高考数学一轮复习解三角形题型归纳教案
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学科
数学
年级
高三
教材版本
人教A版
阶段
观察期□：第（ ）周 维护期□
本人课时统计
第（ ）课时
共（ ）课时
课题名称
解三角形题型归纳总结复习
课时计划
2
上课时间
教学目标
同步教学知识内容
个性化学习问题解决
教学重点
教学难点
教学过程
教师活动
一、 知识点复习
1、正弦定理及其变形
2、正弦定理适用情况：
（1）已知两角及任一边
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）
已知a，b和A，求B时的解的情况:
如果sinA≥sinB，则B有唯一解；如果sinA
1，则B无解.
3、余弦定理及其推论
4、余弦定理适用情况：
（1）已知两边及夹角；
（2）已知三边。
5、常用的三角形面积公式
（1）；
（2）（两边夹一角）；
6、三角形中常用结论
（1）
（2）
（3）在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
7、两角和与差公式、二倍角公式（略）
8、实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）
①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；
②北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；
③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）
坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，为坡比）
9、ΔABC的面积公式
（1）；
（2）；
（3）。
二、典型例题
题型1
边角互化
[例1 ]在中，若，则角的度数为
【解析】由正弦定理可得a:b:c=3:5:7，,令a、b、c依次为3、5、7，则cosC===
因为，所以C=
在△ABC中，，则A的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
[例2 ] 若、、是的三边，，则函数的图象与轴【 】
A、有两个交点B、有一个交点C、没有交点 D、至少有一个交点
【解析】由余弦定理得，所以=，因为1,所以0，因此0恒成立，所以其图像与X轴没有交点。
题型2 三角形解的个数
[例3]在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】
A、，，； B、，，；
C、，，； D、，，。
题型3 面积问题
[例4] 的一个内角为120°，并且三边构成公差为4的等差数列，则的面积为
【解析】设△ABC的三边分别：x－4、x、x＋4，
∠C=120°，∴由余弦定理得：﹙x＋4﹚²=﹙x－4﹚²＋x²－2×﹙x－4﹚×x×cos120°，解得：x=10
∴△ABC三边分别为6、10、14。
题型4 判断三角形形状
[例5] 在中，已知,判断该三角形的形状。
【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
方法一：
由正弦定理，即知
由，得或
即为等腰三角形或直角三角形
方法二：同上可得
由正、余弦定理，即得：
即
或
即为等腰三角形或直角三角形
【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）
1在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( )
A直角三角形 B锐角三角形C等腰三角形D等边三角形
2在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 ；若a2=b2+c2，则△ABC为 ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为
3在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为
题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用
[例6]在中，分别为角A，B，C的对边，且且
（1）当时，求的值；
（2）若角B为锐角，求p的取值范围。
【解析】（1）由题设并由正弦定理，得，解得，或
（2）由余弦定理，=
即，因为，所以，由题设知，所以
题型6、解三角形的实际应用
如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用求出边长,再进行进一步分析.
北
甲
乙
[解析]如图，连结，由已知，
，
，
又，
是等边三角形，
，
由已知，，，
在中，由余弦定理，
．．
因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
【点拨】解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
三、课堂练习：
1、满足，c=，a=2的的个数为m，则为
2、 已知a=5，b=，，解三角形。
3、在中，已知，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是【 】
A、 B、≤ C、≤≤ D、
4、 在中，若则角C=
5、设是外接圆的半径，且，试求面积的最大值。
6、在中，D为边BC上一点，BD=33，，，求AD。
7、在中，已知分别为角A，B，C的对边，若，试确定形状。
8、在中，分别为角A，B，C的对边，已知
（1）求；
（2）若求的面积。
课后作业
课后作业
1、在中，若，且，则是
A、等边三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
2、△ABC中若面积S=则角C=
3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔，在塔顶处测得山下水平面上一点的俯角为，在塔底处测得点的俯角为，若铁塔的高为，则清源山的高度为 。
A、 B、
C、 D、
4、 的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。
5、在中，分别为角A，B，C的对边，且满足
（1）求角C的大小
（2）求的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。
课后记
本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ _____________________________
学生的接受程度：完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□ ________________________________
学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□ ________________________________
学生上次作业完成情况：数量____% 完成质量____分 存在问题 ______________________________
配合需求：家长___________________________________________________________________________
学管师_________________________________________________________________________
备 注
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教研组长审批
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