若函数f（x）＝x3﹣kex在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（　　）‎ A．[0，+∞） B． C． D．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【分析】令f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立得k在（0，+∞）上恒成立，求出右侧函数的最大值即可得出k的范围．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣kex在（0，+∞）上单调递减，‎ ‎∴f′（x）＝3x2﹣kex≤0在（0，+∞）上恒成立，‎ ‎∴k在（0，+∞）上恒成立，‎ 令g（x）＝，x＞0，‎ 则，‎ 当0＜x＜2时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，‎ x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减 故当x＝2时，g（x）取得最大值g（2）＝，‎ 则k，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．‎ ‎11．（5分）已知高为H的正三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，若二面角P﹣AB﹣C的正切值为4，则＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 ‎【分析】设棱锥底面边长为a，由已知把a用含有H的代数式表示，再由球的性质利用勾股定理求得．‎ ‎【解答】解：设P在底面ABC的射影为E，D为AB的中点，连结PD，‎ 设正三角形ABC的边长为a，‎ 则CD＝，∴ED＝，EC＝a，‎ 由二面角P﹣AB﹣C的正切值为4，得＝4，‎ 解得a＝．‎ ‎∴EC＝＝，‎ OP+OC＝R，OE＝H﹣R，‎ ‎∴OC2＝OE2+CE2，‎ ‎∴R2＝（H﹣R）2+（）2，‎ 解得＝．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查正三棱柱的高与其外接球半径的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（f（x））＝m有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2的取值范围为（　　）‎ A．[2，3） B．（2，3） C．[2ln2，4） D．（2ln2，4）‎ ‎【考点】53：函数的零点与方程根的关系；57：函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 ‎【分析】画出函数，的图象，可求得当0≤m＜1时，f（t）＝m，有一个解t，且t∈[1，2）f（x）＝t两个不同的实数根x1，x2，符合题意．‎ 可得1﹣x1＝log2x＝t，且t∈[1，2），x1+x2＝2t﹣t+1，‎ 令g（t）＝2t﹣t+1，利用导数求解．‎ ‎【解答】解：函数，的图象如下：‎ 当m≥1时，f（t）＝m，有两个解t1，t2，其中t1≤0，t2≥2，‎ f（x）＝t1有一个解，f（x）＝t2有两个解，不符合题意．‎ 当m＜0时，f（t）＝m，有一个解t，且t∈（0，1）f（x）＝t有一个解，不符合题意．‎ 当0≤m＜1时，f（t）＝m，有一个解t，且t∈[1，2）f（x）＝t两个不同的实数根x1，x2，符合题意．‎ 可得1﹣x1＝log2x＝t，且t∈[1，2），‎ x1+x2＝2t﹣t+1，‎ 令g（t）＝2t﹣t+1，g′（t）＝2tlnt﹣1＞0，‎ 故g（t）在（1，2）单调递增，‎ ‎∴g（t）∈[2，3）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为　　．‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【分析】设z＝，作出不等式组对应得平面区域，利用z得几何意义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设z＝，则k得几何意义为过原点得直线得斜率，‎ 作出不等式组对应得平面区域如图：‎ 则由图象可知OA的斜率最大，‎ 由，解得A（3，4），‎ 则OA得斜率k＝，则的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查直线斜率的计算，以及线性规划得应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎14．（5分）若tan（α﹣2β）＝4，tanβ＝2，则＝　　．‎ ‎【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有 ‎【分析】由已知求得tan2β，再由tanα＝tan[（α﹣2β）+2β]求出tanα，代入得答案．‎ ‎【解答】解：由tanβ＝2，得tan2β＝＝，‎ 又tan（α﹣2β）＝4，‎ ‎∴tanα＝tan[（α﹣2β）+2β]＝＝．‎ ‎∴＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正切与二倍角的正切，是中档题．‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）＝3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最大值为12，则f（x）的最小值为　2　‎ ‎【考点】3H：函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有 ‎【分析】由二次型函数值域的求法得：设m＝3x，则3t≤m≤3t+1，则g（m）＝m2+m，3t ‎≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1＝12，解得：3t+1＝3，即t＝0，即f（x）min＝g（30）＝2，得解 ‎【解答】解：设m＝3x，‎ 因为t≤x≤t+1，‎ 所以3t≤m≤3t+1，‎ 则g（m）＝m2+m，3t≤m≤3t+1，‎ 因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，‎ 所以（3t+1）2+3t+1＝12，‎ 解得：3t+1＝3，即t＝0，‎ 即f（x）min＝g（30）＝2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了二次型函数值域的求法，属中档题．‎ ‎16．（5分）已知直线x＝2a与双曲线C：的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且，则双曲线C的离心率为　　．‎ ‎【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】设出双曲线的焦点，求得一条渐近线方程可得P的坐标，求得直线PF2的斜率，由两点的斜率公式和离心率公式，可得所求值．‎ ‎【解答】解：双曲线C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），且，‎ 可得sin∠PF2F1＝＝，‎ 即有直线PF2的斜率为tan∠PF2F1＝，‎ 由直线x＝2a与双曲线C：的一条渐近线y＝x交于点P，‎ 可得P（2a，2b），‎ 可得＝，‎ 即有4b2＝15（4a2﹣4ac+c2）＝4（c2﹣a2），‎ 化为11c2﹣60ac+64a2＝0，‎ 由e＝可得11e2﹣60e+64＝0，‎ 解得e＝或e＝4，‎ 由2a﹣c＞0，可得c＜2a，即e＜2，可得e＝4舍去．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每道题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且依次成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和Tn．‎ ‎【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）运用等比数列的中项性质，令n＝1，可得首项，再由数列的递推式：当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，计算可得所求通项公式；‎ ‎（2）求得＝＝（﹣），再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．‎ ‎【解答】解：（1）依次成等比数列，‎ 可得（）2＝Sn＝（n+2）（a1﹣2）n，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝3（a1﹣2），解得a1＝3，‎ 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n（n+2）﹣（n﹣1）（n+1）＝2n+1，‎ 上式对n＝1也成立，‎ 则数列{an}的通项公式为an＝2n+1；‎ ‎（2）＝＝（﹣），‎ 可得前n项和Tn＝（﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎＝（﹣）＝．‎ ‎【点评】本题考查等比数列中项性质和数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD＝∠DAB＝60°，E为AB中点．‎ ‎（1）证明；PE⊥CD；‎ ‎（2）求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）连结DE，BD，推导出DE⊥AB，PD⊥AB，从而AB⊥平面PDE，进而AB⊥PE，由此能证明PE⊥CD．‎ ‎（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PE﹣C的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）连结DE，BD，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，E为AB的中点，‎ ‎∴DE⊥AB，‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，‎ 又DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE，‎ ‎∴AB⊥PE，‎ ‎∵AB∥CD，∴PE⊥CD．‎ 解：（2）设AC，BD交点为O，‎ 以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，‎ 则P（﹣1，0，2），A（0，﹣，0），E（，0），C（0，，0），‎ ‎＝（﹣1，，2），＝（，0），＝（1，），＝（，0），‎ 设平面APE的法向量＝（x，y，z），‎ 则，取z＝1，得＝（），‎ 设平面PCE的法向量＝（x，y，z），‎ 则，取y＝1，得＝（3，1，2），‎ 设二面角A﹣PE﹣C的平面角为θ，由图知θ为钝角，‎ ‎∴cosθ＝﹣＝﹣＝﹣．‎ ‎∴二面角A﹣PE﹣C的余弦值为﹣．‎ ‎【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝6y与直线l：y＝kx+3交于M，N两点．‎ ‎（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；‎ ‎（2）y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）先将y＝kx+3代入x2＝6y，设M（x1，y1），N（x2，y2‎ ‎），结合韦达定理，即可证明结论成立；‎ ‎（2）先设设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，由∠OPM＝∠OPN，得当k变化时，k1+k2＝0恒成立，进而可求出结果 ‎【解答】解（1）证明：将y＝kx+3代入x2＝6y，得x2﹣6kx﹣18＝0．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2＝﹣18，‎ 从而d1d2＝|x1|•|x2|＝|x1x2|＝18为定值．‎ ‎（2）解：存在符合题意的点，证明如下：‎ 设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，．‎ 从而k1+k2＝+＝＝．‎ 当b＝﹣3时，有k1+k2＝0对任意k恒成立，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P（0，﹣3）符合题意．‎ ‎【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于中档题．‎ ‎20．（12分）2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40记作区[20，40），9：40～10：00记作[40，60），10：00～10：20记作[60，80），10：20～10：40记作[80，100），例如10点04分，记作时刻64．‎ ‎（1）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；‎ ‎（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．‎ 若T～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜T≤σ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．‎ ‎【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．‎ ‎（2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X的所有可能的取值，计算出每个X对应的概率，列分布列，求期望即可．‎ ‎（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到μ，σ2再根据其对称性处理即可．‎ ‎【解答】解：（1）这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.05+50×0.015+70×0.025+90×0.010）×20＝64，即10：04‎ ‎（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这一区间内的车辆数，即（0.005+0.015）×20×10＝4，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4．‎ 所以P（X＝0）＝＝，‎ P（X＝1）＝＝，‎ P（X＝2）＝＝，‎ P（X＝3）＝＝，‎ P（X＝4）＝＝，‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝．‎ ‎（3）由（1）得μ＝64，‎ σ2＝（30﹣64）2×0.1+（50﹣64）2×0.3+（70﹣64）2×0.4+（90﹣64）2×0.2＝324，‎ 所以σ＝18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，‎ 由T～N（64，182），得，P（64﹣18≤T≤64+2×18）＝+＝0.8186，‎ 所以估计在在9：46～10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆．‎ ‎【点评】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；‎ ‎（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2﹣e对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）x＞0，．利用分类讨论思想结合导数性质能讨论函数在（1，+∞）上的单调性．‎ ‎（2）推导出xlnx﹣ax+a+e﹣2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）＝xlnx﹣ax+a+a﹣2，则h′（x）＝lnx+1﹣a，由此利用导数性质，结合分类讨论思想能求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数．∴x＞0，‎ ‎．‎ 若a≤﹣，∵x＞1，∴lnx＞0，∴g′（x）＜0，‎ ‎∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，‎ 若a＞﹣，令g′（x）＝0，得x＝，‎ 当1＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，‎ ‎∴g（x）的单调递减区间是（，+∞），单调递增区间为（1，）．‎ ‎（2）a≥0，不等式x2f（x）+a≥2﹣e对x∈（0，+∞）恒成立，‎ ‎∴xlnx﹣ax+a+e﹣2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，‎ 设h（x）＝xlnx﹣ax+a+a﹣2，则h′（x）＝lnx+1﹣a，‎ 令h′（x）＝0，得x＝ea﹣1，‎ 当x∈（0，ea﹣1）时，h′（x）＜0，当x∈（ea﹣1，+∞）时，h′（x）＞0，‎ ‎∴h（x）的最小值为h（ea﹣1）＝（a﹣1）ea﹣1+a+e﹣2﹣aea﹣1＝a+e﹣2﹣ea﹣1，‎ 令t（a）＝a+e﹣2﹣ea﹣1，则t′（a）＝1﹣ea﹣1，令t′（a）＝0，得a＝1，‎ 当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增，‎ 当a∈（1，+∞）时，t′（a）＜0，t（a）在（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴当a∈[0，1）时，h（x）的最小值为t（a）≥t（0）＝e﹣2﹣，‎ 当a∈[1，+∞）时，h（x）的最小值为t（a）＝a+e﹣2﹣ea﹣1≥0＝t（2），‎ ‎∴a的取值范围是[0，2]．‎ ‎【点评】本题考查函数单调性的讨论，考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．‎ 选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选项4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcosθ＝﹣1的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．‎ ‎【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）由ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0，得x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，此即为曲线C的直角坐标方程．‎ ‎（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，求出|PM|和|PN|后相加，用三角函数的性质求得最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0，得x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，‎ 即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，此即为曲线C的直角坐标方程．‎ ‎（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，‎ 则|PM|＝3+sinα，‎ 又直线ρcosθ＝﹣1的直角坐标方程为x＝﹣1，‎ 所以|PN|＝2+cosα+1＝3+cosα，‎ 所以|PM|+|PN|＝6+sin（α+），‎ 故当α＝时，|PM|+|PN|取得最大值为6+．‎ ‎【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．‎ ‎[选项4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k．‎ ‎（1）当k＝4时，求不等式f（x）＜0的解集；‎ ‎（2）若不等式对x∈R恒成立，求k的取值范围．‎ ‎【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）k＝4时，利用分类讨论思想求出不等式f（x）＜0的解集，再求它们的并集；‎ ‎（2）利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值，再把不等式化为3﹣k≥，‎ 求不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：（1）k＝4时，函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣4，不等式f（x）＜0化为|x+1|+|2﹣x|＜4，‎ 当x＜﹣1时，不等式化为﹣x﹣1+2﹣x＜4，解得﹣＜x＜﹣1，‎ 当﹣1≤x≤2时，不等式化为x+1+2﹣x＝3＜4恒成立，则﹣1≤x≤2，‎ 当x＞2时，不等式化为x+1+x﹣2＜4，解得2＜x＜，‎ 综上所述，不等式f（x）＜0的解集为（﹣，）；‎ ‎（2）因为f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k≥|x+1+2﹣x|﹣k＝3﹣k，‎ 所以f（x）的最小值为3﹣k；‎ 又不等式对x∈R恒成立，‎ 所以3﹣k≥，‎ 所以，解得﹣3≤k≤1，‎ 所以k的取值范围是[﹣3，1]．‎ ‎【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/6/1 16:10:09；用户：DN_ZS_NEW_21155；邮箱：DN_ZS_NEW_21155.20689995；学号：28001950‎